职高数学知识点总结材料

1、标准文档数学知识要点总结初中基础知识：1 .相反数、绝对值、分数的运算；2 .因式分解：提公因式：xy-3x=(y-3)x十字相乘法如：3x2 5x 2 = (3x+1)(x 2)配方法 如：2x2 +x-3 = 2(x+1)2 -25 48公式法：(x+y) 2=x2+2xy+y2 (x-y)2=x2-2xy+y2 x 2-y 2=(x-y)(x+y)3 . 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：(1)代入法(2)消元法6 .完全平方和(差)公式： a2 +2ab+b2 = (a+b)2a2 -2ab + b2=(a-b)27 .平方差公式：a2 -b2 =(a +b)(a -b

2、)8 .立方和(差)公式： a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)a3 -b3 = (a -b)(a2 + ab + b2)第一章集合1 .构成集合的元素必须满足三要素： 确定性、互异性、无序性。2 .集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法(文氏图)。注：A 描述法 x|xz-xj-；另重点类型如：y |y = x2 -3x+1,xw(1,3 元素元素性质取值范围3 .常用数集：N (自然数集)、Z (整数集)、Q (有理数集)、R (实数集)、N (正整 数集)、Z + (正整数集)4 .元素与集合、集合与集合之间的关系：(1)元素与集合是“ w”与“正”的关系。(2)集合与集合

3、是“三” “2”的关系。注：(1)空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。(做题时多考虑力是否满足题意)(2) 一个集合含有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2 个。5.集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)(1) AB=x|xW A且xw B ： A与B的公共元素(相同元素)组成的集合(2) AUB=x|xW A或xw B ： A与B的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。（3） CuA： U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。注：CU （A B）=CuA CU BCU （A B）=CuA CU B6 .逻辑联结词：且（八）、

4、或（）非（）如果那么（=）量词：存在（3） 任意（V ）真值表：p八q：其中一个为假则为假，全部为真才为真；p vq：其中一个为真则为真，全部为假才为假；p ：与p的真假相反。（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推” 假为假，假“推”真假均为真。）7 .命题的非（1）是T不是都是T不都是（至少有一个不是）（2） 3,使得p成立T对于V,都有p成立。对于卡，都有p成立T 3,使得p成立(3) -(p q)=-p q一(p q)=p -q实用文案8.充分必要条件p p是q的条件p 二二 q 不必要不充分p =二 q .必要p ;二 q必要不充分p 二：q

5、术必诬p是条件，q是结论p是q的充分不必要条件 （充分条件）p是q的必要不充分条件 （必要条件）p是q的充分必要条件（充要条件）p是q的既不充分也不必要条件第二章不等式1.不等式的基本性质：注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如:J2010 -，2009与丁2009 -2008 （倒数法）等。（2）不等式两边同时乘以负数要变号！ ！(3)同向的不等式可以相加(不能相减)，同正的同向不等式可以相乘。2 .重要的不等式：(均值定理)(1) a2 +b2 2ab,当且仅当a=b时，等号成立。(2) a +b 2.v/ab(a,be r4),当且仅当a = b时，

6、等号成立。(3) a+b+c之3abc(a,b, cw R3 ,当且仅当a = b = c时，等号成立。注：山(算术平均数)之闻(几何平均数)23 . 一元一次不等式的解法4 . 一元二次不等式的解法(1)保证二次项系数为正(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根：(3)定解：(口诀)大于两根之外，大于大的，小于小的；小于两根之间注：若A=0或Ac。，用配方的方法确定不等式的解集。5 .绝对值不等式的解法|x|0,则 5Jx|au xa 或 x y =| f(x) |(2)翻折沿x轴= f(x)上、下对折 T y = -f(x)保留y轴右边图像y=f(x)右边翻折到左边

7、y=f(|x|)5 .函数的奇偶性：(1)定义域关于原点对称(2)若 f(x) = f(x)T 奇若 f(-x) = f(x)T 偶 注：若奇函数在x=0处有意义，则f(0) = 0常值函数f(x)=a (a*0)为偶函数f (x) =0既是奇函数又是偶函数6 . 函数的单调性：对于 Vx1、x2 w a,b且 x1 x2 ,若7(x1) f(x2)，称f (x)在a,b上为减函数增函数：x值越大，函数值越大；x值越小，函数值越小。减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。复合函数的单调性：h(x) = f(g(x)f (x)与g(x)同增或同减时复合函数h(x)为增函数；f

