2021年四川省南充市数学中考试题含详解

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共10题）1、 满足 的最大整数 是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2、 数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等，则 为（ ） A B C D 3、 如图，点 O 是 对角线的交点， EF 过点 O 分別交 AD ， BC 于点 E ， F 下列结论成立的是（ ） A B C D 4、 据统计，某班 7 个学习小组上周参加 “ 青年大学习 ” 的人数分别为： 5 ， 5 ， 6 ， 6 ， 6 ， 7 ， 7 ，下列说法错误的是（ ） A 该组数据的中位数是 6 B 该组数据的众数是 6 C 该组数据的平均数是 6 D 该组数据的方差是

2、6 5、 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多 1 元，购买 10 个肉粽和 5 个素粽共用去 70 元，设每个肉粽 x 元，则可列方程为（ ） A B C D 6、 下列运算正确的是（ ） A B C D 7、 如图， AB 是 的直径，弦 于点 E ， ，则 的度数为（ ） A B C D 8、 如图，在菱形 ABCD 中， ，点 E ， F 分別在边 AB ， BC 上， ， 的周长为 ，则 AD 的长为（ ） A B C D 9、 已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ） A B C D 10、 如图，在矩形 ABCD 中， ， ，把边 AB 沿对角线 BD 平移，点 ， 分别对应点

3、A ， B 给出下列结论： 顺次连接点 ， ， C ， D 的图形是平行四边形； 点 C 到它关于直线 的对称点的距离为 48 ； 的最大值为 15 ； 的最小值为 其中正确结论的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、解答题（共9题）1、 先化简，再求值： ，其中 2、 如图， ， AD 是 内部一条射线，若 ， 于点 E ， 于点 F 求证： 3、 某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目 （ 1 ）求考生小红和小强自选项目相同的概率 （ 2 ）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计

4、图表如下： 考生 自选项目 长跑 掷实心球 小红 95 90 95 小强 90 95 95 补全条形统计图 如果体育中考按自选项目占 50% 、长跑占 30% 、掷实心球占 20% 计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩 4、 已知关于 x 的一元二次方程 （ 1 ）求证：无论 k 取何值，方程都有两个不相等的实数根 （ 2 ）如果方程的两个实数根为 ， ，且 k 与 都为整数，求 k 所有可能的值 5、 如图，反比例函数的图象与过点 ， 的直线交于点 B 和 C （ 1 ）求直线 AB 和反比例函数的解析式 （ 2 ）已知点 ，直线 CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为 E

5、 ，直接写出点 E 的坐标，并求 的面积 6、 如图， A ， B 是 上两点，且 ，连接 OB 并延长到点 C ，使 ，连接 AC （ 1 ）求证： AC 是 的切线 （ 2 ）点 D ， E 分别是 AC ， OA 的中点， DE 所在直线交 于点 F ， G ， ，求 GF 的长 7、 超市购进某种苹果，如果进价增加 2 元 / 千克要用 300 元；如果进价减少 2 元 / 千克，同样数量的苹果只用 200 元 （ 1 ）求苹果的进价 （ 2 ）如果购进这种苹果不超过 100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过 100 千克，超过部分购进价格减少 2 元 / 千克写出购进苹果的支出

6、y （元）与购进数量 x （千克）之间的函数关系式 （ 3 ）超市一天购进苹果数量不超过 300 千克，且购进苹果当天全部销售完据统计，销售单价 z （元 / 千克）与一天销售数量 x （千克）的关系为 在（ 2 ）的条件下，要使超市销售苹果利润 w （元）最大，求一天购进苹果数量（利润销售收入 购进支出） 8、 如图，点 E 在正方形 ABCD 边 AD 上，点 F 是线段 AB 上的动点（不与点 A 重合） DF 交 AC 于点 G ， 于点 H ， ， （ 1 ）求 （ 2 ）设 ， ，试探究 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围） （ 3 ）当 时，判断 EG 与 AC 的位

