等比数列基础习题选附详细解答

1、等比数列基础习题选（附详细解答）一.选择题(共27小题)1 .已知an是等比数列，a2=2, a5=l,则公比q=()A.B.-2C.2D.2 .在等比数列an中，ai=1, a1o=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9=()A.81B.27*CD.2433 .如果-1, a, b, c, -9成等比数列，那么()A. b=3, ac=9B. b=- 3, ac=9C. b=3, ac=9 D. b=- 3, ac=9色号 a i4 .已知数列1, ab a2, 4成等差数列，1, b, b2, b3, 4成等比数列，贝1_的值是（）A.B.C.或一士D.5 .正项等比数列an满足a2a4

2、=1 , $=13, bn=log3an,则数列bn的前10项和是（）A. 65B. -65C. 25D. -256 .等比数歹!J an中，a6+a2=34, a&- a2=30,那么 a4等于A 8B 16C ±8D ±169. （2012匕京）已知an为等比数列，下面结论中正确的是（）A. ai+a3> 2a2B.C.若 ai=a3,则 ai=a2D.若 a3>a1，则 a4>a210. （2011?宁）若等比数列an满足anan+i=16n,则公比为（）A 2B 4C 8D 1611 . (2010?ff西)等比数列an中，|a“=1 ,

3、a5=- 8a2, a5>a2,贝U an=()A.(-2) n1B. - (-2n1)C(-2) nD. - (-2)12.已知等比数列an中，a6- 2a3=2, a5- 2a2=1,则等比数列a n的公比是（）A. - 1B. 2C. 3D. 413.正项等比数列an中，a2a5=10,则 Iga 3+lga4=()A. - 1B. 1C. 2D.014.在等比数列bn中，b3?b9=9,则b6的值为（）A. 3B. ±3C. -3D.15 .（文）在等比数列an中，贝U tan （a1a4a9）=（A.B.C.D.16 .若等比数列an满足 a4+a8=-3,则 a6

4、(az+2%+ao)=()A. 9B. 6C. 3D.17 .设等比数列an的前n项和为S,若*=3,则会（）A.B.C.D.18.在等比数列an中，an>0, a=1 a1，a4二9 a3,贝 a4+%=()A. 16B. 27C. 36D.8119.在等比数列an中a2=3,则a&a3=()A. 81B. 27C. 22D. 920.等比数列an各项均为正数且 a4a7+a5a6=16, log 2ai+log 2a2+log 2a10=()A. 15B. 10C. 12D. 4+log2521.等比数列an中a4, a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=（）A

5、. 8B. ±2/2C. -2<2D. 2n22.在等比数列an中，若a3a4a5a6a7=243,则/的值为（）A. 9B. 6C. 3D. 223.在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）A.B.C.D.24.已知等比数列1, a2, 9,，则该等比数列的公比为（）A. 3 或-3B. 3 或'C. 3D.25. （2011?ff西）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+SiSn+m,且Hl = 1,那么 日0=（）A. 1B. 9C. 10D. 55A. 8B.C. 6D.27.等比数列an的前n项和为Sai=1,若

6、4ai, 2a2, a3成等差数列，则 &二（A. 7B. 8C. 16D. 15a6+a7=26.在等比数列an中，前 7项和 S=16,又曰2+&2+a72=128, WJ aiaz+a a4+a5二.填空题（共3小题）28 .已知数列an中，a1二1, an=2an 1+3,则此数列的一个通项公式是 29 .数列3，畤,咕，的前n项之和是.S30 .等比数列an的首项a产-1,前n项和为若二生=且，则公比q等于参考答案与试题解析选择题（共27小题）1. （2008?折江）已知an是等比数列，a2=2, as。，则公比q=（）A.B. - 2C. 2D.考等比数列.点

7、9; 八、分 根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘 析：积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果.解 解：: an是等比数列，a2=2, as，4答：设出等比数列的公比是q, a5=a?q3,13 一小血Q -九 2 区一Y胃故选D点 本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有 评：量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解.2. (2006砌北)在等比数列an中，ai=1, a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9=()A. 81B. 27；C.D. 243考等比数列.点' 八、分由等比数列的