8、(x)与g(x)相异时(一增一减)复合函数h(x)为减函数。注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。7 .二次函数：(1)二次函数的三种解析式：一般式：f(x) =ax2+bx+c (a#0)A顶点式：f (x) =a(x-k)2+h (a#0),其中(k,h)为顶点两根式：f (x) =a(xx1)(xx2)(a=0),其中 x1、*2是(*)=0 的两根(2)图像与性质：二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：开口a0T开口向上ac0T 开口向下对称轴：x =-红2a顶点坐标：(-,4ac-b2)2a 4aA0T有两交点与x轴的交点：* A=0T有1交点 工 0f(x)0U

9、U图像包于x轴上方”0a 40f(x) 0u u图像位于x轴下方0 若二次函数对任意x都有f(t x)= f (t + x),则其对称轴是x = t。若二次函数“*)=0的两根为、x2,一 之0I .右两根x1、x2一正一负，则JX1x2 0若同负，则x +x2 0,则f(a)A0若a 0,则 f(a) 0J(b) 0,m, n = N 勺 n 1)(5)实数指数幕的运算法则：(a 0,m, n = R) am ,an =am(am)n =amn (a b)n =an bn2 .幕运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一 个数的n次方。& a其函坳 a ;当a

10、0时，y=xa在(0,+的)上单调递增3 . 吊函数y = x、当a c0时，y = x，在(0,十a)上单调递减4 .指数与对数的互化ab=NulogaN=b (a 0 且 a =1) 、(N 0)对数基本性质：logaa=1loga1=0alogaN=NlogaaN=N log a b与 log b a互为倒数 u logab logb a =1 u logab =logb an n .log am b =-logab m5 .对数的基本运算：Aloga(M N) = log a M +log a N log a M = log a M - log a N N6 . 换底公式：log a

11、N0g b N (b0 且 b#1)logb a7. 指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定义y = a (a Q a = 1 的常数)y = loga x(a 0,a =1 的常数)(次)或用换底公式或是利用中间值 0, 1来过渡。9.指数方程和对数方程(1)指数式和对数式互化(2)同底法(3)换元法(4)取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列止义土中一项与前一项之差为同一个常数土中一项与前一项之比为同一个常数a2 -a1 = a3 -a2 =，- - an anda2a3an-一一q (q # 0)a1a2an注：当公差d =0时，数列为

12、常数列注：等比数列各项及公比均不能为 0； 当公比为1时，数列为常数列通项 公式an = ai +(n -1)dnan =aq推论(1)d =an am n -m(2) an =am +(n -m)dA (3)若 m +n = p +q ,贝Ua m a an -ap +aq(1) qn* 此 am(2) an=amqz (3)若 m+n=p + q,贝 Uaman=apaq中项 公式二个数a、b、c成等差数列，则有a + c2b = a +cu b =2三个数a、b、c成等比数列，则有b2 =ac刖n 项和 公式n(a1 +an)n(n -1)Sn na +d22a1 (1 - qn)a1

13、anq /、Sn =-(q#1)1 q1 q其 它S2n_1 =(2n 1)an 如：S7 =7a4等差数列的连续n项之和仍成等差 数列等比数列的连续n项之和仍成等比数 列1.已知前n项和Sn的解析式，求通项ananS1(n=1)一S Sn(n 之2)1.弧度和角度的互换：1800=n弧度，10ji180弧度电0.01745弧度，1弧度=（竺0）0 ft：5718 n2.扇形弧长公式和面积公式1L扇耳 口 | r , 5扇=-Lr =2（记忆法:与S.ABC注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算3.任意三角函数的定义：, 对边 倒数1sin =二A, csc二斜边sin a邻边倒数1 sec：