7、置关系并说明理由 9、 如图，已知抛物线 与 x 轴交于点 A （ 1 ， 0 ）和 B ，与 y 轴交于点 C ，对称轴为 （ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）如图 1 ，若点 P 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B ， C 重合），过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 Q ，连接 OQ 当线段 PQ 长度最大时，判断四边形 OCPQ 的形状并说明理由 （ 3 ）如图 2 ，在（ 2 ）的条件下， D 是 OC 的中点，过点 Q 的直线与抛物线交于点 E ，且 在 y 轴上是否存在点 F ，使得 为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 三、填空题（共6题）1

8、、 已知 ，则 _ ； 2、 在 ， ， ， 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 _ 3、 如图，点 E 是矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 F ， G ， H 分别是 BE ， BC ， CE 的中点， ，则 GH 的长为 _ 4、 若 ，则 _ 5、 如图，在 中， D 为 BC 上一点， ，则 的值为 _ 6、 关于抛物线 ，给出下列结论： 当 时，抛物线与直线 没有交点； 若抛物线与 x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（ 0 ， 0 ）与（ 1 ， 0 ）之间； 若抛物线的顶点在点（ 0 ， 0 ），（ 2 ， 0 ），（ 0 ， 2 ）所围成的三角形区域内（

9、包括边界），则 其中正确结论的序号是 _ =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 逐项分析，求出满足题意的最大整数即可 【详解】 A 选项， ，但不是满足 的最大整数，故该选项不符合题意， B 选项， ，但不是满足 的最大整数，故该选项不符合题意， C 选项， ，满足 的最大整数，故该选项符合题意， D 选项， ，不满足 ，故该选项不符合题意， 故选： C 【点睛】 本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解 2、 D 【分析】 由数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等且 ，可得 和 互为相反数，由此即可求得 m 的值 【详解】 数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等， ， 和 互为

10、相反数， + =0 ， 解得 m =-1 故选 D 【点睛】 本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出 和 互为相反数是解决问题的关键 3、 A 【分析】 首先可根据平行四边形的性质推出 AEO CFO ，从而进行分析即可 【详解】 点 O 是 对角线的交点， OA = OC ， EAO = CFO ， AOE = COF ， AEO CFO （ ASA ）， OE = OF ， A 选项成立； AE = CF ，但不一定得出 BF = CF ， 则 AE 不一定等于 BF ， B 选项不一定成立； 若 ，则 DO = DC ， 由题意无法明确推出此结论， C 选项不一定成立； 由 A

11、EO CFO 得 CFE = AEF ，但不一定得出 AEF = DEF ， 则 CFE 不一定等于 DEF ， D 选项不一定成立； 故选： A 【点睛】 本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键 4、 D 【分析】 根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可 【详解】 解： A 、把这些数从小到大排列为： 5 ， 5 ， 6 ， 6 ， 6 ， 7 ， 7 ，则中位数是 6 ，故本选项说法正确，不符合题意； B 、 6 出现了 3 次，出现的次数最多， 众数是 6 ，故本选项说法正确，不符合题意； C 、平均数是（ 5+5+6+6+6+7

12、+7 ） 7 6 ，故本选项说法正确，不符合题意； D 、方差 = 2 （ 56 ） 2 3 （ 66 ） 2 2 （ 76 ） 2 ，故本选项说法错误，符合题意； 故选： D 【点睛】 本题考查了众数、平均数、中位数、方差一组数据中出现次数最多的数据叫做众数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差 5、 A 【分析】 根据题意表示出肉粽和素粽的单价，再列出方程即可 【详解】 设每个肉粽 x 元，则每个素粽的单价为（ x -

13、1 ）元， 由题意： ， 故选： A 【点睛】 本题考查列一元一次方程，理解题意，找准数量关系是解题关键 6、 D 【分析】 根据分式的加减乘除的运算法则进行计算即可得出答案 【详解】 解： A. ，计算错误，不符合题意； B. ，计算错误，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选： D 【点睛】 本题考查了分式的加减乘除的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 7、 B 【分析】 连接 OD ，根据垂径定理得 CD =2 DE ，从而得 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解 【详解】 解：连接 OD ， AB 是 的直径，弦 于点 E ， CD =2

