幂级数及泰勒展开习题解答

1、、求下列哥级数的收敛区间1.n xn 1 2n(2n1)解:lim nan 1an2.解:3.事级数及泰勒展开lim n1时,2n(2n 1)2(n 1)(2n 1)1时,收敛区间为(1)nxn1 n 1 2n 1 nlim nan 1an2时,2时,lim n收敛区间为(1)n n2n x12n(2n 1)(1)n2n(n n 1)所以1n1 2n(2n 1)收敛,绝对收敛,n 1 2n(2n 1)1,1。(1)n( 2)n1n 12n I n1发放, n 1 dn(2,2。3nxn解：lim n，1 ,一 一当x -时，通项不趋于零, 3收敛区间为1 13,334.(n 11)n(2x 3

2、)n2n 1解:limnan 1an故当5.解:2x 31时,2时,limn2n 12n 11,即1 x 2时级数绝对收敛。(1)n( 1)n1 2n 1 n1 2n 1,2n-1（-为收敛的交错级数,n 1 2n 1收敛区间为（1,2。ln(n 1)(x1)n故当limnlimnan 1anlimnln(n 2)(n 1)(n 2)ln(n 1)0时，因为ln(n 1)f(x)n 1ln xlimxln x所以2时级数绝对收敛。f (x)lim 0x 1ln x0(x x(1)nln(n 1)-一L收敛,2时，因为当n2时詈t收敛区间为0,2）。6. n1 号a 1)2n1e)1发散, 2n

3、3时,ln(n 2)1所以2nln(n 1)n 1ln( nn 1 n 11Unlimn(x 1)2n 1n4n2n 1n 1(x 1) (n 1)4121故当1 x4123时级数绝对收敛。当x 1时,n n41)2n(1)n 1、,为收敛的交错级数,1 n当x 3时,1)n-(3nn41)2n 11)n ，、, 乜为收敛的交错级数,n收敛区间为1,3。二、求下列哥级数的收敛区间并求和函数1.n 1 2n 1(1) xn 1 2n解：limnUn 1Unlimn当x 1时,当x 1时,2 n 1 /c a x (2n 1)2n 1 小x (2n 1)1时级数绝对收敛，当|x| 1时，级数发散。

4、3(2n1n 1 2n 1n 1 2n 11)n 乂为收敛的交错级数,(1)n1n1 2n 1为收敛的交错级数,收敛区间为1,1。令 S(x)n 1 2n 1(1) x2nS(0)S(x)(1)n11 2nxS(x)S(0)x 1 zdt arctanx0 1 t2S(x)arctanx(x 1).2. 2nx2n 1n 1解：limnUn1Unlimn2 n 1 zyx (2n2n 1。x 2n2)x2故当x2 11时级数绝对收敛，当| x | 1时，级数发散。2n发散,n 1当x 1时,2n 12n( 1)n 1当x 1时,2n发散,n 1收敛区间为（1,1）。令 S(x)2nx2n 1S

5、(0)n 1x0 S(t)dtn 1x2nt2n1dt2nX2x1 x22xS(x) 1 x多(|x|1 x1).3. n( n 1)xn n 1解：limnan 1anlimn(n 1)(n 2)n(n 1)当x 1时,n(n 1)发散；当xn 11时,n(n 1)( 1)n 发散, n 1收敛区间为（1,1）。令 S(x) n(nn 11)xn S(0) 0x0 S(t)dtx0n(nn 11)tndtn nxn 1nx12x(1 x)2S(x)2x(1 x)22x7x| 1).，(2n 1) 2n 24. x2n解：limnun 1unlimnx2n (2n 1)2nx2n 22(n 1

6、)(2n 1)2故当x1时级数绝对收敛，当|x| 1时，级数发散。当x 1时,2n 11 2n1一 （通项不趋于零）发散, 2n收敛区间为1,1)。令 S(x)2n2n1 2n 2-xS(0)x0 S(t)dtS1(x)S1(x)S1(x)另解2n x16(0)x2n1 ln(120 时，S(x)S(x)2n1t2n 2dtxE|x|x tdt0 1 t2ln(1S(x)n12n、求下列级数的和彳2nc1.2nqnn 1 。 n 11'.3也可以考虑利用哥级数1 2n 1xn12n1)1 ln(12x2)2xln(1 x2)2x21x1 2n2nS1(x)(x 0),S1(0) 0 x

