广州中考数学反比例函数综合题

1、广州中考数学反比例函数综合题、反比例函数1.P是线段AB上的一点，连接(3)【答案】（1）解：当-如图，已知 A(-4, 1), B( -1,2）是一与八、5次函数 y=kx+b与反比例函数AC± x 轴于 C , BD±y 轴于x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?4V XV 1PC, PD, APCAAPDB面积相等，求点 P坐标. 时，一次函数大于反比例函数的值；-4Jt + b 二;(2)把 A (一 4, 士)所以一次函数解析式为2)代入y=kx+b得解得y= - x+把B ( - 1, 2)代入y=（3）解：如下图所示:设P点坐标为（t, - t+ 一）， P

2、CA和 PDB面积相等，1 1 1? ? ? ? (t+4) = ? ?1? (2- 2 t 2 ),即得 t= - 2 ,- P点坐标为（-二，A ）.【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当- 4VXV - 1时，一次函数图象都在反比例函ffl数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把 B点坐标代入y=A可计 算出m的值；（3）设P点坐标为（t, 3 t+三）,利用三角形面积公式可得到 ? ? ? ?（t+4）=二：？1? （2- £ t 一）,解方程得到t= - J ,从而可确定P点坐标.2.已知点A, B分别是x轴、y轴上的动点，点 C, D是某个函数图象上的

3、点，当四边形 ABCD （A, B, C, D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形 例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个 伴侣正方形（2）如图2,若某函数是反比例函数 ”<（k>0）,它的图象的 伴侣正方形”为ABCD,点D （2, m） （ mv 2）在反比例函数图象上，求 m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c （awQ ,它的图象的 伴侣正方形”为ABCD,C, D中的一个点坐标为（3, 4）,请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点 B在y轴负

4、半轴上时：正方形ABCD的边长为弱.（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a,易得3a=”,等解得a=此时正方形的边长为 .怛所求 伴侣正方形”的边长为I镜或3（2）解：如图，作 DELx轴，CF,y轴，垂足分别为点 E、F,易证 AD叵 BAO CBF.丁点D的坐标为（2, m） , mv2,DE=OA=BF=m,.OB=AE=CF=2- m.，OF=BF+OB=2点C的坐标为（2- m, 2）.1 2m=2 （2-m）,解得 m=1.反比例函数的解析式为 y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3, 4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（

5、3, 4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点 B在y轴正半轴上，点 C坐标为（3, 4）时：另外一个顶点为（4, 1）,对应的函数解析式是 y=- ； x2+ "；b、当点A在x轴正半轴上，点 B在y轴正半轴上，点 D坐标为（3, 4）时：不存在，c、当点A在x轴正半轴上，点 B在y轴负半轴上，点 C坐标为（3, 4）时：不存在d、当点A在x轴正半轴上，点 B在y轴负半轴上，点 D坐标为（3, 4）时：另外一个顶点C为（-1, 3）,对应的函数的解析式是 y=M x2+1 .e、当点A在x轴负半轴上，点 B在y轴负半轴上，点 C坐标为（3, 4）时，另一个顶点

6、D7223的坐标是（7, - 3）时，对应的函数解析式是y=-网x2+2.f、当点A在x轴负半轴上，点 B在y轴负半轴上，点 C坐标为（3, 4）时，另一个顶点 D士 1的坐标是（-4, 7）时，对应的抛物线为 y=/x2+ / ；Jl 团 空 三 图故二次函数的解析式分别为：y=占x2+ *或y=-九x2+环或y=- : x2+ -或y= ： x2+ ,【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点 D （2, m）的坐标 表示出点C的坐标，可求出 m的值，即可得到反比例函数的

7、解析式.（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下.当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点(3, 4)的左边，也可能在点(3, 4)的右边，过点(3, 4)向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论.3.如图，RtAABO的顶点 A是双曲线1点.AB，x轴于B,且2abc=及y=上与直线 y= - x- ( k+1)在第二象限的交(1)求这两个函数的解析式;(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和 4ACC的面积.A、C两点坐标满足,直线y=-x+2与y轴的交点D的