14、DE ， ， DE = OE ， 是等腰直角三角形，即 BOD =45 ， = BOD =22.5 ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键 8、 C 【分析】 连接 BD ，过点 E 作 EM AD ，可得 ME = ， AM =1 ，再证明 BDF ADE ，可得 是等边三角形，从而得 DE = ，进而即可求解 【详解】 连接 BD ，过点 E 作 EM AD ， ， ， ME = AE sin60=2 = ， AM = AE cos60=2 =1 ， 在菱形 ABCD 中， AD AB BC CD ， C A 60 ， ABD 和 BC

15、D 均为等边三角形， DBF = A =60 ， BD = AD ， 又 ， BDF ADE ， BDF = ADE ， DE = DF ， ADE BDE 60 BDF BDE ，即： EDF =60 ， 是等边三角形， 的周长为 ， DE = = ， DM = ， AD = AM + DM =1+ 故选 C 【点睛】 本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键 9、 B 【分析】 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得 ， ，再代入通分计算即可求解 【详解】 方程 的两根分别为 ， ， ， ， ， = = = = =-1 故

16、选 B 【点睛】 本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键 10、 D 【分析】 根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断 ，再利用等积法得出点 C 到 BD 的距离，从而对 做出判断，再根据三角形的三边关系判断 ，如图，作 关于 的对称点 ， 交 于 连接 ，过 作 于 分别交 于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解 ，对 做出判断 【详解】 解：由平移的性质可得 AB / 且 AB = 四边形 ABCD 为矩形 AB / CD ， AB = CD =15 / CD 且 = CD 四边形 CD 为平行四边形，故 正确

17、 在矩形 ABCD 中， BD = = =25 过 A 作 AM BD ， CN BD ，则 AM = CN S ABD = AB CD = BD AM AM = CN = =12 点 C 到 的距离为 24 点 C 到它关于直线 的对称点的距离为 48 故 正确 当 在一条直线时 最大， 此时 与 D 重合 的最大值 = =15 故 正确， 如图，作 关于 的对称点 ， 交 于 连接 ，过 作 于 分别交 于 则 为 的中位线， ， 由 可得 ， 此时最小， 由 同理可得： 设 则 由勾股定理可得： 整理得： 解得： （负根舍去）， 故 正确 故选 D 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判

18、定，矩形的性质以及平移的性质 , 锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键 二、解答题1、 ， -22 【分析】 利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解 【详解】 解：原式 = = = ， 当 x =-1 时，原式 = =-22 【点睛】 本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键 2、 见详解 【分析】 根据 AAS 证明 BAE ACF ，即可得 【详解】 证明： ， BAE CAF 90 ， BE AD ， CF AD ， BEA AFC 90 ， BAE EBA 90 ， CAF EBA ， AB AC ， BAE

19、 ACF ， 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 3、 （ 1 ） ；（ 2 ） 条形统计图见解析； 小红和小强的成绩分别为 93.5 和 92.5 【分析】 （ 1 ）用列表法求概率即可； （ 2 ） 根据统计表补全条形统计图； 用加权平均数分别计算出小红和小强的成绩即可 【详解】 解：（ 1 ）根据题意小红和小强自选项目情况如下表所示： 乒乓球 篮球 羽毛球 乒乓球 乒乓球，乒乓球 篮球，乒乓球 羽毛球，乒乓球 篮球 乒乓球，篮球 篮球，篮球 羽毛球，篮球 羽毛球 乒乓球，羽毛球 篮球，羽毛球 羽毛球，羽毛球 由上表可知，小红和小强自选项

20、目选择方式有 9 种情况，小红和小强自选项目相同的情况有 3 种，故小红和小强自选项目相同的概率为 ； （ 2 ） 补全条形统计图如图所示： 小红的体育中考成绩为： 9550%+9030%+9520%=93.5 ； 小强的体育中考成绩为： 9050%+9530%+9520%=92.5 ； 答：小红和小强的成绩分别为 93.5 和 92.5 【点睛】 本题主要考查了用列表法求概率、画条形统计图以及加权平均数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键 4、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 0 或 -2 或 1 或 -1 【分析】 （ 1 ）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （ 2 ）

