概率论试题与答案

1、、填空题：(每题4分，共24分)1 .已知事件 A与B相互独立，P(A) 0.4, P(A B) 0.7 ,则概率P(B|A) 为。2 .某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在 4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为 ,3 .若有 N(0,1),=2 1,则N (, )4 .若随机变量X服从参数为 的泊松分布，且EX 4 DX ,则参数 =2(1 x) 0 x 15 .设连续型随机变量的概率密度为f(x) () 甘/山，且 2,则0 其他的概率密度为。6 .设总体XN( , 2)的分布，当 已知，X1,X2,L Xn为来自总体的样本，则 n X

2、.统计量 (人一)2服从 分布。i 1二、选择题：(每小题4分，共20分)1.设事件A, B,C是三个事件，作为恒等式，正确的是()A. ABC AB(CU B)B.AU BUC ABCC.(AU B) A BD.(AU B)C (AC)U(BC)2. n张奖券有m张有奖的, 率是( )ok个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概A.B.C. 1D.Cm3.设 EXDX,则由切比雪夫不等式知P(X4)()14A.16B.1516C.15D.1615-10210.100.350.104.如果随机向量(，)的联合分布表为:20.200.200.05则协方差cov(,)=()A.-0.2 B.-0

3、.1C.0 D. 0.15.设总体N(,2),(Xi,X2,L Xn)是的简单随机样本，则为使n 1C (Xi 1i 1Xi)2 为2的无偏估计，常数C应为()A. 1 nB.C.12(n 1)D.1"2三、计算题:待用数据(t0.975(35)2.0301,t0.975(36)2.0281,t0.95(35) 1.6896, t0.95(36)1.6883 , 0.8413, (2) 0.9772 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95)1 .三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为 0.50.6, 0.7。若无人射中鸟不会坠地；只有一人射中的鸟坠地的概

4、率为 0.2;两人射中的鸟坠地的概率为0.6;三人射中的鸟一定坠地的; 实，问分别有一人、两人、三人射中鸟的概率？ 求鸟坠地的概率？(1)当三个人同时向鸟射击(2)三人同时向鸟射击一次，2 .已知随机变量的概率密度为(x) Ae凶，求：(1)系数A; (2)求概率P(01);(3)的分布函数。3 .已知随机变量(X,Y)的概率密度12e(3x4y) 0 x,0 yf(x,y)0 其他求(1)二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度；(2)X Y的概率密度。4 .设总体 U0,待定参数 0。X1,X2,L Xn是来自总体的样本。 求 的极大似然估计；(2)求 的矩估计？； (3)证明：矩估计量？为参

5、数 的无偏估计。(14分)5 .(共10分)某中学入学考试中，设考生的数学考试成绩服从正态分布，从中任取36位考生的成绩，其平均成绩为 66.5分，标准差为15分。(1)问在0.05的显著性水平下，是否认为全体考生的数学平均成绩为 70分?(2)给出全体考生的数学平土§成绩在置信水平为0.95下的置信区问。0 y 1,其他，答案.1. 0.5 ; 2.1 1, (-1,4); 4.2; 5. p(y) &0,26.(n).1. B; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C.1解：设A第i个人射中，(i=1,2,3 ),由题意知P(A) 0.5, PO 0.6; P(A3

6、) 0.7(1)又设 R=三人都射不中; B=一人射中; B=恰有两人射中; R=三人 同时射中, C=鸟坠地P(CBo) 0,P(CBi) 0.2,P(CB2) 0.6,P(CB3) 1, P(B°) 0.06,P(B1) 0.29,P(B2) 0.44,P(B3) 0.21(2)由全概公式3P(C)P(Bi)P(C Bi)(2分)0.5321 02 .解：(1)由于 (X)dxAe1x1 dx 112A e xdx 1 故 A 021(2) P(01) 1e xdx1 分)1( ex) (1 分)-e-(1 分)0 22021exdx 1 ex x 0(如)(3) F(x) x1

7、exdx(冷)222x 1 、， x 1 、，1、，,，e dxe dx 1 e x 0( 2分)20 223. (1) fx(x)f(x,y)dy(1 分)。住(3dy1 分)吟1 分).fy(x)f (x, y)dyi分)12e (3x 4y)dx1 分)4e4y 0 y4e其I(1分)f(z)f (x, z x)dX2分)z12e00,(4z x) dx,0(2分)00, z 012e3z 12e4z, z 014 .似然函数为L( ) 二 , In L( ) nln令d1nL( ) n 0 解得？ maxXd1 i n(2)因为EX a，故矩估计量得？ 2X2 nc n2E : 2EX

8、 - EXi - n i 1n i 1 25 .解：(1)设考生的数学考试成绩作为总体X N( , 2),由题意知X 66.5, S 15。H0:70, H1:70.、生反、上目丁 X口 166.5 701构造统计量T X 且|T| J -36 1.4Sn15而t(n 1) t0975(35) 2.0301,即 T t (n 1)1 -1 -2 2故可以认为这次全体考生的数学平均成绩为70分。t (n 1)1 -2的临X(2)因为T Xt(n 1)故查表满足PS 一、n界值得到置信水平为0.95的区间即区间61.42475,71.57525。填空题(共20分，每小题4分)1 .设事件A, B仅