8、坐标为(0, 2),【答案】(1)解：设A点坐标为(x, y),且xv 0, y>0,I1j 则 Saabc= -?|BC|?|BA|=上？ （ x） ?y=方 .xy= 3, a又 y= i, 即 xy=k, ' k= - 3.J所求的两个函数的解析式分别为 y=-S , y= - x+2； (2)解：由 y= - x+2,令 x=0,得 y=2.交点 A 为（1, 3） , C为（3, - 1）,k较易，由公式I =2SaABO, AOC 为 Sk oda+Sx odc 即Saaoc=S oda+Sx odc= O OD? (|xi|+|X2|)=二 X 2卜3+1) =4.

9、【解析】【分析】两解析式的 k 一样，根据面积计算双曲线中的 可求出k; (2)求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割 可求出.4.如图，直线y=mx+n与双曲线y= 4相交于A ( - 1, 2)、B (2, b)两点，与y轴相交 于点C.(1)求m, n的值;(2)若点D与点C关于x轴对称，求4ABD的面积；(3)在坐标轴上是否存在异于D点的点P,使得 Sxpab=Sdab?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由.A【答案】(1)解：二点A (- 1, 2)在双曲线y二上,解得，k= - 2,反比例函数解析式为：y=-l,b=d=1,则点B的坐标为(2, - 1),f - nt

10、# 豆=B公+ N 八解得，m= - 1, n=1(2)解：对于 y=- x+1,当 x=0 时，y=1, 点C的坐标为(0, 1), 点D与点C关于x轴对称， 点D的坐标为(0, - 1),7 .ABD 的面积=1 X 2X 3=3(3)解：对于 y= - x+1 ,当 y=0 时，x=1，直线y=-x+1与x轴的交点坐标为（0, 1）, 当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a, 0）, 1 1Sapab=上 x |1 a| x 2+ X |1 a| x 1= 3解得，a=T或3,当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0, b）,I1Sapab=三 X |1 b| X 2+ X 11 b| X 1

11、=3解得，b= T或3 ,，P 点坐标为（-1, 0）或（3, 0）或（0, - 1）或（0, 3）【解析】【分析】（1）由点A （-1, 2）在双曲线上，得到 k=- 2,得到反比例函数解析 式为，从而求出 b的值和点B的坐标，把 A、B坐标代入直线 y=mx+n,求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点 D与点C关于x轴对称，得到点 D的坐标，从而求出4ABD的面积；（3）由一次函数的解析式得到直线y= - x+1与x轴的交点坐标为（0, 1）,当点P在x轴上时，设点 P的坐标为（a, 0）,求出Sa pab=3,求出a的 值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0, b

12、）,求出Sapab=3,求出b的值，从而得到 P点坐标.5.如图，一次函数 y=kx+b的图象交反比例函数y=<（x>0）的图象于 A （4, -8）、B（m, -2）两点，交x轴于点C.仲（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当 x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点 P的坐标.a【答案】（1）解：二.反比例函数y= k （x>0）的图象于A （4, -8）, k=4 2-8） =-32.&,双曲线y= 乂过点B （m, -2）, m=16.由直线y=kx+b过点A, B得：'/

13、稣+ b 二, 1fi2 解得，小 一 居反比例函数关系式为' X , 一次函数关系式为(2)解：观察图象可知，当0vxv 4或x> 16时，一次函数的值大于反比例函数的值(3)解：.O (0, 0) , A (4, -8)、B (16, -2),分三种情况： 若OB/AP, OA/ BP,- O (0, 0) , A (4, -8),，由平移规律，点 B (16,-2)向右平移 4个单位，向下平移 8个单位得到 P点坐标为 (20, -10); 若 OP / AB, OA / BP, - A (4, -8) , B (16, -2), ，由平移规律，点 O (0, 0)向右平移

