第三章：恒定电流

1、3.1 3.1 电流场电流场1 1、电流：、电流：电荷的定向运动形成电电荷的定向运动形成电流。正电荷运动方向规定是电流流。正电荷运动方向规定是电流的方向；的方向； 电流强度：电流强度：单位时间内通过导体单位时间内通过导体任一横截面的电量任一横截面的电量 dtdqtqIt0limn单位单位：n安培（安培（A A）、毫安（）、毫安（mAmA）、微安（）、微安（AA）、皮安）、皮安（pApA）+IS几种典型的电流分布几种典型的电流分布粗细均匀的粗细均匀的金属导体金属导体粗细不均匀粗细不均匀的金属导线的金属导线半球形接地电半球形接地电极附近的电流极附近的电流电阻法勘探矿电阻法勘探矿藏时的电流藏时的电流

2、同轴电缆中同轴电缆中的漏电流的漏电流4 2.电流密度电流密度电流密度矢量电流密度矢量 的的方向方向沿该点电场沿该点电场 的方向，的方向，大小大小等于通过与该点场强方向垂直的单位面积的电流强度等于通过与该点场强方向垂直的单位面积的电流强度. jE电流线概念电流线概念 电流线上某点的切向为该点电流线上某点的切向为该点 的方向的方向j电流线电流线Pjn电流密度矢量电流密度矢量j j的分布构成一个矢量场的分布构成一个矢量场电流场电流场 电流线的条数密度等于电流密度大小电流线的条数密度等于电流密度大小N SSNSNjSddlim0 SIdd电流强度就是穿过横截面电流线的数目。电流强度就是穿过横截面电流线

3、的数目。由电流强度定义电流密度：由电流强度定义电流密度： dd nSIjIdSdn 是指向电流方向的单位向量，与是指向电流方向的单位向量，与 垂直。垂直。n SdjdSdI Sj ddIn通过导体中任意截面通过导体中任意截面S S的电流的电流强度与电流密度矢量的关系为强度与电流密度矢量的关系为 cos ddssIjSjS 电流密度通量电流密度通量Ssdj二二. 电流强度与电流密度的关系电流强度与电流密度的关系7三三. 电流连续性方程电流连续性方程 ddd tqsjS内内对任一闭合曲面，电流密度的通量满足：对任一闭合曲面，电流密度的通量满足：ISq内内sdj微分形式微分形式0jt 电流连续性方程

4、是电荷守恒定律的数学表述：电流连续性方程是电荷守恒定律的数学表述：单位时间内单位时间内“净净”流出封闭曲面的电量，等于流出封闭曲面的电量，等于封闭曲面内电量的减少，反映了电流分布和封闭曲面内电量的减少，反映了电流分布和电荷分布之间的普遍关系。电荷分布之间的普遍关系。电流线起始、终止于电荷随时间变化之处：电流线起始、终止于电荷随时间变化之处： 有电流线发自面内，有电流线发自面内， 面内积累负电荷，电荷密度减小。面内积累负电荷，电荷密度减小。, 0d , 0ddsjtqS内内 有电流线止于面内，有电流线止于面内， 面内积累正电荷，电荷密度增加。面内积累正电荷，电荷密度增加。, 0d , 0ddsj

5、tqS内内 电流线连续地穿过，电流线连续地穿过， 面内无电荷积累，电荷密度不变。面内无电荷积累，电荷密度不变。, 0d , 0ddsjtqS内内9 稳恒电流和稳恒电场稳恒电流和稳恒电场 对稳恒电流对稳恒电流0ddtq内内 稳恒条件：稳恒条件： 0d Ssj 0 j稳恒电流：稳恒电流： 的分布不随时间变化的电流。的分布不随时间变化的电流。j 若不随时间变化，则电荷分布也不随时间若不随时间变化，则电荷分布也不随时间变化：变化：一些电荷从某地流动走的同时，另外一些电荷从某地流动走的同时，另外一些等量的电荷必将流动过来进行补充。一些等量的电荷必将流动过来进行补充。j电流线闭合电流线闭合稳恒电场与静电场

6、的相同之处：稳恒电场与静电场的相同之处：稳恒电场：稳恒电场：稳恒电流情况下，电荷分布不随稳恒电流情况下，电荷分布不随 时间变化，则产生的电场不随时间变化。时间变化，则产生的电场不随时间变化。 服从环路定理：服从环路定理： 服从高斯定理：服从高斯定理：任何电场都服从高斯定理。任何电场都服从高斯定理。0d 内内qsESLlE0d电势和电势差概念仍然适用！电势和电势差概念仍然适用！习惯上仍把稳恒电场称为静电场。习惯上仍把稳恒电场称为静电场。稳恒电场与静电场的不同之处：稳恒电场与静电场的不同之处： 静电场静电场电荷静止，不激发磁场电荷静止，不激发磁场0导体内导体内E静电平衡时导体内部场强为零，静电平衡

