九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲

1、九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：圆中的计算问题【知识与技能】1 .探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。2 . 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算 侧面积及全面积。【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了 “从特殊到一般”的数学思维方法。【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步 发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。【教学过程】n r1 .弧长公式：l 180n表示“ 1。”的圆心角的倍数，在应用公式计算

2、时,注意：(1)在弧长公式中, 和“ 180”不应再写单位。(2)在计算时，若题目中没有标明精确度， 可以用“ ”表示弧长，如弧长是315等。(3)在弧长公式中已知1、n、r中的任意两个量都可以求出第三个量。2 .扇形：(1)定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。如图:(2)周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即 1 2r。 2(,_ n r 3 c 1 I(3)面积：S 或 S -1r3602注意：公式S n±-中的“ n”与弧长公式中“ n”的意义一样，表示“ 1。”圆心 360角的倍数，参与计算时不带单位。1 1 .S 11r与三角形面积公式

3、S 1ah十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲2 2边三角形，把弧长看作底，半径r看作底边上的高。2 n r 如：已知半径r、圆心角度数求 S,用S -注意二个公式的区别。360一， 一 , e 1已知半径r、弧长l求S,用S lr。2已知：S、1、n、r四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。3 .圆柱的侧面积与全面积(1)侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。(2) S柱侧 2 rh (r为底面半径，h为高)(3)S Sfiij 2s底注意：圆柱有无数条母线，母线长等于圆柱的高。4 .圆锥的有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图(1),我们把圆锥底面

4、圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。(1)用心 爱心专心5 .圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长。如图(2)所示，若圆锥的底面半径为r,母线长为a,则它的侧面积:1a 2 r a2S侧S底rara注意：圆锥有无数条母线,圆锥的母线长不等于圆锥的高。圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径区分。6 .阴影部分面积的求法常用的有公式法、割补法，还有等积变形法、方程法、对称法等。【典型例题】例1. 一圆弧的圆心角为 300。，它所对的弧长等于

5、半径为6cm的周长，求该圆弧所在圆的半径。分析：已知弧长与圆周长之间的关系，考虑运用弧长公式和圆周长公式。解：设弧所在圆的半径为 R300 R根据题意得：2 6180解得：R 72 (cm)说明：弧长公式中l nR中，三个量1、n、R已知其中两个量，都可以求出第三个 180量，其中n没有单位，1与R的单位要一致。例2.如图，正 ABC内接于。O,边长为4cm,求图中阴影部分的面积。A分析：连结OA、OC,阴影部分面积看作是扇形 AOC与4AOC的面积之差，所以关 键是求。的半径及/ AOC。此题考查组合图形面积的求法及扇形面积公式等。解：连结BO并延长交AC于E,连结OA、OC. ABC是正三

6、角形且内接于。 O BEX AC1AE AC 2cm2/AOC = 120° , /AOE = 60°在OARt AEO 中,AEsin 603cm 3OE1 -OA 223cm3S扇形AOC2n R212016360360S 阴S扇 AOCS AOC216一334、33332cm本题还可另解:S阴影SOOABC例3.如图，。A、OB、OC、OD、OE相互外离，它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得五边形 ABCDE ,求图中五扇形（阴影部分）的面积之和。分析：由已知可知图中每个扇形面积不能单独求出，因为不知圆心角的度数。仔细分析可得五个扇形的圆心角恰为五边形ABCDE的五个

7、内角，因此，可以利用“整体代入”法来完成。解:SK由扇形面积公式R2360 n R2360n R2360S360R2 .360n R2,得阴影部分面积为:2180R2360c1R23602说明：“整体代入”的方法是一种常用的、新颖的方法。例4.如图，圆柱的高为 50厘米，底面圆的周长为 120cm, 一只蚂蚁从 A点出发绕圆柱 的侧面，爬到圆柱的母线AB的另一端B,求蚂蚁爬行的最短路线长。A分析：蚂蚁爬行的路线是一条曲线，如何求呢？若将圆柱的侧面沿母线AB展开，则蚂蚁爬行的路线即矩形上 A到B的连线，由两点之间线段最短，可求得最短路线长。解：将圆柱侧面沿母线 AB展开，则 AC 120厘米，B

8、C 50厘米在Rt ACB中，由勾股定理得：AB , AC2 BC2130 （cm）所以蚂蚁的最短路线长为 130cm。例5.在手工课上甲、乙两名同学合作，将半径为1米，圆心角为90。的扇形薄铁片围成 一个圆锥筒，在计算圆锥的容积时（接缝忽略不计），甲认为圆锥的高就等于扇形的圆心 。到弦AB的距离OC （如图），乙说这样计算不正确，你同意谁的说法？把正确的计算过 程写出来。分析：只要对照一下圆锥高的定义，就知道甲的想法是错误的，乙的说法正确。解：在图（1）中，OC因为在图（2）中，。O'的周长等于图（1）中AB的长一一 90 . OA1所以，2 O'A , OA 1, O