8、性质知(a2a9)=(a3a8)=(a4a7)=(a5a6)=(aa。).析：解 解：因为数列an是等比数列，且ai=1, a3,答：4 4所以 a2a3a4a5a6a7a8a9= (a2a9) (a3a8)(a4a7) (a5a6)= (aa。)4=34=81,故选A点 本题主要考查等比数列的性质.评：3. (2006?|匕京)如果-1, a, b, c, -9成等比数列，那么()A. b=3, ac=9B. b= - 3, ac=9C. b=3, ac= 9D. b= - 3, ac= 9考等比数列.点' 八、分由等比数列的等比中项来求解.析：解 解：由等比数列的性质可得 ac=

9、( - 1) x (-9) =9,答：bx b=9且b与奇数项的符号相同，.b=- 3,故选B点 本题主要考查等比数列的等比中项的应用.评：a-p - ai4. 已知数列1, ai, a2, 4成等差数列，1, bi, b2, b3, 4成等比数列，则一1的值是(1 - It 1-A.B. fC.不或D.占I乙乙考 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式.点' 八、专计算题.分 由1, ai, a2, 4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2-ai析：的值，然后由1, bi, b2, b3, 4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即 可求出值.解 解：.1

10、, ai, a2, 4成等差数列，答：3d=4- 1=3,即 d=1, . a 2 ai =d=1)又1, bi, b2, b3, 4成等比数列,b22=bib3=1 X 4=4,解得 b2=± 2,又 bi =b2 >0,b 2=2,故选A点 本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、评：等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点5 .正项等比数列an满足a2a4=1 , 4=13, bn=log 3an,则数列bn的前10项和是()A. 65B. -65C. 25D. -25考 等差数列的前n项和；等比数列的通项公式.点&

11、#39; 八、分由题意可得3 2二a2a4 =1,解得 a3=1,由 $=13 可得 ai+&=12,则有 a1q2=1, ai+a1q=12,-J析：解得q和ai的值，由此得到an的解析式，从而得到bn的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前 10项和.解 解：二,正项等比数列an满足a2a4=1, 0=13, bn=log 3an,答：a 2=a2a4 =1,解得 a 3=1. -J由 曰+&+a=13,可得 a 1+a2=12.设公比为 q,贝有 a1 q2=1, a1+a1q=12,解得 q=. a二9.n- 1故 an =9X（工）=33 n.3故bn=log3an=

12、3-n,则数列bn是等差数列，它的前10项和是 二 二-25,故选D点 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公评：式的应用，求出an=33n,是解题的关键，属于基础题.6 .等比数列an中，a6+a2=34, ae- a=30,那么 a4等于（）A 8B 16C ±8D ± 16考 等比数列的通项公式点：专 计算题题：分 要求a,，就要知道等比数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到析：ae,左右两边相减得到a2,根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式，联立求出a和q,得到等比数列的通项公式，令 n=4即可得到.

13、解 解：设此等比数列的首项为a,公比为q,答：由ae+a2=34, ae - a2=30两个等式相加得到2a6=64,解彳4 ae=32；两个等式相减得到 2a2=4,解得 a2=2根据等比数列的通项公式可得 a6=aq5=32CD, a2=aq=2®,把代入得q4=16,所以q=2,代入解得a=1所以等比数列的通项公式 an=2n，则a4=23=8.故选A点 此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数列的通评：项公式.本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的a2和a6.7 .已知数列an满足3尸1, a-尸（口4口九）曰，其中人为实常数，则数列an（ 1

14、nrlnA.不可能是等差数列，也不可能是等比数列8 .不可能是等差数列，但可能是等比数列C.可能是等差数列，但不可能是等比数列D.可能是等差数列，也可能是等比数列考点：等差关系的确定；等比关系的确定.专题：等差数列与等比数列.分析：由于 汕=n2+n入，而n2+n-入不是固定的常数，不满足等比数列的定义.若是等差数列，则由ai+a=2 a2,解得人=3,此时，a二Cn2+ii- 3) a ，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论.解答：解：由"二1, a-二(门21-入)3 可得汕=n2+n-入，由于n2+n-入不是固 1rrrln|a定的常数，故数列不可能是等比数列.若数列是等差