7、时导体内部场强为零，维持静电场不需要能量的转换维持静电场不需要能量的转换 稳稳恒电场恒电场电荷运动形成电流，激发磁场（静磁场）电荷运动形成电流，激发磁场（静磁场）伴随能量的转换伴随能量的转换导体内部电场不为零，导体内部电场不为零，0导体内导体内E欧姆定律欧姆定律 n恒定电场和静电场一样恒定电场和静电场一样 ，满足环路定理，满足环路定理 ；0d lEn欧姆定律欧姆定律 n积分形式积分形式可以引进电势差可以引进电势差（电压）的概念（电压）的概念IRURUI或,n电阻率和电导率电阻率和电导率 n均匀导体电阻均匀导体电阻 n非均匀导体非均匀导体 SlRSdlR11,GR电导电导电导率电导率欧姆定律微分

8、形式欧姆定律微分形式 n上式给出了上式给出了j j与与E E的点点对应关系的点点对应关系n更适用于表征性质各异的导体材料的特征更适用于表征性质各异的导体材料的特征n适用范围比积分形式大适用范围比积分形式大UUURURUUUI)(Sj I.llRSS./UUSlSl jSlUE/.jE标量，场强标量，场强E E的方向和电流密的方向和电流密度矢量度矢量j j的方向处处一致的方向处处一致 .jE.jE2. 有许多材料不服从欧姆定律。有许多材料不服从欧姆定律。例如：低压电离气体，半导体材料等，例如：低压电离气体，半导体材料等，伏安特性曲线（伏安特性曲线（U I 关系）呈非线性。关系）呈非线性。 欧姆定

9、律的适用范围欧姆定律的适用范围1. 比比 适用范围广，对适用范围广，对非均匀非均匀 导体导体成立，成立，对对非稳恒电流非稳恒电流也成立。也成立。jEIRU 3. 理想导体的理想导体的 ，但，但不能把超导体简不能把超导体简单地看成是理想导体。单地看成是理想导体。焦耳定律焦耳定律电流热效应电流热效应 n电功率电功率 ：电场在单位时间内所做的功电场在单位时间内所做的功 UItAPn热功率热功率 ：单位时间内电流通过导体时产生的热量单位时间内电流通过导体时产生的热量RURItQP22热n热功率热功率 ：热功率只是电功率中转化为内能的热功率只是电功率中转化为内能的那一部分那一部分 IURURIP22热2

10、)(SjlS22()jEVV2EV焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式n热功率密度热功率密度 ：单位体积内的热功率单位体积内的热功率 VPpV0lim2pE2EVn热功率密度与场强的平方成正比，是热功率密度与场强的平方成正比，是点点对应关系，与导体形状无关。导点点对应关系，与导体形状无关。导体中一定体积内的发热功率：体中一定体积内的发热功率： 2VPE dV求：求：接地电阻接地电阻 R解：解：球对称球对称 jah，rerIj 24rerIjE2 4 【例题例题】半径半径 a 的球形电极埋入大地，距地面的球形电极埋入大地，距地面 h a ，大地，大地电导率为电导率为 。设接地电流为设接地电流为

11、I ，I 大地大地har18IUR a 41 a 1 aarEUd rrIad42 aI 4 rrIrrd42 r 41raU raa a rI 大地大地har当当 r = 10a 时：时：即即 90% 的电势降落的电势降落在在 r = 10a 的范围内。的范围内。 a r = 0.9U a rI 大地大地har一、不同导体界面上的边界条件一、不同导体界面上的边界条件n设界面上有自由电荷积累设界面上有自由电荷积累 0 0 n由高斯定理和电流连续性方程可得由高斯定理和电流连续性方程可得SSdSdtddtdqdddd021侧面底底SjSjSjSjSnj1Snj20St0恒定电流恒定电流 00tnn