14、12个单位，向上平移 6个单位得到 P点坐标为 (12, 6); 若 OB/ AP, OP/AB, - B (16, -2) , A (4, -8), ，由平移规律，点 O (0, 0)向左平移12个单位，向下平移 6个单位得到P点坐标为(- 12, -6);以O, A, B, P为顶点作平行四边形，第四个顶点 P的坐标为(12, 6)或(-12, -6)或 (20, -10)d【解析】【分析】(1)将点A (4, -8) , B (m, -2)代入反比例函数y=x (x>0)中，可求k、a;再将点 A (4, -8) , B (m, -2)代入y=kx+b中，列方程组求 k、b即可；(

15、2)根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；(3)根据平行四边形的性质，即可直接写出.6(2)当k=二，且CA=CB /ACB=90时，求 C点的坐标；(3)当 ABC为等边三角形时，点 C的坐标为(m, n),试求m、n之间的关系式.66【答案】（1）解：把（a, 3）代入p =；,得' ;，解得a=2;（2）解：连接 CO,彳AD，y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，贝U / ADO=Z CEO=90, / DAO+/ AOD=90 ；直线y=kx与双曲线/ =工交于A、B两点，OA=OB,当 CA=CR /ACB=90 时， . CO=AO,

16、/ BOC=90 ,即 / COE+Z BOE=90 , / AOD=Z BOE,/ DAO=Z EOC.ADOAOEC；又 k=-二，一r 产由y=- - x和y=、解得'门X2 = 2学一3 ,所以A点坐标为（一2, 3),由 AADO0 4OEC得，CE=OD=3 EO=DA=2所以 C (-3, -2);（3）解：连接 CO,彳ADy轴于D点，作CE1 y轴于E点,贝U / ADO=Z CEO=90, / DAO+Z AOD=90 ；6;直线y=kx与双曲线1 =- i交于A、B两点，1. OA=OB, ABC为等边三角形，. . CA=CR / ACB=60 ,°

17、/ BOC=90，即 / COE+Z BOE=90 , / AOD=Z BOE,/ DAO=Z EOQ.ADOsOEQAD OD AC OECEa1AOM-tanJt? 0 - / ACO=I / ACB=30 ； / AOC=90 ； . . OC3 ,. C 的坐标为(m, n) , . . CE=-m, OE=-n,，AD=一 : n, OD= 3 m, A ( 3 n, - J m),代入 y= i 中，得 mn=18.【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；(2)连接 CO,彳AD±y轴于D点，作 CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出Z A

18、DO=Z CEO=90，。故/ DAO+/ AOD=90 ；根据双曲线的对称性得出OA=OB,当CA=CB,/ ACB=90时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出CO=AO, / BOC=90°,即/ COE+Z BOE=90°,根据等角的余角相等得出/ DAO=Z EOC,从而利用AAS判断出ADOOEC,解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出 A点的坐标，由 ADOOEC得，CE=OD=3 EO=DA=2,进而得出 C点坐标；(3)连接 CO,彳AD±y轴于 D点，作 CE1 y轴于 E点，根据垂直的定义得出/ ADO=Z

19、 CEO=90，。故/ DAO+Z AOD=90 ；根据双曲线的对称性得出OA=OB, ABC为等边三角形，故 CA=CR /ACB=60, / BOC=90, IP Z COE+Z BOE=90 ,根据等角的余角相等得出/ DAO=Z EOC,从而判断出ADCS OEC,根据相似三角形的旋转得出AD OD AC证 CE 庞，根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出农3 ,c 的坐标为(m, n)，故 CE=-m, OE=-n, AD=- 3 n, OD=>m,从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.7.如图，一次函数y=kx+b (kwQ与反比仞函数y=

20、 / (mO)的图象有公共点A (1,a)、D ( - 2, - 1).直线l与x轴垂直于点 N (3, 0),与一次函数和反比例函数的图 象分别交于点B、C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值;(3)求4ABC的面积.【答案】(1)解：.反比例函数经过点 D ( - 2, - 1), th，把点D代入y= 1(mwo), 楣 _ d-,：1= J ,m=2 ,反比例函数的解析式为：y=,一点A (1, a)在反比例函数上，£ B，把A代入y= ' ,得至U a= / =2, A (1,2),一次函数经过