7、x2)11 x2ln(1x2)2x2，0 |x|2n x2n1,3 n2n111n131 2n-x2nn 1nx2(|x|(1 x)1)12132n3r3132( 1)n1.n 1 (2n 1)(2n 1)1)n12n2n1)n2n 11)n11 (n 2n 1k 1)1)n一2n2k1)k2k 1(1)n1n 12n 1arctan1四、利用直接展开法将下列函数展开成骞级数1. f(x) ax(a 0,a 1)解:f (n)(x)ax(ln a)nf (n)(0) (ln a)nf (n)(0) n X n!(ln a)n nX ,limnlimnan 1an|Rn(x)| nim因a x有

8、界,limnf(n(n(ln a)n 1(n1)!意的X上式均成立。X2. f (x) sin 2ln an 11)( X)1)!|x|故该级数的收敛区间为）o再由limnxn 1(ln a) n 1 X(n 1)!M limX(lna)n(n 1)!|x|n1 01是收敛级数(ln a)n n 0 n!(lna)n n, 0 Tx (）的一般项，所以对任解:f(n) (x)2nsinn"2f(n)(0)(sin0,(1)n 2kk22k 1,n 2k 1lim nunlimnf (n)(0)n!1)n2n 10 2(2n 1)!2n 1X ，lim n）。再由|Rn(X)l2n 3

9、|x|2n 3X22n 3(2n3)!22n 1(2n 1)!2n 1X故该级数的收敛区间为lim n2n 32(2n 3)!.2n 3 sin 222n 3(2n为绝对收敛级数对任意的X上式均成立。X2 3)!2n XlimX2n 3|x|22n 3(2n3)!. _ X sin21)n2n 1 、0 2(2n1)!2n 1 (）的一般项，所以1)nn 0 22n1(2n 1)!2nX五、使用间接展开法将下列函数展开成哥级数常用哥级数展式：(1)(2)sin x1)n2n 1X, (2n 1)!(3)cosx1)2n n x(2n)!(4)(1 x)(1)n!1) n-x , ( 11)1n

10、 F no'，( 1 ' 1)n n(1) X , n 0(1x1)11 X2(1)nx2n, (1x1)n 0(6) ln(1 x)n(1)n1-, ( 1n 1nX 1) arctan x1)n2n 1 x2n 11)n2n 1 x2n 1(1x1)基本方法：代数法，即代换；利用哥级数性质.式已知的简单函数，再积分可得原函数的哥级数展式。对复杂函数可以先求导看是否为哥级数展1. f(x)., tnc解：由e ( t )，令t x得 n o n!1)n2n x nr(x )。2. f (x) sin 2x解：由 sint ( 1)n t( tn o (2n 1)!sin2x

11、( 1)0£：(xn o (2n 1)!)，令t 2x得) °3. f (x) sin2 xt2n解：由 cost ( 1)n( tn o (2n)!. 21 .-一),及 sin x - 1 cos2x 令 t 2x 得 2sin2x 11(1)nQ(1尸卫(2 n o (2n)! n 12 (2n)!4. f (x) arctan x解：f (x)11 x2(1)nx2n( 1 x 1) n oarctan x工 dt ( 1)n1 t2 n0xt2ndt(1)n0x2n 1(1 x 1)2n 11时,5.f(x)均为收敛的交错级数。12x解:由1tnn 0(|t|1)

12、及 f(x)1-2x51 2x5.2，令t 一 x得56.解:7.解:f(x)f(x)5 2xln(x,1 d由 1,1 t1f (x) xIn x1 x2)f(x)ln1f (x)21 x2(1)1x-x2=x71)nln1 x2 dtn"xn1 3 L (2n1 1=x2(2n)X 1 d dt 0.2',1 t(2n 1)! 2n x(2n 1)(2n)!2n x02n 1六、在指定点处将下列函数展开成哥级数1. f(x)ln x,解：由ln(1t)1)n 1ln x ln(22) ln2|x| |)1)i(n 11)1”(111),得n(2n 1)!(2n)!x2n(

