曲线拟合实验报告

1、数值分析课程设计报告学生学生学号所在班级指导教师成绩评定一、课程设计名称函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。实验要求：编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函 数和拟合函数的图形；用MATLAB的部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数 及平方误差，并用MATLAB的部函数plot作出其图形，并与（1）结果进行比较。 三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确 的经过这些点，而是拟合曲线无限逼

2、近离散点所形成的数据曲线。思路分析：从整体上考虑近似函数（X）同所给数据点误差 号=（七）-凹的大小，常用的方法有三种：一是误差乙=（七）-X绝对值的最大 值】理电即误差向量的无穷数；二是误差绝对值的和之惘，即误差向量的1 1-0m数；三是误差平方和的算术平方根，即类似于误差向量的2数。前两种方 （-0法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2数的平方，此次采 用第三种误差分析方案。算法的具体推导过程：L设拟合多项式为：、=（）+口1+ 口2 仃+, ' + ej（jEjP2,给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和:D寸=2 。£7- （3 + 口+ +3.为了求

3、得到符合条件的的值，对等式右边求偏导数，因而我们得到了:D-2 乙-（0°+ U/L + 1 了 0 ） = 0匚三1a-2 2 口- （口 + 口匚;+ + LIjLQ = 0 iJ=la2 2 I。-（口（）+ + + EJuEj§ !ZP o4,将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式（）+ 口12 + ,+2 dnLhiLJ=1口72 + 口2 口j+2 u10=1D=JdaD=J5.把这些等式表示成矩阵的形式,>/0=1就可以得到下面的矩阵：nnZxi=ln/=1£7。2 CS+ U1 2 OJ + -+ 口o'1=1 n Zv

4、1=1/=16 .将这个德蒙得矩阵化简后得到玉x27 .因为x*A=y,那么A=y/x ,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。四、课程设计容实验环境：MATLAB2010实验容：给定的数据点（口口，口口）00.50.60.70.80.91.011.751.962. 192.442.713. 001）用最小二乘法求拟合数据的多项式；2）用MATLAB部函数polyfit函数进行拟合。实验步骤1）首先根据表格中给定的数据，用MATLAB软件画出数据的散点图（图1）。2）观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组 基函数门,O', 并令f（x） = &&

5、#163;/ + 口2口+乙，其中口匚晨待定系数（k = 1,2,3）。3）用MATLAB程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。算法实现代码如下：x=0 0. 5 0.6 0. 7 0.8 0.9 1.0;y=l 1.75 1.96 2. 19 2.44 2.71 3. 00;R;（x2）' x' ones（7,1）；A=Ry'4）用MATLAB程序计算平均误差。算法实现代码如下：yl=l 1. 75 1. 96 2. 19 2. 44 2. 71 3. 00；x=0 0. 5 0.6 0. 7 0.8 0.9 1.0;y=x. -2+x+l；z=（y-yl）.

6、 2sum（z）5）作出拟合曲线和数据图形（图2）。6）用MATLAB的部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平 方误差。算法实现代码如下：x=0 0. 5 0.6 0. 7 0.8 0.9 1.0;y=l 1.75 1.96 2. 19 2.44 2.71 3. 00;A=polyfit (x,y,2);%二次多形式拟合%z=polyval(A,x)；Ad=sum(z-y). -2)7)绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。(图3) 五、程序流程图图5T用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图六、实验结果图5-2用polyfit函数求多项式拟合曲线流程图图67表中数据的散

7、点图系数为A = 1. 00001.00001. 0000则多项式的方程为y = LJ2 + L 7+ 1 平方误差和为ans =1. 9722e-031图6-3. polyfit函数实现的拟合函数第2问系数为A = 1. 00001.00001. 0000则多项式的方程为y = lJ2 + L 7+ 1平方误差和为ans = 1.9722e-031七、实验结果分析编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和拟合函 数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的拟合曲线比较 光滑。而用MATLAB的部函数求polyfit求解的曲线拟合多项式和平方误差与程 序求得的相

8、同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB的部函数做出的图 形由明显的尖点，不够光滑。此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。但是在应用实际问题中， 数据会很庞杂，此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。例如在进行数 据采集时，由于数据采集器（各种传感器）或机器自身的原因及其外部各种因素 的制约，导致数据偶尔会有大幅度的波动，及产生一些偏差极大的数据，不能真 实反映数据的可靠性，所以会对数据进行筛选或修正。而此时就可应用曲线拟合 的最小二乘法的进行处理。八、实验心得体会在日常的学习和生活中，我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题，并 不是所有的数据都是有用，必须对数据进行适当的

9、处理，然后找出数据之间的关 系，然后进行分析得出结果。此次实验结果基本没有大的区别，可是MATLAB提 供给我们一个特别简洁的办法，应用一个函数即可实现相同的结果。虽然很方便, 但是对于初学者来说，我觉得打好基础才是关键，对于一个知识点，应该掌握其 最基本的原理，然后在将它应用于实际。通过这个实验我也理解到了，数值分析是一个工具学科，它教给了我们分析 和解决数值计算问题得方法，使我从中得到很多关于算法的思想，从中受益匪浅。附录：源代码散点图：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0；y=l 1.75 1. 96 2. 19 2. 44 2. 71 3. 00；plot(x,y,&

10、#39;r*1) title('实验数据点的散点图')； legend(数据点(xi,yi),)； xlable (r x1)； ylable(r y1)； 最小二乘拟合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=l 1.75 1. 96 2. 19 2. 44 2. 71 3. 00； R=(x/2)' x' ones(7,1)；A二Ry'xl=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0； yl=l 1.75 1. 96 2. 19 2. 44 2.71 3. 00； x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x. -2+x+l；plot(xl,yl,'k+',x,y, ' r') title('实验数据点的散点图及拟合曲线')； z=(y-yl)."2； sum(z)Polyfit函数拟合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0; y=l 1.75 1. 96 2. 1