12、jjnjj12120)(或tjjn012)(3.2 3.2 恒定电流场的边值关系恒定电流场的边值关系nnjjnjj12120)(或根据欧姆定律的微分形式：根据欧姆定律的微分形式：jE可得恒定电场可得恒定电场E的边值关系的边值关系：2211nnEE当界面上没有自由电荷时，当界面上没有自由电荷时，两种导体界面两种导体界面上，上，j法向连续。法向连续。0Ed l因为恒定电场是库仑场因为恒定电场是库仑场（保守场或无旋场、势（保守场或无旋场、势场），所以满足环路定理：场），所以满足环路定理：1122120()0LtE dlElElEEle 12ttEE在不同导电介质的界面上，恒定电场在不同导电介质的界面

13、上，恒定电场E切切向分量连续向分量连续 1212jttj恒定电场的折射定律恒定电场的折射定律电流线在边界上的电流线在边界上的“折射折射” J法向分量连续，法向分量连续，E E切向分量连续切向分量连续2211tgtg2221212211coscossinsinEEEE架空输电线的电场架空输电线的电场 2 2=0=0，理想电解质中无电流，电流，理想电解质中无电流，电流密度只存在于导电介质中密度只存在于导电介质中21022010nnnnDDEE210nnjj二、导电介质与理想电介质界面处的边值关系二、导电介质与理想电介质界面处的边值关系21ttEE在电流恒定时，导体表面上有恒定的在电流恒定时，导体表

14、面上有恒定的电荷分布电荷分布 0 0，将在理想电解质中激，将在理想电解质中激发恒定电场。发恒定电场。这说明，导体表面上的恒定电场既有法线分量这说明，导体表面上的恒定电场既有法线分量E E2n2n，又有切线分，又有切线分量量E E2t2t, ,因此，在恒定电流情况下，导体外（理想电介质中）的因此，在恒定电流情况下，导体外（理想电介质中）的恒定电场不与导体表面垂直。这一点与静电场不同。恒定电场不与导体表面垂直。这一点与静电场不同。25三三 电动势电动势26 非静电力非静电力: 能把正电荷从电能把正电荷从电势较低的点势较低的点(如电源负极板如电源负极板)送送到电势较高的点到电势较高的点(如电源正极板

15、如电源正极板)的作用力称为的作用力称为非静电力非静电力. 电源电源：提供非静电力的装置：提供非静电力的装置. 非静电场非静电场场强场强 : 单位正电荷所受的非静电力单位正电荷所受的非静电力.kEkkFEqE+-RI+kE27dkEl 电动势电动势 的定义：的定义：把单位正电荷从负极通把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，电源中的非静电力所过电源内部移到正极时，电源中的非静电力所作的功作的功. 自负极经电源内部到正极的方向自负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向为电动势的正方向. 28电源电动势电源电动势可定义为把单位正电荷绕闭合回路一周可定义为把单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电

16、力所作的功时，电源中非静电力所作的功. dkLEl电源内部电源内部 电流密度电流密度()KjEEn路端电压路端电压 UUIrdljU, 1cos, 1coscos放放电电电电路路充充电电电电路路( 1)KjdlEdldlj dlIS ()KjUUUE dlEdl 外电路上电场力做功外电路上电场力做功沿电源内沿电源内部积分部积分四、稳恒电流场和恒定电场的基本规律四、稳恒电流场和恒定电场的基本规律稳恒电流场总是伴随着静电场，当导电介质稳恒电流场总是伴随着静电场，当导电介质中有稳恒电流时，如何同时确定电流分布和中有稳恒电流时，如何同时确定电流分布和电场分布，这类问题的基本方程是什么？电场分布，这类问

17、题的基本方程是什么？一一. 基本方程基本方程稳恒条件：稳恒条件： 0d Ssj环路定理：环路定理：LlE0d jE欧姆定律：欧姆定律：说明：说明：1. 载流导电介质中的稳恒电流场和静电场的载流导电介质中的稳恒电流场和静电场的 分布规律完全由导电介质的导电特性决定，分布规律完全由导电介质的导电特性决定， 而与其极化性质无关，即与电导率而与其极化性质无关，即与电导率 有关，有关， 与介电常数与介电常数 无关。无关。 三个方程闭合：三个方程闭合：可以完全确定导电介质中的可以完全确定导电介质中的 稳恒电流场和静电场。稳恒电流场和静电场。根据前根据前 2 式可得在不同导电介质交界面处的式可得在不同导电介

18、质交界面处的界面关系：界面关系： , 2121ttnnEEjj0d 内内总总qsES 确定总电荷分布的确定总电荷分布的 辅助方程辅助方程2. 由静电场由静电场 的高斯定理可确定载流导电介的高斯定理可确定载流导电介 质中的总电荷分布，这也只与其导电特性质中的总电荷分布，这也只与其导电特性 有关，与其极化性质无关。有关，与其极化性质无关。E内内0d qsDS 确定自由电荷分布确定自由电荷分布 的辅助方程的辅助方程3. 导电介质中自由电荷、极化电荷在总电荷导电介质中自由电荷、极化电荷在总电荷 中的比例与其极化性质有关。中的比例与其极化性质有关。ED n有关金属的第一个理论模型有关金属的第一个理论模型