13、|x| 1)1(|x| 1)1 x 1)。1)及ln 2 ln 1n(2n 1)!(2n)!xt2n 0Inx ln2 ( 1)n12n innx 2 9ln2 ( 1)n1 -(0 x 4)。n 1n 22. f (x)e2,在x 1 处x x 1 (x 1)解：e e e e ( x )。n o n!七、求函数f(x)2.x ln(1 x)在 x0处的n阶导数(n2)解：f (x)k 2 k 1 x1) 一kkk 1 x(1)0k kf(n)/Y/ 1k 1(k 2)(k 1)L (k 3 n) k 2 nf (x)( 1)xk n 2kf(n)(0) ( 1)n3 旦(1)n3n(n 1

14、)(nn 221八、设有两条抛物线 y nx2 和y (nnan3)!。c 11)x2，记它们的交点横坐标的绝对值为n 1(1)求an的表达式(2)求这两条抛物线所围成的图形的面积Sn(3)求级数Sn的和n 1 an解：(1) an1. n(n 1) Sn: nx2 - (n 1)x21annn 1,1n 1(3)由 limlimn 1 n(n 1) n k1k(k 1) ndx 4a3 41 一33 n(n 1), n(n 1)- lim 1 1,得k 1 k k 1 n n(n 1)Sn42 414 an -n 1 an3n1 3nn(n 1) 3常用幕级数展式：(1), 0 n!(2)s

15、in x1)n(3)cosx1)(4)(1 x)事级数部分习题课2n 1(2n 1)!2n n x(2n)!(1)1)n!1)2n 1 n 1 x(2n 1)!n 1) nx ,(1)n n1) x ,x 1)n 2n1) x1)(6)ln(1x)1)1)arctan x1)n2n 1 x2n 11)n12n 1 x2n 11)基本方法：代数法,即代换；利用幕级数性质对复杂函数可以先求导看是否为幕级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幕级数展式。补充例题、把下列函数展成x的哥级数1.f(x)x9 x2解:f(x)x9 x29n0(1)n2nX3(1)n 02n 1n x2n 2，( 3 x

16、 3) 0 32.f(x)/2xarctanx ln 1 x解:f (x)arctan x2x及 f (0) 0f(x)3.f(x)41n解:(x)及 f (0)f(x)4.f(x)解:f(x)ln(1ln(1f(x)1.解:2.1 x2 2 J2n 1arctan xx0f出1)1)n1 arctanx22n 1,(x 1)2n 2 x(2n 1)(2n2)1)。ln(1ln(15、 x )x)(t)dt11 x44n 1 x4n 1x4)1)。4nx ,( 1 x 1)1 In -ln(15 x )ln(1 x)(x 1)1)n5、n1( x )5n,(5n x1)1( x)nn 1 nn

17、-,(11 n1)1)(14n j二( n1)。把下列函数在指定点展成骞级数f(x)f(x)f(x)ln x在ln xln1 (x1)(1)n1之11)n,(0 x 2) n1x2 3x 2解:f(x)1(x 1)(x2)3.解:f(x)f(x)12 (x 1)3 (x 1)(1)n0ddxxee2121)n1)3n1)n1)n (x 1)n"(2 x 4)3f(x)1&n 1(x31)n,(3)xe e-在xx 1e 3n 0 n!dx x 14. f (x) sin x 在 x 一处4解：由sinx sin x 44sin cos4及sin x 一 4cos x 一 4(

18、x1)n 1 n!(x 1)n2 n(nx cossin x 一4442n 12)!(x1)。,2cos x 一24sin x 一 41)n(2n 1)!2n(1)nn 0(2n)!2n 12n,n 2sin x2 n 0(1)n三、骞级数求和步骤：1.2.适当变形项求导适当变形项积分4(2n 1)!求出给定级数的收敛区间; 两种途径：逐项积分得和函数逐项求导得和函数常见函数之哥级数常见函数之哥级数（(ex,sin x,cos x,ln(1 x),几何级数等)ex,sin x,cos x,ln(1x),几何级数等)1(2nn 0 n!»x2n解：由limnUn 1Unlim n2n 3 n!(n 1)!2n 1|x|2,故收敛区间为设 S(x)(2n n!,逐项积分得x0 S(t)dt2n 1 xo n!2n x0 n!x2 xe八x22x2S(x)(xex )(1 2x2)exn2.xn 2 n(n 1)解：由limnan 1anlim nn(n 1)(n 1)n1,进一步可确定收敛区间为:1,1设 S(x)n xn 2 n(n1),逐项求导得S(x)n x一 ln(1 x) S(x) n 1 nx0 ln(1 t)dt x (x1