高考数学复习__《圆锥曲线背景下的最值与定值问题》

1、高考数学复习强化双基系列课件 圆锥曲线背景下的最值与定值问题 【考点搜索考点搜索】 1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从圆锥曲线中取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围过解不等式求范围. 2. 注意利用某些代数式的几何特征注意利用某些代数式的几何特征求范围问题（如斜率、两点的距离等）求范围问题（如斜率、两点的距离等）. 1. 设设P(x, y)是曲线是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则上任意一点，则 的取值范围是的取值范围是 ( )yx【课前导引课前导引

2、】3,3 .A ),3)3,( B. 33,33 C. ),3333,( D. 解析解析 注意数形结合，表示点注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线的斜率与原点连线的斜率. 画图可知是画图可知是C. 解析解析 注意数形结合，表示点注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线的斜率与原点连线的斜率. 画图可知是画图可知是C. 答案答案 C ) (2,)0(14),( . 2 2222的的最最大大值值为为则则上上变变化化在在曲曲线线若若动动点点yxbbyxyx )4( 2)40( 44 .A2bbbb44 C.2 bb2 D. )2( 2)20( 44 .B2bbbb) (2,)0(14),(

3、. 2 2222的的最最大大值值为为则则上上变变化化在在曲曲线线若若动动点点yxbbyxyx )4( 2)40( 44 .A2bbbb44 C.2 bb2 D. )2( 2)20( 44 .B2bbbbA【链接高考链接高考】.),( ,)()1( )2( ;)(,),( )1( .),(),2(),( 0000222垂垂直直直直线线处处的的切切线线与与抛抛物物线线在在点点求求证证：为为取取极极小小值值的的正正数数中中使使设设有有极极小小值值为为何何值值时时求求当当并并的的函函数数表表示示为为关关于于将将是是抛抛物物线线上上的的动动点点过过一一定定点点设设抛抛物物线线APyxPxxxfxfxxf

4、xAPyxPaaaAxy 例例1分析分析 本题考查向量的运算、函数极值，导本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识数的应用等知识. 0)122)( , 0)21(2 :0)( .2)21(24)( .2)21( )()()( ),(),( )1( 223232422422222222 axxaxaxaxxfaxaxxfaaaxxaxaxaxAPxfaxaxayaxAP即即得得令令则则分析分析 本题考查向量的运算、函数极值，导本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识数的应用等知识.解析解析; 0)( ,22223; 0)( ,222; 0)( ,1,22,22,222223221 x

5、faaxaaxfaaxaxfaxaaxaaxaxa时时当当时时当当时时当当此此方方程程有有三三个个根根.)(,22. 0)( ,22422有有极极小小值值时时或或当当时时当当xfaaxaxxfaax .)(,22. 0)( ,22422有有极极小小值值时时或或当当时时当当xfaaxaxxfaax axaxaxkAPaax 002201020,22:)1( )2( 的的斜斜率率直直线线则则知知由由.),(, 122 )(22,22),(,22220000222221202000222垂垂直直与与直直线线处处的的切切线线抛抛物物线线在在点点切切线线的的斜斜率率处处的的在在点点又又抛抛物物线线APy

6、xPaaaaaaakkaaxkyxPxyaaaaa ;: )1( .,),0, 0( 1)05( 2222FPPAOPPAPlCFOFOBOAxAFBbabyaxC 求求证证垂垂足足为为垂垂线线一一、三三象象限限的的渐渐近近线线的的在在第第作作双双曲曲线线过过成成等等比比数数列列、且且满满足足轴轴正正半半轴轴上上在在点点右右焦焦点点是是是是右右顶顶点点：已已知知双双曲曲线线届届月月考考题题长长郡郡例例2., )2( 范范围围的的取取值值的的离离心心率率求求双双曲曲线线、交交于于点点右右两两支支分分别别相相的的左左、与与双双曲曲线线若若eCEDCl., )2( 范范围围的的取取值值的的离离心心率