19、 n1900年特鲁德（年特鲁德（Paul Drude）提出）提出n把气体分子运动论用于金属，提出了经典的金把气体分子运动论用于金属，提出了经典的金属自由电子气体模型属自由电子气体模型n金属自由电子气体模型金属自由电子气体模型 n晶格（离子实）变化可以忽略晶格（离子实）变化可以忽略 n价电子，可以脱出成为独立、自由的电子价电子，可以脱出成为独立、自由的电子 n除了电子与晶格碰撞一瞬间以外，除了电子与晶格碰撞一瞬间以外，忽略电子与晶忽略电子与晶格格之间的相互作用，即之间的相互作用，即“自由电子近似自由电子近似”n忽略电子与电子之间忽略电子与电子之间的相互作用，即所谓的的相互作用，即所谓的“独独立电

20、子近似立电子近似”n电子与离子实的碰撞是电子与离子实的碰撞是随机的瞬间事件随机的瞬间事件，碰撞会，碰撞会突然改变电子速度突然改变电子速度（包括大小和方向），在相继（包括大小和方向），在相继两次碰撞间，电子作直线运动，遵从牛顿定律；两次碰撞间，电子作直线运动，遵从牛顿定律；同时碰撞还会使电子达到热平衡，碰撞后的电子同时碰撞还会使电子达到热平衡，碰撞后的电子速度方向是随机的速度方向是随机的n金属中自由电子的运动和单原子的理想气体非常金属中自由电子的运动和单原子的理想气体非常相似。相似。n金属中自由电子作无规金属中自由电子作无规则热运动则热运动n其平均速率为其平均速率为v105m/s，n电子在各个方

21、向运动的电子在各个方向运动的机会均等机会均等n因此无规热运动速度的因此无规热运动速度的矢量和为零。矢量和为零。n自由电子的运动相当复自由电子的运动相当复杂杂n固有的不规则运动外固有的不规则运动外n因电场的作用，将获得因电场的作用，将获得与场强方向相反的加速与场强方向相反的加速度度, ,并做有规则的定向运并做有规则的定向运动动un而电子与晶格碰撞又不而电子与晶格碰撞又不断破坏定向运动断破坏定向运动 vn质量为质量为m，所带电量为，所带电量为-e自由电子受自由电子受恒定电场作用而获得定向加速度恒定电场作用而获得定向加速度a memEFan假定电子与晶格点阵假定电子与晶格点阵只要碰撞一次，它所获得的

22、定只要碰撞一次，它所获得的定向速度就消失向速度就消失，接着又重新开始作定向初速度为零的，接着又重新开始作定向初速度为零的加速运动加速运动自由程自由程 n设电子在两次碰撞之间的平均飞行时间为设电子在两次碰撞之间的平均飞行时间为 ，则在第，则在第二次碰撞之前，电子所获得的定向速度为二次碰撞之前，电子所获得的定向速度为 Eaume1Euuume2)(2110初速初速0vf1Euvme2一个自由程内速度与加速一个自由程内速度与加速度方向一致，解释了度方向一致，解释了j与与E处处方向一致处处方向一致电流密度电流密度 j 电子数密度电子数密度 n 的关系的关系n自由电子数密度：自由电子数密度：n；n电子电

23、量的绝对值：电子电量的绝对值：e e；n设所有电子均以同一定向运设所有电子均以同一定向运动速度动速度u运动运动n则则t t时间内，通过导体内任时间内，通过导体内任一面元迁移的电量为一面元迁移的电量为q q ujneneStuq)(StqjS0limStneStuS)(lim0une考虑方向考虑方向1Tn电导率电导率与电子与电子 、v、n的微观平均量相联系，是微的微观平均量相联系，是微观平均量的宏观体现；观平均量的宏观体现；n从经典电子论的观点看电导率和电阻率确实与温度从经典电子论的观点看电导率和电阻率确实与温度有关，温度升高，电阻率增大，电导率减小有关，温度升高，电阻率增大，电导率减小 ujn