15、数列，则应有 ai+a3=2 a2,解得 人=3.此时，o - (114n-3)a，显然，此数列不是等差数列， rrrln故选A.点评：本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题.8.已知数列an的前n项和为&,若对于任意nCN*,点Pn (n, $)都在直线y=3x+2上,则数列a n()A.是等差数列不是等比数列B.是等比数列不是等差数列C.是常数列D.既不是等差数列也不是等比数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定.专题：计算题.分析：由点Pn (n, S)都在直线y=3x+2上，可得&=3n+2,再利用an=&-S-1求解.解答：解：由题意，丁点Pn

16、 (n, &)都在直线y=3x+2上 .Sn=3n+2当 n>2 时，an=S- S 1=3当 n=1 时， a1=5数列an既不是等差数列也不是等比数列故选 D点评：本 题的考点是等比关系的确定，主要考查由前n 项和求数列的通项问题， 关键是利用前 n 项和与通项的关系9 (2012?北京)已知an 为等比数列，下面结论中正确的是()A. a+a3> 2a2B.C. 若 ai=a3,则 a尸&D.若 a3>a1，则 a4&考点 ： 等 比数列的性质专题：探究型.刀析. ai+a3=+a q,当且仅当a2, q同为正时，ai+a3>2a2成立；Q

17、 d28L币占(£)+(七Q)2>2 . 所以播+a>2；若ai=a3,则ai=aq2,从 而可知 a尸&或 a二一a2；若 a3>a，则 a1q2>ai,而 a4a2=aq (q21),其正负由 q 的符号确定，故可得结论.角至答一 i ao，一， 一， ,解：设等比数列的公比为q,则&+&:"?+& q,当且仅当a, q同为正时，a1+a3>2a2 q上成立，故A不正确；2aj+ai产(二)+ (3')*2 J，'故 B 正确；若 a1二a3, 则 ai=aq2, ；q2=1,q=+ 1,.

18、a 产&或 a二a2, 故 C不正确；若a3>ai,则aq2>ai, &4-a2=aq (q2- 1),其正负由q的符号确定，故 D不正确故选B.点评：本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.10. (2011TS宁)若等比数列 a满足a&+产16二则公比为(A. 2B. 4C. 8D. 16考等比数列的性质.点' 八、专计算题.题：分 令n=1,得到第1项与第2项的积为16,记作，令n=2,得到第2项与第3项的积析：为256,记作，然后利用+，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的

19、 q的值即可.解 解：当 n=1 时，aia2=16D；当 n=2 时，a2a3=2562),答：+得：=16,即q2=16,解得q=4或q=-4,当q=-4时，由得：a；x (-4) =16,即a；=-4,无解，所以q=- 4舍去，则公比q=4.故选B点 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道评：基础题.学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=-4舍去.11. (2010?ff西)等比数列an中，|ai|=1 , a5=-8a2, a5>a2,则 an=()A. (-2) n1B. - (-2n1)C.(-2) nD). - (-

20、2)考等比数列的性质.点' 八、刀根据等比数列的性质，由a5=-8a得到一等于q1求出公比q的值，然后由a5>a2,a2析：利用等比数列的通项公式得到 ai大于0,化简已知|ai|=1 ,得到ai的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到 an的值即可.解 解：由a5=- 8a2,得至U=q3= 8,解得q=- 2,答：又 a5>a2,得到 16ai>-2ai,解得 ai>0,所以 |ai|=ai=1则 an=aiqn 1= (-2) n1故选A点 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题.评:12.已知等比数列an中，a6-

21、2a3=2, a5- 2a2=1,则等比数列an的公比是()A. 一 1B. 2C. 3D. 4等比数列的性质.分 根据等比数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别析：记作和，把提取q后，得到的方程记作，把代入即可求出 q的值.解 解：由 a6- 2a3=2, a5 2a2=1 得：答：，力q片已q& - ？力由得：q (a1q4-2a1q) =2，把代入得：q=2.故选B点 此题考查学生灵活运用等比数的通项公式化简求值，掌握等比数的性质，是一道评： 基础题13 .正项等比数列an中，a2a5=10,则 lga 3+lga4=()A. TB. 1C. 2D.