7、率求求双双曲曲线线、交交于于点点右右两两支支分分别别相相的的左左、与与双双曲曲线线若若eCEDCl:,)()( )1( 解解得得： xabycxbaycxbayl解析解析)., 0().0 ,(,).,(22cabPAcaAOFOBOAcabcaP 成成等等比比数数列列、),(),(22cabcbFPcabcaOP .,22FPPAOPPAcabFPPAcabOPPA .,22FPPAOPPAcabFPPAcabOPPA .)()( )2( 2222422222222bacxbaxbbayaxbcxbay .2 . 2.,., 0)(, 0)(2)(2222224424222224212222

8、4242242 eeaacababbabbabcaxxbabcacxbaxbab即即即即即即.,),( )2( ;, )1( .23, 0,),3, 0( 恒恒在在一一条条直直线线上上切切线线的的交交点点两两点点处处的的、求求证证：抛抛物物线线、于于两两点点相相交交的的直直线线与与曲曲线线过过定定点点的的方方程程轨轨迹迹曲曲线线的的求求动动点点轴轴上上移移动动时时在在当当点点且且满满足足上上在在直直线线点点轴轴正正半半轴轴上上在在点点轴轴上上在在点点已已知知点点BRSRSCbaACMxPMQPMPMHPPQMyQxPH 例例3.41,323123,2231.23),(,3, 03),()3 ,

9、(), 0(),0 ,( )1( 222xybbyaaxHQPMyxMbababaaPMHPBQaP 设设则则设设解析解析.21:411 )(4,.)(4),(414141:),()41,(),41,(),( )2( 22121212111221222121222211xyxyxxaxxbSRAxxxxxyxxxxxxxySRxxxxRxxSbaA 求求导导得得对对上上点点在在即即的的方方程程为为则则直直线线设设法一法一.022. 0221,412:,323 24)(21412 24)(2141212122222222111121上上点点在在直直线线故故得得：代代入入并并解解之之得得联联立立即

10、即即即处处的的切切线线方方程程为为：、抛抛物物线线上上 byaxBbyaxxxyxxxxxxyxxxxyxxxyxxxxyRS),)(41,(),41,(. 0444:41),(:,),( 2122221122xxxxRxxSbakkxxyxyaxkbySRlAbaA 设设得得联联立立消消去去与与的的方方程程为为可可设设直直线线意意不不符符与与题题公公共共点点与与抛抛物物线线有有且且仅仅有有一一个个在在时时的的直直线线斜斜率率不不存存当当过过点点设设法二法二.02, 022:,)(4122,24 ,24,)(4421212222112121上上点点在在直直线线故故得得消消去去为为常常数数联联立

11、立并并解解之之得得点点的的切切线线方方程程分分别别为为：、又又过过则则由由韦韦达达定定理理： byaxBbyaxkkbakxxykxxxxxxyxxxyRSbakxxkxx例例4为为什什么么？圆圆是是否否共共、那那么么两两点点、线线交交于于的的垂垂直直平平分分线线与与双双曲曲如如果果线线段段的的方方程程求求直直线线中中点点、上上两两点点设设双双曲曲线线, , )2( ; )1( ).2 , 1(, 12 22DCBADCABABMABBAyx ),1(2, )1( xkyABAB：设设斜斜率率存存在在法法一一：显显然然例例4为为什什么么？圆圆是是否否共共、那那么么两两点点、线线交交于于的的垂垂

12、直直平平分分线线与与双双曲曲如如果果线线段段的的方方程程求求直直线线中中点点、上上两两点点设设双双曲曲线线, , )2( ; )1( ).2 , 1(, 12 22DCBADCABABMABBAyx 解析解析. 1012)2(2),(),(,0064)2(2)2(12222122112222 xyABkkkkxxeyxByxAkkxkkxkyxkkxy：直直线线满满足足则则设设时时当当得得：由由212121212121212121222221212211)(2 ,)(21)(:,1212),(),(yyxxxxyyxxyyyyxxxxyxyxyxByxA 两两式式相相减减得得则则法法二二：设设