9、发生一个的概率为0.3,且P(A) P(B) 0.5，则A,B至少有一个发 生的概率为 。2 .设离散型随机变量X的分布函数为 0x2F (x)22x313 x则X的分布律为3 .设随机变量X服从参数为3的泊松分布，用切比雪夫不等式估计得到P(|X 3| 4) 4 .若随机变量 U1,6,则方程x2 x 1 0有实根的概率为5 .设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N (0,4)的一个简单随机样本，则当a , b _时统计量X a(Xi 2X2)2 b(3X3 4X,)2服从2分布。二、选择题(共20分，每小题4分)1 .若对任意的随机变量X , EX存在，则E(E(EX)等于()2A. 0

10、 B . XC . EXD . (EX)22 .设A和B是任两个概率不为0的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是()(A) A和B不相容(B) A和B相容(C) P(AB) P(A)P(B)(D) P(A B) P(A)3 .设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次, 则第二次取出白球的概率为()。A. J (a b)24.在下列函数中,2xA. f(x) 0b(b 1) B.(a b)(a b 1)可以作为随机变量的概率密度函数的是(0 x 1其他B- f(x)02 , 0其x也C. f(x)cosx0其他D. f(x)2e x，一1 一5.若 X P(3),Y

11、N(2,5), x,y2,且Z X 2Y 2 ,则 DZ=(A. 8 ,15 B. 8 2,15 C. 13 .15 D. 23 2.15 三、计算证明题(共60分)1 . ( 10分)设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为 0.03 ,第二台机床出废品的概率为0.06，加工出来的零件混放在一起， 并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。(1)求任取一个零件是废品的概率(2)若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工的 概率。2. (14分)若D是以点(0, 0), (-1 ,1),(1, 1)为顶点的三角形内部区 域，二维随机变量(X,Y)在区域D内服从均

12、匀分布(1)求出(X,Y)的联合概率密度函数(4分)，一、1,(2) P(Y -x) (4 分)(3)求Z X Y概率密度的函数(6分)3. (12分)假设生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，统计资料表 明该生产线每件产品的组装时间平均为5分钟，各件产品的组装时间彼此独立。试用中心极限定理求：(1)组装100件产品需要6到10小时的概率；(6分)(2)以95%勺概率在8个小时之内最多可以组装多少件产品？ ( 6分)(2.8) 0.9974, (1) 0.8413,(2) 0.9772,(1.65) 0.95,(3) 0.9987)4. 设总体X的概率密度为f(x,)0 x 1其他其中 1是

13、未知参数，(Xi,X2, ,xn)是总体X的样本观测值，求：(1)的矩估计(4分)AA(2) 的极大似然估计 L,并问L是的无偏估计吗？请说明理由。(8分)5. (12分)机器自动包装某食品，设每袋食品的净重服从正态分布，规定每袋食品的标准质量为500g。某大开工后，为了检查机器是否正常工作, 从包装好的食品中随机抽取9袋检查，测得净重为497, 507, 510, 475, 488, 524, 491,515, 512在下列两种情况下检验包装机是否工作正常（显著性水平为0.05）。12.若若常2未知，该选用什么统计量，什么分布？2=16,通过Excel计算得到以下表格，问判断包装机是否工作正

14、0备查的临界值0.97510.975 ( 20)t0.95(19)0.951. 962. 0861. 72911. 6449.1. 0.4; 2.P(X 2) -,P(X 3)53; 3. ; 4. 0.8; 5.51620100z-检验：双样本均值分析12平均502.1111111500已知协方差161E-11观测值91假设平均差0Z1.583333333P(Z<=z)单尾0.056672755z单尾临界1.644853627P(Z<=z)双尾0.113345509z1.959963985.1.C; 2. D; 3.D; 4. A; 5. D.1解：（1）设8 =取出的零件是废品

15、，A尸零件是第一台机床生产的,A2=零件是第二台机床生产的,则 P(Ai)21-,P(A2)一33由全概率公式得:P(B) P(B|Ai)P(Ai) P(B|A2)P(A2) 0.030.0610.0430.020.50.04P(B | A2)P(A2)(2) P(A2| B)2-P(B)2 .解：（1）联合概率密度为p(x,y)1 (x,y) D0 其他1 P(Y 2X)(3)根据卷积公式Pzp(x,zx)dx ,得:pz(z)P(x,zx)dx0z2 dxz 10其他解:(1)令i为第i件产品的组装时间，则1 E(-)5100100P360i 6001P360 100 5i 100(2)(

16、2.8)(2) 11100 52I (2.8)i 1100 520.9746600 100 5.21.100 52nP(ii 5n480)P(i 15.n480 5n5.n ),96 n、() 0.9581解：(1) EX21dxLx，1dx1矩估计为$ I(2)设X1,X2,.,Xn是来自总体的样本,/，.9为相应的样本观测值似然函数为:L()Tnxiln( L( ) nln(1)n1i1ln(xi)令dln(L()解得:Q E(ln X)1ln0nln( xji 11)2nln(xi)i 1n1 J x 1 dx ln111x 1dx 1QE( L)1 n1 E(lnXi) 1 (1)n