21、先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合 k 与 都为整数，得出 k 的值； 【详解】 解：（ 1 ） = = 无论 k 取何值， 方程都有两个不相等的实数根 （ 2 ） =0 ， 或 ， 当 ， 时， k 与 都为整数， k =0 或 -2 当 ， 时， ， k 与 都为整数， k =1 或 -1 k 所有可能的值为 0 或 -2 或 1 或 -1 【点睛】 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（ 1 ）牢记 “ 当 0 时，方程有两个不等的实数根 ” ；（ 2 ）利用因式分解法求出方程的解 5、 （ 1 ）直线 AB ： ；反比例函数： ；（ 2 ） ， 【分析

22、】 （ 1 ）分别设出对应解析式，利用待定系数法求解即可； （ 2 ）先求出 C 点坐标，从而求出直线 CD 的解析式，然后求出 E 点坐标，再利用割补法求解面积即可 【详解】 （ 1 ）设直线 AB 的解析式为 ， 将点 ， 代入解析式得： ，解得： ， 直线 AB 的解析式为： ； 设反比例函数解析式为： ， 将 代入解析式得： ， 反比例函数的解析式为： ； （ 2 ）联立 ，解得： 或 ， C 点坐标为： ， 设直线 CD 的解析式为： ， 将 ， 代入得： ，解得： ， 直线 CD 的解析式为： ， 联立 ，解得： 或 ， E 点的坐标为： ； 如图，过 E 点作 EF y 轴，交直

23、线 AB 于 F 点， 则 F 点坐标为 ， ， 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数综合问题，准确求出各直线的解析式以及与双曲线的交点坐标，灵活运用割补法求解面积是解题关键 6、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 2 【分析】 （ 1 ）先证得 AOB 为等边三角形，从而得出 OAB =60 ，利用三角形外角的性质得出 C = CAB =30 ，由此可得 OAC =90 即可得出结论； （ 2 ）过 O 作 OM DF 于 M ， DN OC 于 N ，利用勾股定理得出 AC = ，根据含 30 的直角三角形的性质得出 DN = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出 GF 的长 【详解】 （ 1

24、 ）证明： AB = OA ， OA = OB AB = OA = OB AOB 为等边三角形 OAB =60 ， OBA =60 BC = OB BC = AB C = CAB 又 OBA =60= C + CAB C = CAB =30 OAC = OAB + CAB =90 AC 是 O 的切线； （ 2 ） OA =4 OB = AB = BC =4 OC =8 AC = = = D 、 E 分别为 AC 、 OA 的中点， OE / BC ， DC = 过 O 作 OM DF 于 M ， DN OC 于 N 则四边形 OMDN 为矩形 DN = OM 在 Rt CDN 中， C =3

25、0 ， DN = DC = OM = 连接 OG ， OM GF GF =2 MG =2 = =2 【点睛】 本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键 7、 （ 1 ）苹果的进价为 10 元 / 千克；（ 2 ） ；（ 3 ）要使超市销售苹果利润 w 最大，一天购进苹果数量为 200 千克 【分析】 （ 1 ）设苹果的进价为 x 元 / 千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解； （ 2 ）分两种情况：当 x 100 时， 当 x 100 时，分别列出函数解析式，即可； （ 3 ）分两种情况：若 x 100 时，若 x 100 时，分别求出 w

26、关于 x 的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解 【详解】 解：（ 1 ）设苹果的进价为 x 元 / 千克， 由题意得： ，解得： x =10 ， 经检验： x =10 是方程的解，且符合题意， 答：苹果的进价为 10 元 / 千克； （ 2 ）当 x 100 时， y =10 x ， 当 x 100 时， y =10100+ （ 10-2 ） （ x -100 ） =8 x +200 ， ； （ 3 ）若 x 100 时， w = zx-y = = ， 当 x =100 时， w 最大 =100 ， 若 x 100 时， w = zx-y = = ， 当 x =200 时， w 最大 =

27、200 ， 综上所述：当 x =200 时，超市销售苹果利润 w 最大， 答：要使超市销售苹果利润 w 最大，一天购进苹果数量为 200 千克 【点睛】 本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键 8、 （ 1 ） ；（ 2 ） y = (0 ；（ 3 ） EG AC ，理由见解析 【分析】 （ 1 ）过 E 作 EM AC 于 M ，根据正方形的性质得出 DAC =45 ， AD = AB = BC =1 ，利用等腰三角形的性质得出 EM = AM = ，再利用正切的定义即可得出答案； （ 2 ）过 G 作 GN AB 于 N ，