13、. 012. 1:, 121222 得得：代代入入yxxyABkAB. 012. 1:, 121222 得得：代代入入yxxyABkAB解析解析 法一为韦达定理法，法二称为点法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理种途径处理. 在利用点差法时，必须检验在利用点差法时，必须检验条件条件0是否成立是否成立.).4 , 3(),0 , 1(:121, : ., )2( 22BAyxxyMDMCMBMAMCDCDMCDCDABMABOMDCBA 得得由由满满足足中中点点因因此此只只需需证证点点中中为为故故圆圆心心为为弦弦又又上上垂垂直直

14、平平分分线线即即在在故故为为弦弦因因共共圆圆于于圆圆、设设),6 , 3(63, 32),(),(),(0116123, 3:00430004433222 MxyxxxyxMCDyxDyxCxxyxxyxyCD则则中中点点设设得得：由由方方程程又又.102 ,)6 , 3(.,1010221为为半半径径的的圆圆上上为为圆圆心心中中点点在在以以、又又 MCDDCBAMDMCMBMAMBMACDMDMC.102 ,)6 , 3(.,1010221为为半半径径的的圆圆上上为为圆圆心心中中点点在在以以、又又 MCDDCBAMDMCMBMAMBMACDMDMC解析解析充分分析平面图形的几何性质可以使解充

15、分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视.,),1,()()(, ,1)0( 1 432122222222kkkkBQAQBPAPRBQAQBPAPBAQPbyaxbabyaxBA的的斜斜率率分分别别为为、设设且且有有的的动动点点、两两点点双双曲曲线线和和椭椭圆圆上上不不同同于于分分别别为为、的的公公共共顶顶点点和和双双曲曲线线为为椭椭圆圆、已已知知 例例5.,/),( )2( 242322212222的的值值求求若若均均为为两两曲曲线线的的右右焦焦点点个个焦焦点点一一分分别别为为双双曲曲线线和和椭椭圆圆的的、设设kkkkQF

16、PFFF ; 0 )1(43214321 kkkkkkkk且且求求证证：.,/),( )2( 242322212222的的值值求求若若均均为为两两曲曲线线的的右右焦焦点点个个焦焦点点一一分分别别为为双双曲曲线线和和椭椭圆圆的的、设设kkkkQFPFFF , 1, 1),(),( )1( 2222222212212211 byaxbyaxyxyxQP则则、的的坐坐标标分分别别为为、设设点点解析解析; 0 )1(43214321 kkkkkkkk且且求求证证：,.,224322212221221212111211122222222122221abkkabybayaxykkaxykaxykybaax

17、ybaax 同同理理可可得得：即即,2,2,.2:,22,2222431122221111111214321OQBQAQOPBPAPOyxabxxyxabaxyxaxyaxykkkkkk 则则为为原原点点设设同同利利可可得得于于是是. 0:)2()1(,.,:43212211 kkkkyxyxOQOPOQOP得得、由由于于是是共共线线与与故故由由条条件件知知 . 0:)2()1(,.,:43212211 kkkkyxyxOQOPOQOP得得、由由于于是是共共线线与与故故由由条条件件知知 , 1, )2( 22212212222222121 byaxbyaxyyxxOQOP又又.11,. /,2

18、1,21, 1,442222212122222222222212221221221babayxbabaOFQFQFPFbyaxbyaxP 所所以以故故知知：又又有有在在双双曲曲线线上上又又点点. 84422 )()(, 4)(:, 444)(:)1(4321243221242322212434444212144221 kkkkkkkkkkkkkkbaabyxabkk所所以以同同理理可可得得得得由由专题八专题八 圆锥曲线背景下的最值圆锥曲线背景下的最值与定值问题与定值问题第二课时 【考点搜索考点搜索】 1. 利用参数求范围、最值问题；利用参数求范围、最值问题； 2. 利用数形结合求解范围、最值问

