热力学统计物理课后练习习题答案

1、热力学统计物理课后练习习题答案粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。7 5 固体含有A 、 B 两种原子试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为S k lnN !Nk ln1ln 1!N ! N 1其中 N 是总原子数，是 A 原子的百分比，（1 一 ） 是 B 原子的百分比注意<1上式给出的熵为正值证明： A、 B 两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于N 个 A 种原子在N 个格点随即分布的状态数：C NNN!N ! N 1所以混合熵Sk lnk lnN !k ln N!ln( N)! ln N 1N ! N

2、1 !当 N 很大时，利用公式ln m!m ln m1 , 得S k N ln N 1N ln N1N 1ln NN 1Nk ln 1ln 1证毕78 气体以恒定的速度沿Z 方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分 P 2P 2(PP )2 V布为 eYZdP dPY dPZ 。h3证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布a 相应的all气体的微观状态数为l(1)lal !其对数为lnal ln lln al!al lnlal (ln al1) (2)llll在气体沿Z 方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：alNalal PlZ(3)PZ其

3、中 PZ 是气体在Z 方向的总动量，PLZ 是处在能级l 的分子所具有Z 方向动量。气体分子的最概然分布是在限制条件（ 3）下，使ln 为极大的分布。令各有 al 的变化al ， ln将因而有变化lnlnalal3）要求alal E0; PlZ alPZ 0 l l l 用拉氏乘子 1 ln 中减去，得 ， 和乘这三个式子并从 lnN EPZ alPlZ ) al 0 1 l (ln l根据拉氏乘子法原理，每个al 的系数都等于零，所以有alPlZ 0lnll或 all e1sPlZ(4)可以将式( 4 )改写成为动量的连续分布：在体积3内，在 PYYYV=L到 P +dP ， P到 P +d

4、P ，1( p2 p y2 pz2 ) pZV3 dP dPY dPZ ( 5)PZ到PZ+dP乙的动量范围内的分子数为e2 mh2m p 2p2 ( pp )3 Vyz0或e16)3 dP dPY dPZ h其中 P0第 9 页 共 33 页m 2P02121 （ 7 ）2m式中的参量1 ， 和 P0 由（ 3 ）式确定。由（3）式中的得Ne12m p 2 p y2 （ p zp0 ） 2 V3 dP dPY dPZ eV3 （ 2 m）32 （ 8 ）hh代入（ 6 ）式消去，可将气体分子的动量分布表达为 p2 p y2 ( pz p 0 ) 2 N 2 e 2 mdP dPY dPZ (

5、 9 )2 m利用( 9 )式求 PZ 的平均值，得PZ(3 p2 p 2y ( pz p 0 )2 PZ dP dPY dPZ P0) 2e 2 m2 m所以 P0Z的平均值。0ZZ0是 PP与 P 的关系为P =NP在气体具有恒定的整体速度的情形下，气体的平衡状态不受破坏，其物态方程仍由PV=NKT描述。根据此容易证明=1/KT7 9 气体以恒定速度v0 沿 Z 方向作整体运动。求分子的平均平动能量。解：根据上题，以恒定速度v0 沿 Z 方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为m3m V 2V 2(V V )2N () 2 e 2kTdv dvY dvZ (1)2 kT分子平均动量的平均值

6、为( m31 m(V) 22 kT22m V2V2(V V)2222kTyz0dv dvY dvZVyVz )e( mm2m21 m Vzm2)12 (1 mV2 e 2 kTVdv1 mVy2 e 2 kTVydvY2e 2kT(V z V0 )dvZ )2 kT222上式头两项积分后分别等于1/2KT ，第三项的积分等于m12 1m2m2()m(Vz(V z V0 )(Vz V0 )V0 ) 2 e 2kTdvZ2V0 Vze 2 kTdvZ22m (VV)2V0e 2 kTz0dvZ )1kTmV021mV022321因此kTmV0222# 页 共 33 页3/2KT 及整体运动能量1/

7、2mvo2（ 2）式表明，气体分子的平均能量等于无规热运动的平均能量之和。7 11 试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度0Z 和相对速率v r 的概率分布，并求相对速率的平均值解：先求速度分布：两分子的相对速度在 ddydz 内的几率V vrd v V v1V v2dv V v1V v1vr113mvv2(vv )2 (vv )2 ( vv )2m2e 2kT11 y1z1r1 yry1zrzdv1 dv1y dv1z2 kT其中与 v1有关的分量为mv2( vv )2m 2mv1第 15 页 共 33 页苦oCD CD CD 2 CD 2k2k当T否与T2d2edemm黑Wr样22HT2