28、先证得四边形 HANG 为正方形，再证明 GNF DAF ，根据比利式即可得出结论； （ 3 ）根据 ADF = ACE 和 tan ACE = 得出 AF = ，根据（ 2 ）中的函数关系式得出 HG = ，从而得出 EHG 为等腰直角三角形，继而得出 EG AC 【详解】 （ 1 ）过 E 作 EM AC 于 M 在正方形 ABCD 中 DAC =45 ， AD = AB = BC =1 DE = ， AE = ， AC = EM = AM = AE = = CM = AC - AM = - = 在 Rt CEM 中， tan ACE = = (2) 过 G 作 GN AB 于 N HG

29、AD ， DAB =90 四边形 HANG 为矩形， GN AD HAG =45 AH = HG 四边形 HANG 为正方形 HG = GN = AN = y GN AD GNF DAF = AF = x ， NF = x - y = y = (0 (3) ADF = ACE tan ACE = tan ADF = = AD =1 AF = 即 x = 当 x = 时， y = HG = 在 Rt AHG 中， HAG =45 AH = HG = ， HGA =45 HE = AE - AH = EHG 为等腰直角三角形 EGH =45 AGE =90 EG AC 【点睛】 本题考查了正方形的

30、性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，适当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键 9、 （ 1 ） ；（ 2 ）四边形 OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（ 3 ）（ 0 ， ）或（ 0 ， 1 ）或（ 0 ， -1 ） 【分析】 （ 1 ）设抛物线 ，根据待定系数法，即可求解； （ 2 ）先求出直线 BC 的解析式为： y =- x +4 ，设 P （ x ， - x +4 ），则 Q （ x ， ），（ 0 x 4 ），得到 PQ = ，从而求出线段 PQ 长度最大值，进而即可得到结论； （ 3 ）过点 Q 作 QM y 轴，过点 Q 作 QN y 轴，过点 E 作

31、EN x 轴，交于点 N ，推出 ，从而得 ，进而求出 E （ 5 ， 4 ），设 F （ 0 ， y ），分三种情况讨论，即可求解 【详解】 解：（ 1 ） 抛物线 与 x 轴交于点 A （ 1 ， 0 ）和 B ，与 y 轴交于点 C ，对称轴为直线 ， B （ 4 ， 0 ）， C （ 0 ， 4 ）， 设抛物线 ，把 C （ 0 ， 4 ）代入得： ，解得： a =1 ， 抛物线的解析式为： ； （ 2 ） B （ 4 ， 0 ）， C （ 0 ， 4 ）， 直线 BC 的解析式为： y =- x +4 ， 设 P （ x ， - x +4 ），则 Q （ x ， ），（ 0 x 4

32、）， PQ =- x +4-( )= = ， 当 x =2 时，线段 PQ 长度最大 =4 ， 此时， PQ = CO ， 又 PQ CO ， 四边形 OCPQ 是平行四边形； （ 3 ）过点 Q 作 QM y 轴，过点 Q 作 QN y 轴，过点 E 作 EN x 轴，交于点 N ， 由（ 2 ）得： Q （ 2 ， -2 ）， D 是 OC 的中点， D （ 0 ， 2 ）， QN y 轴， ， 又 ， ， ， ，即： ， 设 E （ x ， ），则 ，解得： ， （舍去）， E （ 5 ， 4 ）， 设 F （ 0 ， y ），则 ， ， ， 当 BF = EF 时， ，解得： ， 当

33、BF = BE 时， ，解得： 或 ， 当 EF = BE 时， ，无解， 综上所述：点 F 的坐标为：（ 0 ， ）或（ 0 ， 1 ）或（ 0 ， -1 ） 【点睛】 本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键 三、填空题1、 【分析】 利用平方根解方程即可得 【详解】 由平方根得： ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题关键 2、 【分析】 先得出倒数等于本身的个数，再根据概率公式即可得出结论 【详解】 解： 在 ， ， ， 这四个数中，倒数等于本身的数有 ， ， 随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ； 故答案为： 【点睛】 本题考查的是概率公式，