22、0考 等比数的性质点：专 计算题题：分等比数列的定义和性质，得到a3a4=10,故有lga 3+lga4=lga3a4=lg10=1 .析：解 解：,正项等比数列an中，a2a5=10,a3a4=10,lga 3+lga4=lga3a4=lg10=1 ,答：故选 B点本题考查等比数列的定义和性质，得到a 3a4=10,是解题的关键.评：14 .在等比数列bn中，b3?b9=9,则b6的值为()考等比数列的性质.点' 八、专计算题.题：分 在等比数列bn中，由b3?b9=b62=9,能求出b6的值.析：解解：.在等比数列bn中，答： 2_b3?b9=b6 =9,b6=± 3.故

23、选B.点 本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等 评：价转化.15 .(文)在等比数列an中，力自产下二1巧,贝U tan (a1a4a9)=()A.B.C.D.考等比数列的性质.点' 八、分 由安%叮二,根据等比数列an的通项公式得aaa9=二，再结合三角函数的性析：质可求出tan (a1a4a9)的化 .tan (a1a4a9)=七/16兀故选B.点 本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意三角函数的等价转换.评：16 .若等比数列an满足 a4+a8=- 3,则 ae (a2+2as+aio)=()A. 9B. 6C. 3D. -3考等比数列

24、的性质.计算题.分 根据等比数列的性质若 m n, p, qC N*,且m+n=p+q则有aman=apaq可得a6 (a+Za+ao) 析：=(a4+a8)2,进而得到答案.解 解：由题意可得：在等比数列an中，若mi, n, p, qCN*,且m+n=p+q则有aman=apaq.因为 a6 (a2+2a6+aio) =a6a2+2a6a6+aoa6所以 a6a2+2a6a6+aioa6= (a4+a8)2=9.故选A.点 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质，并且结合正确的运算，一般以 评：选择题的形式出现.17 .设等比数列an的前n项和为S,若=3,则U=()A.B.D.考

25、等比数列的性质.计算题.八 首先根据等比数列的前n项和对寸=析：3解解：/=3,s3答：巧(13L 一 Q，-5 整理得，1+q3=28 j a i q)1 - Q，q3=2/GT)单 L，=!% aA (1 q6)31 - q故选B.点 本题考查了等比数列的关系，注意在题评：18.在等比数列an中，an>0, a2=1 ai,：3进行化简，求出q°,进而即可求出结果.井把 q3当作未知数，会简化运算.a4=9 a3,贝U a4+&=()A. 16B. 27C. 36D. 81考等比数列的性质.点' 八、专计算题.题：分 首先根据等比数列的性质求出q=3和ai=

26、的值，然后彳t入a4+a5=aiq3+aiqP可求出结果.析：解 解：2 2=1 - ai, a4=9a3； aiq+a=1 aiq3+aiq2=9答：两式相除得，q=±3,.an>0 q=3 a i=4a4+a5=aiq3+aiq4=27故选B.本题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于基础题.评:19.在等比数列an中a2=3,则a1a2a3=()A 81B 27C 22D 9考 等比数的性质点：专 计算题题：分 由等比数的性质可得：a1a2a3=a23 ，结合题意即可得到答案析：解 解：由等比数的性质可得：a1a2a3=a23，答：3因为 a2=3,所1 以

27、 a1a2a3=& =27.故选 B点本题考查了等比数列的性质，解题的关键aa=a2an-i=akan-k,属于中档题.评：20.等比数列an各项均为正数且 a4a7+a5a6=16, log 2ai+log 2a2+log 2a10=()A 15B 10C 12D 4+log 25考 等比数列的性质点：专 计算题题：分 先用等比数列an各项均为正数，结合等比数列的性质，可得aiai0=&a9=a3a8=a4a7=&a6析： >0, 从而 aa2a3a9aio=( a5a6 ) 5，然后用对数的运算性质进行化简求值，可得正确选项解 解：等比数列an各项均为正数答：