17、i 1L是的无偏估计5解：（1）2未知时要选的统计量为：T X而，服从自由度为Sn 18（ 即n-1）的t分布（2）令 H0 :500, H1:500从表格可以看出， p 0.113345509> =0.05 ,不拒绝Ho（或则，Qz=1.583333333<1.959963985即观测值落在接受域不拒绝H 0）填空题(共20分，每空格4分)1 .设事件A,B相互独立，且P(A) 02 P(B) 0.5,则P(BA 百)=2 .设随机变量 的分布函数为F(x),则 81的分布函数为3 .设是，上均匀分布的随机变量，sin ； cos ,求，的相关系数4.设随机变量 的期望E与方差D

18、都等于，又E(3)(4) 3, WJ =5.设离散型随机变量的分布函数为0x 10F(x) 0.710 x 01x 0则的分布律为、选择题(共16分,每小题4分)1.设总体 N( , 2),Xi,X2, ,Xn)是的样本,1nX - Xi是的样n i 1A.本均值，以下()Xi是总体方差2的无偏估计.Xin 1城2xnc 一C.Xi xn 1 i 1Xi22 .设 N(0,1), 2(5),相互独立，则A.t(4)B.t(5)C.F(2) D.2(5)3 .设 X N(2) , Y E(),则不正确的是(A . E(X Y).D(X Y)C . E(X2 Y2)2EY24.设袋中有a只黑球，b

19、只白球，每次从中取出一球, 则第二次取出黑球的概率为()。取后不放回，从中取两次,A.a B(a b)a(a 1)(a b)(a b 1)2a(a b)2三、判断题(共4分，每小题2分。对"，"，错"X")11 .()设* N(0,1),则 P(X 0) P(X 0)22 .()未知参数的置信水平为1的置信区间是唯一的四、(共10分)如果 A、B、C两两独立，且 ABC二1 .如果P(A)=P(B)=P(C)=y,计算P(A B C),并求y的最大值,e1 一 一9,2 .如果 P(A)=P(B)=P(C ) < ,且 P(A B C) 一，求 P

20、(C)216五、(共10分)一台机器制造直径为的轴，另一台机器制造内径为的轴套，设的密度函数为p(x, y)0,其它2500, 0.49 x 0.51;0.51y 0.53(1)求的概率密度函数如果轴套内径比轴的直径大于 0.004，但不大于0.036,二者能配合成套, 现随机选取，问二者配合成套的概率？六、(共10分)设二维随机变量(，)的联合密度为p(x, y)ke 3x 4y, x 0, y 00,其它1 .求常数k?2 .求相应的分布函数?3.求 P(01,02)?七、（共10分）如果在1500件产品中有100件不合格品，从中任意抽取15件进 行检查，求从中查出的不合格品数的数学期望？

21、八、（共10分）为检验饮用水合格率，随机抽取50升，化验每升水中A种细菌的 个数（一升水中A细菌的个数服从poisson分布）化验结果如下A细菌的个数/升0123456升均每升水中A细菌的个数为多少才能使出现上述情况的概率为最大（用极 大似然估计的方法）？九、（共10分）如下是某厂随机选取的20只配件装配时间（分）9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7设装配时间总体服从正态分布 N （m,s2）, m,s2均未知。是否可以认为装配时间的均值m显著大于10?（取a =

22、 0.05）0.975t0.975(20)t0.95(19)0.951. 962. 0861. 72911. 6449通过 Excel计算得到以下表格:列1平均10.2标准误差0.114017543中位数10.15众数9.6标准差0.509901951力差0.26峰度-0.817841244偏度0.521388375区域1.6最小值9.6取大值11.2求和204观测数20答案：,y 1、一.1.4/9;2. F()； 3,0；4. 3;5, P( 10) 0.7 ,P( 0) 0.38D, B, B, A对，错 四.(1)由于A、B、C两两独立，则满足P(AB) P(A)P(B) y2,P(B

23、C) P(B)P(C) y2,P(AC) P(A)P(C) y2,又 ABC 则 P(ABC) 0,P(A B C) P(A) P(AB) P(AC) P(ABC) y 2y2 00 y 0.5，故 y 的最大值为0.5.(2)P(AU BUC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)92_3P(C) 3P(C) P(C) 0.25, 16而另外的一个解 P(C) 0.75 0.5舍去.五.解：(1) F(z) P(z) p(x, y) dxdyy x z当 z 0 时，F(z) 0； 当 0 z 0.02 时，0.5122500 0.51 z(z x 0.51)dx 1250z0.51z xF(z) p(x, y)dxdy 2500 dx dy0.51 z 0.51 J y x z当 0.02 z 0.04 时，0.53 zz x0.510.53F(z) p(x, y)dxdy 2500 dx dy 2500 dx dy0.490.510.53 z 0.51 Jy x z0.53 z2500 049 (z x 0.51)dx 2500g0.02g0.04 z)1250gz(0.04 z) 当 z 0.04时，F(z)