24、eEuvme2EjvmNe22Tv n只能定性地说明电子的导电规律。由它算出的电导只能定性地说明电子的导电规律。由它算出的电导 率与实验数据相差甚远率与实验数据相差甚远n经典理论在解释电子的运动时存在不可克服的困难经典理论在解释电子的运动时存在不可克服的困难 正确的导电理论只能建立在量子理论的基础上正确的导电理论只能建立在量子理论的基础上 按照气体分子按照气体分子运动论观点：运动论观点：与温度无关例题例题 n设铜导线中的电流密度为设铜导线中的电流密度为2.4 A/mm2 ,铜的铜的自由电子数密度自由电子数密度 ，求自由，求自由电子的漂移速度电子的漂移速度 328/104 . 8mn262/10

25、4 . 2/4 . 2mAmmAjsmneju/108 . 1106 . 1104 . 8104 . 2419286n按此速度，如果开关到灯泡之间用一米长的导线按此速度，如果开关到灯泡之间用一米长的导线相连，电流从开关传到用电器需要相连，电流从开关传到用电器需要1 1、2 2个小时。个小时。但实际上当开关一打开，灯立刻就亮了。如何解但实际上当开关一打开，灯立刻就亮了。如何解释？请思考释？请思考 问题问题v静电场的性质能否推广到稳静电场的性质能否推广到稳恒电场？恒电场？v电流场中电流线闭合和静电电流场中电流线闭合和静电场中电力线不闭合是否矛盾？场中电力线不闭合是否矛盾？ 3.5 3.5 基尔霍夫

26、定律基尔霍夫定律n直流电路的基本方程依据直流电路的基本方程依据LSl dESdj0, 0n元件最简单的联结方式为串联和并联元件最简单的联结方式为串联和并联；n简单电路：简单电路：能够通过运用元件串、并联能够通过运用元件串、并联的计算法将电路化为一个单回路的计算法将电路化为一个单回路n复杂电路：不能将元件的联结方式归并复杂电路：不能将元件的联结方式归并为串、并联的电路为串、并联的电路简单电路简单电路iiiinnnRIPRURRRRUUUUIIII2212121;iiiiinnnRRUPRIRRRRIIIIUUUU1;111112212121高阻起主高阻起主要作用要作用低阻起主要作用低阻起主要作用

27、复杂电路复杂电路 n由多个电源和多个电阻由多个电源和多个电阻复杂联接复杂联接而成的电路，在而成的电路，在一般情况下，这类电路一般情况下，这类电路不能用电阻串并联等效变不能用电阻串并联等效变换化简的换化简的电路电路n解复杂电路的方法：解复杂电路的方法： n基尔霍夫电路定律基尔霍夫电路定律名名词词解解释释 n支路：支路：电路中由电源、电阻串联而成的通路，电路中由电源、电阻串联而成的通路，支路中电流强度处处相等支路中电流强度处处相等 n节点或分支点：节点或分支点：三条或更多条支路的联接点。三条或更多条支路的联接点。 n回路：回路：几条支路构成的闭合通路几条支路构成的闭合通路2006.5北京大学物理学

28、院王稼军编基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律 n规定规定流向流向节点的电流为节点的电流为负负，从节点从节点流出流出的电流为的电流为正正n汇于节点的各支路电流强度汇于节点的各支路电流强度的代数和为零的代数和为零 0)(In若一个完整电路共有若一个完整电路共有n n个节点，则可以写出个节点，则可以写出n-1n-1个独立的节点方程个独立的节点方程基尔霍夫第一方程组基尔霍夫第一方程组 Sd0Sj123=0III基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律n沿回路环绕一周回到出发点，电势沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变数值不变0lE dn 写方程的约定写方程的约定 n规定其绕行方向（可以任意规定）规定其绕行方向

29、（可以任意规定）n标定一个电流方向标定一个电流方向n解出解出 I0I0，实际电流与标定一致实际电流与标定一致n解出解出 I0I0，实际电流与标定相反实际电流与标定相反n规定电势从高到低，电势降落为正，规定电势从高到低，电势降落为正， 电势升高负电势升高负0)()(IR基尔霍夫第二基尔霍夫第二方程组，又叫方程组，又叫回路电压方程回路电压方程电势降落正负的写法电势降落正负的写法 n纯电阻纯电阻元件：若电流方向与元件：若电流方向与绕行方向相同，电势降落绕行方向相同，电势降落为为正正，若电流方向与绕行方向，若电流方向与绕行方向相反，电势降落相反，电势降落为负为负； n理想电源理想电源：当电动势的：当电动势的“方向方向”（由电源（由电源内部负极指向正极）与绕行方向相同时内部负极指向正极）与