14、=cos二记忆法：S、C互为倒数记忆法：G S互为倒数1=-ah类似)第六章三角函数tan工对边1 cot :=tan 二4.特殊三角函数值:a0=0n0=30060/二0=45400=6003-=9002一象限sin2也2返2732也2cos a442V32返2g2如21tana031氏/、存在5.三角函数的符号判定：（1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）（2）图像记忆法6. 三角函数基本公式：tana =snS（可用于化简、证明等）cos 二 cot ;.22sin 工: cos : =1）,221 tan 二=sec ;（1.可用于已知sina求cosot

15、 ；或者反过来运用。2.注意1的运用）（可用于已知cosa （或sina）求tan c（或者反过来运用）7 .诱导公式:（1） 口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指k .-+（k-Z）,若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变 2（2）分类记忆去掉偶数倍h（即2E ）将剩下的写成口（一象限）、冗- （二象限）、冗+ot （三象限）、-口（四象限）再看象TTTT限定正负号（函数名称不变）；或写成二-Q （一象限）、二十a （二象限），再看象限定正 22负号（要变函数名称）要特别注意以上公式中立余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。8 .已知三角函数值求角口（

16、1）确定角a所在的象限（2）求出函数值的绝对值对应的锐角 （3）写出满足条件的0 2n的角（4）加上周期（同终边的角的集合）9. 和角、倍角公式：sin（a P） =sina cosP cost sin P注意正负号相同co契土 P） =cos cos *s1nt sinP注意正负号相反tan（:二 L） = -tan-tan 一 二 tan :二 tan ： = tan（ 二）（1 - tan-： tan ：） 1 - tan - tan :2.222sin2u = 2sinu cosa ,cos2 = cos -sin = 2cos -1 = 1 -2sin 32 tan :21 -tan

17、 -工 1-cos-i sin：1 - cos -：stan 一 =2 sin 二 1 cos二 1 cos：10.三角函数的图像与性质函数图像性质定义域值域同期奇 偶 性单调性y =sin xJ岐h,rxw R-1,1T =2n奇2kn,2kn +2 23 3n.2kn +,2g +J22Jy =cosx一二xW R-1,1T =2n偶2kn -Ji,2kn2kn,2kn 十n Jy =tanx1;yrL冗x / 依 十 一2kw ZRT =兀奇兀兀(kn ,依 + )22JI111.正弦型函数 y=Asin(cox +5)(A 0, 0)定义域R,值域-A,A(2)周期：丁=空co(3)注

18、意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x的系数提出来，再看是怎样平移的。(4) y =asin x+bcosx 类型， y = asin x+bcosx = Ja2 + b2 sin(x +邛)12.正弦定理：一a-=b-=2Rsin A sin B sin C其他形式：(1) a =2Rsin A b = 2Rsin B(2) a: b: c = sin A : sin B : sinC(R为AABC的外接圆半径)c = 2RsinC (注意理解记忆，可只记一个)13.余弦定理：a2 =b2 +c2 -2bccosA222八 b c -acos A =2bc1-1114 .二角形

19、面积公式 SBC = absinC = -bcsin A = -acsin B22215 .三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如 两边之各大于第三边、三内角和为1800,第一个内角都在(0尸)之间等。第七章平面向量1 .向量的概念(1)定义：既有大小又有方向的量。(2)向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A,终点为B的向量表示为AB(3)向量的模(长度)：|AB|或同(4)零向量：长度为0,方向任意。单位向量：长度为1的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反(负)向量：大小相等，方向相反的两个向量。2 .向量的运算(1)图形法则三角形法则平

20、形四边形法则(2)计算法则加法：aB+bC=aC减法：aBaC=cA(3)运算律：加法交换律、结合律 注：乘法(内积)不具有结合律3 .数乘向量：(1)模为：以|a|(2)方向：九为正与a相同；人为负与a相反。4 . AB的坐标：终点B的坐标减去起点 A的坐标。 AB = (xB-xA,yB-yA)5 . 向量共线(平行)：三惟一实数人使得arb。(可证平行、三点共线问题等)6 .平面向量分解定理：如果最最是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任 一向量a ,都存在惟一的一对实数a1,a2,使得a = 213 + a2e2。向量a在基o,e2下的坐 标为(a1,a2)。1 . 7 .