28、a iaio=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6> 0: a 4a7+a5a6=16二 a 5a6=a4a7=8根据对数的运算性质，得log 2日+log2a2+ +log 2aio=log2 (aia2a3-a9aio) =log2 (a5a6)5=log2 (8) 5=15v (8) 5= (23) 5=215log 2 (8) 5=log 2215=15故选A点 本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质，考查了转化化归的数学思想，属于基 评：础题.21.等比数列an中a4, a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=()A. 8B. ±2«C. -

29、2/2D. 2/2考等比数列的性质.点' 八、专计算题.题：分 根据等比数列的性质得到第6项的平方等于第4项与第8项的积，又根据韦达定理，析：由a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根即可得到第4项与第8项的积，进而求出第6项的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质变为关于第6项的式子，把第6项的值代入即可求出值.解 解：根据等比数列的性质得：a；a4a8,的值为（A.B. 6C. 3D. 2析:等比数列的性质.计算题.先利用等比数列通项的性质，求得 a5=3,再将,即可求得又a4, a8是方程x2+3x+2=0的两根，得至U a4a8=2,则 a62=2,解得 a6=±6

30、,贝 a5a6a7= (a5a7) a6=a63=±2/2.故选B点 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及韦达定理化简求值，是一道基础题.评：22.在等比数列an中，若 a3a4a5a6a7=243,解 解：二,等比数列an中，若a3a4a5a6a7=243,答：,券 243 - 5 5=3设等比数列的公比为q故选C.点 本题重点考查等比数列通项的性质，考查计算能力，属于基础题.评：23 .在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）A.B.C.D.考 等差数列的性质；等比数列的性质.计算题.分 根据题设条件，设中间两数为x, y,由3,

31、x, y成等比数列，知x2=3y,由x, y, 9析：等比数列，知2y=x+9,列出方程组./二3y ,从而求得这两个数的和.2y=H9解解：设中间两数为x, y,答：则卜”如,|2y=x+9所以K+尸等=1旺. 44故选C.点 本题主要考查等比数列和等差数列的性质， 是基础题，难度不大，解题时要认真审题, 评：仔细解答.24 .已知等比数列1, a2, 9,，则该等比数列的公比为（）A. 3 或-3B. 3 或巧C. 3D.考等比数列的性质.分 由等比数列的通项公式可得 9=1xJ,解得a 2=3,从而得到公比.析：解 解：由题意可得9=1xJ, .J=3,故公比为 彳=3,答：故选C.点

32、本题考查等比数列的通项公式，求出 a2的值，是解题的关键.评：25 . （2011?ff西）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m,且a1 = 1,那么 曰0二（A. 1B. 9C. 10D. 55考 等比数列的前n项和；数列的求和.计算题分根据题意，用赋值法，令 n=1, m=9可彳导:Si+S9=Sio,即s1o-s9=s尸a1二1,进而由数列析 的前 n 项和的性质，可得答案解 解：根据题意，在Sn+Sm=Sn+m中，答令 n=1, m=9可得：Si+S9=Sio, 即 si。 S9=Si=ai=1,根据数列的性质，有aio=sio- S9,即aio=1,故选 A点 本题考

33、查数列的前n 项和的性质，对于本题，赋值法是比较简单、直接的方法评26 .在等比数列an中，前 7项和 S=16,又 ai2+a22+a72=128,贝 aia2+a3 a4+a5 ae+a7=（）A 8BC 6D考 等比数列的通项公式；等比数列的前n 项和点：八、计算题.分 把已知的前7项和S7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列an2是首项为ai,公析：比为q2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a；+a22+a，=128,变形后把第一个等式的化简结果代入求出直-的值，最后把所求式子先利用等比数列的 1+通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出 土一的值代入即可求出值.l+q二128,222-'1":.2+&2+a；=?1-Lq为(1十q,)=8l+q则 ai a2+a a4+a ae+a?=(ai a2)+ (as- a4)+ (a5 a6)+a7=ai (1-q) +aiq2 (1-q) +aiq4 (1-q) +