19、题；利用数形结合求解范围、最值问题； 3. 利用判别式求出范围；利用判别式求出范围； 4. 新课程高考则突出了对向量与解析几新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，如求轨迹、求角度、研究平行何结合考查，如求轨迹、求角度、研究平行与垂直关系等与垂直关系等. 要注意利用这些知识解题要注意利用这些知识解题.) (,1001,:134 . 1 2122的的最最大大值值是是则则的的等等差差数数列列公公差差大大于于是是且且数数列列椭椭圆圆的的右右焦焦点点为为个个不不同同的的点点上上有有椭椭圆圆nFPFPPPnyxnn 201 D. 200 C. 199 B. 198 .A【课前导引课前导引】解析解析

20、由于由于a2，c1，故椭圆上的点，故椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为到右焦点的距离的最大值为3，最小值，最小值为为1，为使，为使n最大，则最大，则3=1+(n 1)d，但但d.2011001)1(131001 nn，故故解析解析 由于由于a2，c1，故椭圆上的点，故椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为到右焦点的距离的最大值为3，最小值，最小值为为1，为使，为使n最大，则最大，则3=1+(n 1)d，但但d答案答案 C .2011001)1(131001 nn，故故85 D. 21 C. 45 B. 85 .A 2. 曲线曲线 y=x4上的点到直线上的点到直线 x 2y 1=0的距离的最小值是的

21、距离的最小值是( ) 85 D. 21 C. 45 B. 85 .A 2. 曲线曲线 y=x4上的点到直线上的点到直线 x 2y 1=0的距离的最小值是的距离的最小值是( ) 解析解析 设直线设直线L平行于直线平行于直线x=2y+1,且与且与曲线曲线y=x4相切于点相切于点P(x0，y0)，则所求最小，则所求最小值值d，即点，即点P到直线到直线x=2y+1的距离，的距离， .85518121512.161,21.21400003 yxdyxxy解析解析 D.85518121512.161,21.21400003 yxdyxxy【链接高考链接高考】.),(, )2( )1( .)1, 3( ,1

22、 , 22为为定定值值证证明明且且为为椭椭圆圆上上任任意意一一点点设设求求椭椭圆圆的的离离心心率率；共共线线与与两两点点、交交椭椭圆圆于于的的直直线线且且过过椭椭圆圆右右焦焦点点斜斜率率为为轴轴上上在在焦焦点点原原点点已已知知椭椭圆圆的的中中心心为为坐坐标标 ROBOAOMMaOBOABAFxO例例1.,2),(),(. 02)(:, 1,),0 ,(),0( 1 222222212222122112222222222222222babacaxxbacaxxyxByxAbacacxaxbabyaxcxyABcFbabyax 则则令令化化简简得得代代入入的的方方程程为为则则直直线线设设椭椭圆圆方

23、方程程为为解析解析.36,36.3,232,23, 0)()2(3, 0)()(3,),1, 3(),(2222222212121221121212121 aceabacbacbacacxxxxcxxcxycxyxxyyaOBOAayyxxOBOA故故离离心心率率即即又又得得共共线线与与由由1 3)3(2)3()3(.3)(3)(,),(,),(),(),(),(.331,3)1(: )2( 2221212222221212222122121212211222222222byyxxyxyxbyyxxyxMyyyxxxyxyxyxyxOMbyxbyaxba 即即在在椭椭圆圆上上由由已已知知得得设

24、设可可化化为为所所以以椭椭圆圆知知证证. 1, . 11,33,33. 0329233)(34)(3,83.21,23,23)1(222222222221212222212121212121222222221222221定定值值为为为为定定值值故故得得：代代入入又又知知：由由 byxbyxcccccxxxxcxcxxxyyxxcbabacaxxcbcacxx 例例2 设有抛物线设有抛物线 y2=2px(p0), 点点F是是其焦点其焦点, 点点C(a, 0)在正在正x轴上轴上 (异于异于F点点). 点点O为坐标系原点为坐标系原点. (1) 若过点若过点C的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于A