8、1/ 2mkTm y2同理可求得v1y、 v1z 分量分别为e 2kT 2第 19 页 共 33 页2m v和 e 2 kT 2kT1/ 2mkT3m 2me 2 kT 2V2 kT引入m，则速度分布为：213 / 2 m 2 mm2kT 2 kT8e kT3 / 2e 2 kT v2 d dy dz4 kT把变数换为，8 ,小，并对9 ,小积分，则得到速率分布为5 / 267 2kT v28 d9 kT相对速率的平均值10 / 2e 2kT v28kT2 8kTv r 42 dv2 v2 kT0m714 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。解：上题已经求得了

9、单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在到范围的分子数为m3 / 2m2d (v) nve 2 kTv3dv2 kT如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。因此在射出的分子束mvd(v)v2dv中，分子的平均速率为第 21 页 共 33 页00v4 e 2 kT9 kTd(v)m v28mdv00v3e 2 kTv2 d(v)m v2dv速率平方的平均值为v 200v5e 2 kT4kTmd(v)v2dv0v3e 2 kT 即速率的方均根值为vSv24kT m 平均动能为1 mv 22kT2上述

10、结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均值。原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使（1 ）式含有因子 v3,而平衡态分子速率分布（7-3-9 ）含因子v2 的缘故。715 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为1p2py2pz2a 2 b 2m其中a 、 b 是常数，求粒子的平均能量解：该能量表达式可改写为22第 23 页 共 33 页1 p2 p y2 pz2 a b b 2m 2a 4a由能量均分定理可知：4 kT b22kT b2 2 4a 4a7. 16气柱的高度为H,截面为S,处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为NmgHUU 0NK

11、T mgH(eKT1)2 mgH CVC 0NKN ( mgH )eKT1VmgHKT1)2KT 2(e证明： 为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体。在重力场中分子的能量为1p 2p y2pz2mgz ( 1 )2m12( p 2py2 p z3 )mgz粒子的配分函数为Z12mddydzdP dPY dPZh312 m34ddyH1mgzdz23 m42A1(1 e1mgH) ( 2 )h3()eh第 27 页 共 33 页3 NKT( ) mg0 其中 A ddy 是气柱的截面积。 气柱的内能为UN3NKTNKTNmgHU 0NKTNmgH ( 3 ) ln Z1mgH KT (e m

12、gH 21)1) (e 式中2mgH2气体的热容量为CVU0NKN （mgH ）eKT1 （ 4 ）TC V（emgH KT1）2KT 2上述结果显然也适用于双（多）原子分子气体，只要将U0和 C0V 理解为无外场时气体的内能和热容量。当 mgH KT1 时，（4 ）式右方后两项相互消去而有CV=C0V （ 5 ）第 29 页 共 33 页这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（Z=H）与底部（Z=0）的重力势 能差远小于热运动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的。当mgH时，（4 ）式右方第三项趋于零，因此01VV这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部（Z=H）与底部（z=0 ）

13、的重力势能差远大于热运动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量NK。对于 300K 的空气，相应于mgH1的H约为104m。因此在通常情形下，（5）式是KT适用的。实际上大气温度随高度而降低。当气柱很高时，应用玻尔兹曼分布时所作的恒温假设并不成立。717 试求双原子分子理想气体的振动熵解： 双原子分子理想气体的振动配分函数Z1ve2 / 1eln Z1vln 1 e2振动熵 SvNk ln Z1vln Z1vNke11ln 1 e引入 v/ k，得SvNkv1Nk ln 1 e v / TT evT 17 21 试求爱因斯坦固体的熵。S3Nk1ln 1e解：根据式(7-7-2 )求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为S 3NK (ln Z1ln Z1 )3Nke1ln 1e7 22 以 n 表晶体中磁性原予的密度设原了的总角动量量子数为1 在外磁场下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、 反平行于外磁场假设磁矩之间的相互作用可以忽略试求在温度为T时晶体的磁化强度以及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值解：依题意，原子具有三个状态，能量分别为-仙B、0、仙B。按玻尔兹曼分布，原子处于这些态的几率分别为CeB , C , CeB ,其中 C 为归