二次函数公式精华

1、二次函数知识点汇总1. 定义：一般地，如果y ax2 bx ca,b,c是常数，a 0，那么y叫做x的二次函数.2. 二次函数y ax2的性质1抛物线y ax2 a 0的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2函数y ax2的图像与a的符号 关系. 当a 0时 抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下 顶点为其最咼点3. 二次函数y ax2 bx c的图像是对称轴平行于包括重合y轴的抛物线.2 24. 二次函数yax bxc用配方法可化成：yaxh k的形式，其中2h 丄，k 坯 J.2 a4 a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2 2 2 2 2 y ax; y ax k

2、 ; y a x h ； ® y a x h k ； y ax bx c.6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7. 顶点决定抛物线的位置几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同8求抛物线的顶点、对称轴的方法(1) 公式法：y ax2 bx c ax 4ac b，.顶点是(b )，对称轴是直线2a 4a2a 4abx .2a(2) 配方法：运用配方

3、法将抛物线的解析式化为y ax h2 k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是x h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9. 抛物线y ax2 bx c中，a, b,c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 上，故：2ab 0时，对称轴为y轴；b o(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；a b o(即a、b异号)时对

4、称轴在y轴右侧.a(3) c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,.抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c):c 0 ,抛物线经过原点；c 0，与 y轴交于正半轴；c 0，与 y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，那么b 0.a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当a 0时开口向上当a 0时开口向下x 0( y 轴)(0,0)x 0( y 轴)(0, k)(h,0)(h,k)b 4ac b22a，4a 11用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y ax2

5、 bx c.图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2) 顶点式：y ax h2 k.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3) 交点式：图像与x轴的交点坐标x“ x2，通常选用交点式：y a x X! x x2 .12. 直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0 , c )(2) 与 y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h,ah2 bh c).(3) 抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x“ x2，是对应一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元

6、二次方程的根的判别式判定：没有交点0抛物线与x轴相离.(4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，那么横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.一次函数y kx nk 0的图像I与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G的交点，由方程组kx nax2 bx的解的数目来确定:c 方程组有两组不同的解时I与G有两个交点； 方程组只有一组解时I与G只有一个交点；方程组无解时I与G没有交点.抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为A xi,0，B x2,0 ，由于、X2是方程

7、ax2 bx c 0的两个根，故bc为 x2,x x2 -aa13. 二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程y ax2 bx c就是二次函数y ax2 bx c当函数y的值为0时的情况.(2)二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y 0时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2 bx c 0的根(3) 当二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点时， 那么一元二次方程 y ax2 bx c 有两个不相等的实数根；当二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有一个交点时，那么一 元二次方程 ax2 bx c 0 有两个相等的实数根； 当二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴没有交点时，那么一元二次方程 ax2 bx c 0 没有实数根14. 二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小 )值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数 关系；运用二次函数的知