21、A (1,2)、D(-2, - 1),r 2 = k brA = 7把 A、D 代入 y=kx+b (kwQ ,得到： ，二 二次 / & ,解得：b 1，一次函数的解析式为：y=x+1(2)解：如图：当-2vxv 0或x> 1时，一次函数的值大于反比例函数的值(3)解：过点 A作AELx轴交x轴于点E, 直线 Ux 轴，N (3, 0) , 设 B (3, p) , C (3, q), 点B在一次函数上, p=3+1=4, 日 点C在反比例函数上，.-.q=1,JG16.Saabc= -BC?EN=- X(4-3)X (3-1) = 3 .【解析】【分析】由反比例函数经过点D

22、(-2, -1),即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；结合图象求解即可求得 x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点A作AELx轴交x轴于点E,由直线l与x轴垂直于点 N (3, 0),可求得点 E,B, C的坐标，继而求得答案.K3与x、y轴交于M、N,若将N向右平移1弓个单位后8.如图，已知直线F-x +(1)求k的值；(2)点P为双曲线上的一个动点，过点 P作直线PALx轴于A点，交NM延长线于F 点，过P点作PBL y轴于B交MN于点E.设点P的横坐标为 m.用含有m的代数式表示点E、F的坐标 找出图中与EOM相似的三角

23、形，并说明理由.【答案】(1)解：当人7 -曲时,e E(2).ZJ/把%用小/孙代入；得,冲谢，由一次函数解析式得 / OME=Z ONF=45 dEOM - On【解析】【分析】（1）当x=0时，求出y=2，得出N（0,2甘）,由平移的性质得出gN'（3,2、n）.把（3,2'）代入 y=i得 k=6.（2）由（1）可设 P（m/,）.当 x=m 时，求出 y=-m+2g，即 F（m,2/-m）;当 y=时，求j6 6出x=2（-加，即E（2H切，筋）.I rtI rg. ON=A；J , EM=却,OM=2N;3 , NF=用 ,从而得出OMNF=EMON.由一次函数解析

24、式得 / OME=Z ONF=45 ;推出 A EOMA OFN.9.在平面直角坐标系中，我们定义点P （a, b）的 变换点”为Q.且规定：当a>b时，Q为（b, a）;当 a< b 时，Q 为（a, b）.（1）点（2, 1）的变换点坐标为;（2）若点A （a, -2）的变换点在函数 y=工的图象上，求a的值；（3）已知直线l与坐标轴交于（6, 0） , （0, 3）两点.将直线l上所有点的变换点组成 一个新的图形记作 M.判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论.【答案】（1） （1, - 2）（2）解：当a>- 2时，则A （a

25、, 2）的变换点坐标为（2, a）,代入y= d可得-a=-,解得a=上；当av 2时，则A （a,-2）的变换点坐标为（a, 2）,代入y=川可得2=，解得a=已，不符合题意;综上可知a的值为（3）解：设直线的解析式为 y=kx+b （kw0）,将点（6, 0）、（ 0, 3）代入 y=kx+b得:解得b - 3，直线l的解析式为y=-叵x+3.当 x=y 时，x=- J x+3,解得 x=2.点C的坐标为（2, - 2）,点C的变换点的坐标为 C' （ 2, - 2 ）,点（6, 0）的变换点的坐标为（0, - 6）,点（0, 3）的变换点的坐标为（0, - 3）, 当x>2

26、时，所有变换点组成的图形是以C' （ 2, - 2）为端点，过（0, - 6 ）的一条射线;即：y=2x- 6,其中 x>Z当xv2时，所有变换点组成的图形是以C' （2, - 2）为端点，过（0, - 3）的一条射线,即 y=二 x- 3,其中，xv 2.所以新的图形 M是以C' （2, -2）为端点的两条射线组成的图形.如图所示：III'-TJ由 x+c+3=（W 和 x2- 2x+c+6=02）讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C'的位置关系可得：£当方程 无实数根时，即：当 O- 时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点;当方程