9、9;A 一1804一22152所以，OO' 、OA2 O'A242故：甲的说法不正确例6.若圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图，对角线 AC=8, Z CAB =30° ,求圆柱的 底面积。DcQ 30°AB分析：已知AC =8, / CAB =30° ,可求出矩形的边长。圆柱侧面展开图是矩形，矩 形一边长为母线长，另一边等于底面圆周长。解：在 Rt ABC 中，AC =8, / CAB = 30°BCAC sin 308 1 42AB,3AC - cos30 8 4v13 2设圆柱的底面半径为 R（1）若AD为母线长，则 AB为底面圆的周

10、长2 R2 34V3, R S24 312R（2）若AB为母线，则AD为底面圆的周长22 R 4, R S R2.1234故圆柱的底面积为 或一说明：本题主要应理解圆柱的侧面展开图为矩形，相邻两边为母线长和底面圆的周长, 因此在题目中没有指明哪一边为母线（或底面周长）时，该类型必有两种情况。例7.如图，已知半圆的直径 AB = 12厘米，点C、D是这个半圆的三等分点，求弦 AC、AD和CD围成的阴影部分面积。（结果用表示）分析：连 OC、OD,则可证 CD/AB, / COD = 60 ° 则 S COD S CADS阴S扇形COD解：连OC、ODC、D是半圆的三等分点/ CDA =

11、 / BAD , / COD = 60°.CD / ABS CAD S CODccc2S阴S扇COD 6（平方厘米）360说明：本题运用的方法叫等面积变换法，这是一个重要的方法。例8.如图，在 ABC中，/ C = 90° ,AC>BC,若以AC为底面圆半径,BC为高的圆锥的侧面积为S1 ,以BC为底面圆半径,AC为高的圆锥的侧面积为 S2，则（A. &C. S1S2S2CB. S1S2D. S1、S2的大小关系不确定分析：分别算出&、S2再进行比较。解：S1S2AC AC AB BC - ABBCSiS2选B说明：圆锥也可以看做是直角三角形绕一条直角

12、边旋转一周而成的图形。例9.在半彳5为27米的圆形广场中央点 O的上空安装一个照明光源S, S射向地面的光束是圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120° （如图所示），求光源离地面的垂直高度SO（精确到0.1米）（72 1.414, J3 1.732,而 2.236,以上数据供参考）AA O分析：BO = 27 米，/ BSA=120° ,则/ BSO = 60° , 解：在4SAB 中，SA=SB, Z ASB = 120°.SOX AB.O 为 AB 中点，且/ ASO = /BSO = 60°在 Rt ASO 中，OA = 27 米一 一一、

13、.3SO OA - cot ASO 27 - cot 6027 一答：光源离地面的垂直高度为15.6 米。说明：本题的实质是解RtAo由此不难求 SO。9J3 15.6 (米)3【模拟试题】 一.选择题。1 .在半彳至为3的。O中,弦MN=3,则MN的长为（A. 一2B.2 .扇形的周长为16,圆心角为3C.2360D. 2,则扇形的面积为（A. 16B. 32C. 64D. 163.如果圆柱的高为2A. 100 cm2C. 500 cm1 、，一一-,那么这个圆柱的侧面积是（4A. 1 a2B. 120厘米，底面半径是高的2B. 200 cm2D. 200 cm4 .已知圆锥的底面半径是3,

14、高是4,则这个圆锥的侧面展开图的面积是（）A. 12 B. 15 C. 30 D. 245 .如图，ABCD是正方形，边长为 a,以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为D.C.填空题。1 .直径为12cm的圆，60°圆周角所对的弧的弧长为 厘米。2 .如图，在 ABC中，Z ACB =90°，/ B= 15° ,以C为圆心，CA为半径的圆交 AB于D点，若AC = 6cm,则AD的长为 厘米。B3 . 一个扇形的弧长为 20厘米，面积为240 cm2,则该扇形的圆心角为 度。4 .已知圆柱母线与底面圆的直径相等，且底面积为4 cm2,则圆柱的侧面积为 2cm。

15、5 .若圆锥的母线长为6cm,侧面展开图是圆心角为300。的扇形，则圆锥底面半径为cm。6 .圆锥底面半径为 4 cm,母线长为24cm,则侧面展开图中扇形的圆心角为 。7 .若用半径为15cm,圆心角为 216。的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为cm o三.解答题。1 .已知AB的长为6厘米，所对的圆周角/ ACB =60° ,求弦AB的长。O* jrA2 .如图，在 ABC 中，/ BAC =105° , / B = 45° , AB 2& ， AD ±BC,垂足为 D,以A为圆心，AD为半径画弧EF ,求图中阴影部分的面积。3 .如

16、图，Rt ABC中，/ C=90° , AC = BC= J2cm,分别以A、B、C为圆心画弧,使DE、DF、EF所在的圆两两外切。求:(1)(2)DE、DF、 EF 的长;阴影部分的面积。4 .如图，圆柱的高为 12cm,底面直径为10cm,求图中圆锥的全面积。A(0；一C【试题答案】一.选择题。1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 二.填空题。2. 42.(厘米)3. 1504.165. 56.60°7. 12三.解答题。1 .由条件可求得：/ AOB =120°及。O的半径过。作AB的垂线，构造直角三角形可求出ABAB 9 . 3cm2 . S阴影 S ABCS扇形AEF曲线面积的求法常转化为有公式可求的图形面积的代数和3.S阴影(1) 所以,72 2