21、中点坐标公式：M为AB的中点，则OM = (OA+OB)28 . 注意&ABC中，(1)重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心：三边垂直平分线交点)、 内心(内切圆圆心：三角平分线交点)、垂心(三高线的交点)的含义1 .(2)若D为BC边的中点，则AD=(AB + AC) 坐标：两点坐标相加除以 22(3)若。为MBC的重心，则AO+BO+CO=0;(重心坐标：三点坐标相加除以3)9 .向量的内积(数量积)：(1)向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围 0,5。(2) 内积公式：a b =| a | b | cosa,b a10 .向量内积的性质：，- a h, 一 .(1) cos 0)

22、其中圆心(a, b),半径 r。2222、x +y +Dx + Ey+F=0 ( D +E 4F0)圆心(-一，-一)半径:22.D2 E2 - 4F r 二x = r cos9 + ajHcosSb0，) 参数方程：(x-a)2+(y-b)2 =r2的参数方程为(4)直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较。d r u相离(6)圆Oi与圆。2的位置关系：利用两圆心的距离 d与两半径之和口 +上及两半径之差n-r2比较，再画个图像来判定。(总共五种：相离、外切、内切、相交、内含)(7)圆的切线方程： 过圆x2 + y2 =1上一点P(Xo , y)的圆的切线方程：x

23、x + y0 y = r2 过圆(x-a)2 +(y-b)2 =r2外一点P(x。，y。)的圆的切线方程：肯定有两条，设切线的斜率为k,写出切线方程(点斜式)，再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解 出k o6.圆锥曲线的定义：动点到定点(焦点)的距离和到定直线(准线)的距离之比为常数e (离7.8.双曲线心率）的点的轨迹。当0e1时，为双曲线；当e = 1时为抛物线 椭圆几何定义动点与两定点（焦点）的跑离之和等于常数 2a|PFi | + | PF2 |=2a标准方程22f+=1 （焦点在x轴上） a b223+4=1 （焦点在y轴上）b a图像CjT-a-i1 ya,b, c的关系a2

24、=b2 +c2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心x轴：长轴长2a； y轴：短轴长2b; 0（0,0）顶点坐标（土a,0） （0,b）焦点坐标（c,0）焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上准线方程2 a x = c离心率c b b2.e-4一 2 1a a曲线范围-axa, -by1e二；Y1+b; a曲线范围x 0)2c，c、y = 2 px (p 0)2c，c、x = 2py ( p A 0)2c，c、x = 2 py (p a 0)隹百 八、八、 坐标F 弓,0)F(-p，0)F(O)F(0-p)准线 方程x =2x=E2y=-fyHp顶点 0(0,0)对称 轴x轴离心e = 1

25、率注：(1) p的几何意义表示焦点到准线的距离(2) 掌握焦点在哪个轴上的判断方法(3) AB是抛物线y2 =2px (p 0)的焦点弦，A(xi,yi), B(x2, y2),则弦长2P2| AB |=xi +X2 + p X1X2 =；yi y2 = p4第九章立体几何1 .空间的基本要素：点、线、面2 .平面的基本性质1 1) 三个公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一 条直线。经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。2 2) 三个推论：经过一条直线和这条直线外的一

26、点，有且只有一个平面。经过两条相交直线，有且只有一个平面。经过两条平行直线，有且只有一个平面。3 .两条直线的位置关系：(1)相交：有且只有一个公共点，记作“ ab = A”(2)平行：a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 b.平行于同一条直线的两条直线平行(3)异面： 定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于土的角。注2意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的 部分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离。4 .直线和平面

27、的位置关系：(1) 直线在平面内：1三口(2)直线与平面相交：1not = A(3)直线与平面平行义定质平定判性线没有公共点，记作：1 / 0如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交05 .两个平面的位置关系(1)相交：a n P =1(2)平行:定义：没有公共点，记作： 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行 性质：a.两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行b.平行于同一平面的两个平面平行c.夹在两平行平面间的平行线段相等d.两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例6 .直线与平面所成的角：(1