25、、B,且恒有且恒有AOB=90 , 求求a的值的值; (2) 当当a在什么范围时在什么范围时, 对于抛物线上的对于抛物线上的任意一点任意一点M (M与与O不重合不重合), CMF恒为锐恒为锐角？角？ ,)(2, 0)(2 :),(),(),( )1( 2221221222222211kpakxxaxxakxpakxkyxByxAaxkyC 方方程程则则有有将将直直线线方方程程代代入入抛抛物物线线记记的的直直线线为为设设过过解析解析).(2, 0)2(, 0,902 )( )(2212122121221221不不存存在在时时也也符符合合当当故故为为正正数数由由于于故故时时当当故故kpaaapay

26、yxxAOBapaaxaxxxkaxaxkyy 1 )0( 02)23(022)21(0)(2(, 0 ,),(),2(),0 ,(),0 ,2(),()2( 222 xapxpaxpxapxpaxyxaxpMCMFCMFyxaMCyxpMFaCpFyxM故故恒为锐角恒为锐角但但故故由于由于设设)29,2()2, 0(,2,20 02300292, 0495, 024)493( 012223pppaCFpapapapapppaaappapa的范围是：的范围是：条件的条件的故知满足故知满足应舍去应舍去重合重合和和时时但但解得：解得：时，则时，则时，时，恒成立，恒成立，为使为使 ., )3( ;

27、6,43 )2( ;1 )1( ., :,)0( 1: 212121212222是等腰三角形是等腰三角形使得使得的值的值确定确定的方程的方程写出椭圆写出椭圆的周长为的周长为若若证明：证明：设设的对称点的对称点关于直线关于直线是点是点的一个公共点的一个公共点与椭圆与椭圆是直线是直线、轴分别交于点轴分别交于点轴、轴、与与直线直线离心率为离心率为、右焦点为右焦点为的左、的左、已知椭圆已知椭圆FPFCFPFeABAMlFPClMBAyxaexyleFFbabyaxC 例例3).,(. ., 1, )., 0(),0 ,( , : )1( 22222222abcMbacabycxbyaxaexyaeaB

28、AyxaexylBA 的坐标是的坐标是所以点所以点这里这里得得由由坐标分别是坐标分别是的的、所以所以轴的交点轴的交点轴、轴、与与分别是直线分别是直线、因为因为法一法一解析解析2221: ).,(),(eaabeaceaaeaabeacABAM 解得解得即即得得由由 .)1( ),(),( ),()., 0( ),0 ,( ,: 000000ayeaxaeayeaxABAMyxMaeaBAyxaexylBA 所以所以得得由由的坐标是的坐标是设设的坐标分别是的坐标分别是、所以所以轴的交点轴的交点轴、轴、与与分别是直线分别是直线、因为因为证法二证法二.1 1, 0)1()1(2. 11)1(, 1)

29、()1(, 1,2222422222222220220eeeeeebaaeabyaxM 即即解得解得所以所以即即所以所以在椭圆上在椭圆上因为点因为点. 134. 3 , 1 , 2. 622 , 6.2 ,21e ,43 (2) 2222221 yxcabcacaFMFca椭圆方程为椭圆方程为所以所以得得的周长为的周长为由由时时当当 ,.21,90, : (3) 112112110211dlFcPFFFPFFPFBAFFPFlPF的距离为的距离为到到设点设点即即必有必有为等腰三角形为等腰三角形要使要使为钝角为钝角解法一解法一 . ,32.321 ,31.11,110)(21212222221为

30、等腰三角形为等腰三角形时时即当即当于是于是所以所以得得由由FPFeeeeeceecaeacedPF .1)1(2,13.22010),(,90,: 2202200000002112110211eaeyceexacxeyecxyyxPFFPFFPFBAFFPFlPF解得解得则则的坐标是的坐标是设点设点必有必有为等腰三角形为等腰三角形要使要使为钝角为钝角所以所以因为因为解法二解法二. ,32.321 .31.1)1( ,4 ,41)1(21)3(2122222222222222211为等腰三角形为等腰三角形时时即当即当于是于是从而从而化简得化简得两边同时除以两边同时除以得得由由FPFeeeeeaceaecece