27、 有两个相等实数根时，即：当c=-五时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交八、,7；当方程无实数根，且方程 有两个不相等的实数根时，即：当-5vcv -元时，抛物线y=x2+c与图形m有两个交点； 当方程 有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点 C时，即：当 c=-5或c=-6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；当方程方程均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2,即：当-6<c<- 5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点； 当cv - 6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点.【解析】【解答】解：（1）二？* 1,，点（2, 1）的变换点坐标为（1, - 2）,

28、故答案为：（1, - 2）;【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得 a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当 x>2 和xv 2两种情况，求得 M的关系式，然后在画出 M的大致图象，然后将抛物线 y=x2+c与 M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可.0- II110.如图，在菱形 ABCD中，/I、=；,点E是边BC的中点，连接 DE,AE.3I)（1）求DE的长；点F为边CD上的一点，连接 AF,交DE于点G,连接EF,若I/第二/冽,求证： MF s 跖户；求DF的长.【答

29、案】（1）解：连结BD:'四边形短圣菱形CB = CD = AB =丸 |；r ZC = 60°4 CDB及等边三景港：DB = DC = BC =：点E是边BC的中，曲J二 BE = EC=C=2J DE 1 BC-：DE =- Of = Afl(2)解：二/%G -上在心ZAGD 期,tA AGD s0 及才* AG 典,法.Z r /AGE = NDCF,tA AGE s0 加7 : ZEAG =/&DF = 90 - ZC = 30V 上超遥-ZEGFr ZAGE - ZD6J二 GFE = ZADG 二 9()又：* DE = RI.11 L1 厂.EF -

30、拉-:J奶 + 1)匕-v -'过点 E作 EK ± DC T点K在也 A鼠H中,FR J正一用f二2Z CF = FH + CH = 2 ± 1 = j|二 DF = CD - CF = i【解析】【分析】(1)连结BD ,根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出 CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE，BC, CE=2然后利用勾股定理算出DE的长；AG D6(2)首先判断出 AGgEGF,根据相似三角形对应边成比例得出好 F心，又ZAGE=Z DGF,故AG&DGF;根据相似三角形的性质及含 30。直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出E

31、F的长，然后过点E作EHI± DC于点H,在RtECH中，利用勾股定理算出 FH的长，从而根据线段 的和差即可算出答案.11.如图1,平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为 B (0, 3)和C (0, -,点A在x轴正半轴上，且满足 / BAO= 30)副部(1)过点 C作CE! AB于点E,交AO于点F,点G为线段 OC上一动点，连接 GF,将 OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点 O'处，连接O'，求线段OF的长以及线段 O'的勺 最小值；(2)如图2,点D的坐标为 D ( - 1, 0),将4BDC绕点B顺时针旋转，使得 BC± AB于 点

32、B,将旋转后的4BDC沿直线AB平移，平移中的 4BDC记为 B' D',C设直线B' C x轴 交于点M, N为平面内任意一点，当以 B'、D'、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点 M 的坐标.(1)解：如图1中,【答案】- / AOB=90 ; / OAB=30 ;/ CBE=60,°- .CE± AB,/ CEB=90,° / BCE=30,° g- c （0,-营）， .OC=E, OF=OC?tan30= , CF=2OF=/,由翻折可知：F。=FO=, ,.CO' >-OCFa/3 .CO

33、' >, 线段O' d勺最小值为 ？(2)解： 如图2中，当B' D' =B' M=BD= +学- 依 时，可得菱形 MND B'在 RtMMB 中，AM=2B M=2 限,.OM=AM-OA=2 -3，,.M (3-2、,质,0).如图4中，当B'相菱形的对角线时，由B' MDBO如图3中，当 B' M是菱形的对角线时，由题意 B' M=2OB=6此时 AM=12 , OM=12-3 小 ,可得 M (3 V-12, 0).B'可得 则在 RTA AM B 中，AM=2B M= J ,所以 OM=OA-AM=3 4-J ,所以 M ( 3V3 - J , 0)如图5中，当MD是菱形的对角线时，MB =B' D =,可得AM=2 "" OM=OA+