山东省临沂市2021年中考数学复习第四章几何初步与三角形第六节解直角三角形及其应用课件

1、考点一考点一 锐角三角函数锐角三角函数 (5(5年年3 3考考) )例例1 1(2018(2018德州中考德州中考) )如图，在如图，在4 44 4的正方形方格图形中，的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，小正方形的顶点称为格点，ABCABC的顶点都在格点上，则的顶点都在格点上，则BACBAC的正弦值是的正弦值是 【分析分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出先根据勾股定理的逆定理判断出ABCABC的形状，再的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论由锐角三角函数的定义即可得出结论【自主解答自主解答】由勾股定理可得由勾股定理可得ABAB2 23 32 24 42 22525，BCBC2 21

2、 12 22 22 25 5，ACAC2 22 22 24 42 22020，ABAB2 2BCBC2 2ACAC2 2，ACBACB9090，ABCABC为直角三角形，为直角三角形，sinBACsinBAC . .故答案为故答案为 . . BCAB5555求三角函数值的方法求三角函数值的方法在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数的定义解决在网格图中求锐角的三角函数值，要充分函数的定义解决在网格图中求锐角的三角函数值，要充

3、分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股定利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股定理解答理解答1 1在正方形网格中，在正方形网格中，ABCABC的位置如图所示，则的位置如图所示，则coscos B B的值的值为为( )( )B B2 2(2018(2018滨州中考滨州中考) )在在ABCABC中，中，C C9090，若，若tan Atan A ，则，则sin Bsin B 122 55考点二考点二 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 (5(5年年3 3考考) )例例2 2 在在ABCABC中，若中，若|sin A|sin A | |( ( cos B)cos B)2

4、20 0，A A，B B都是锐角，则都是锐角，则C C 【分析分析】 根据绝对值及完全平方的非负性，可得出根据绝对值及完全平方的非负性，可得出A A及及B B的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出C C的的度数度数2232【自主解答自主解答】|sin A|sin A | |( ( cos B)cos B)2 20 0，sin Asin A ，cos Bcos B . .又又A A，B B都是锐角，都是锐角，A A4545，B B3030，C C18018045453030105105. .故答案为故答案为105105. . 22322232熟记特殊角的

5、三角函数值的两种方法熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)(1)按值的变化：按值的变化：3030，4545，6060角的正余弦的分母都是角的正余弦的分母都是2 2，正弦的分子分别是，正弦的分子分别是1 1， ， ，余弦的分子分别是，余弦的分子分别是 ， ，1 1，正切分别是，正切分别是 ，1 1， . .2332333(2)(2)特殊值法特殊值法在直角三角形中，设在直角三角形中，设3030角所对的直角边为角所对的直角边为1 1，那么三边，那么三边长分别为长分别为1 1， ，2 2；在直角三角形中，设在直角三角形中，设4545角所对的直角边为角所对的直角边为1 1，那么三边，那么三边长分别为长分

6、别为1 1，1 1， . .323 3(2017(2017烟台中考烟台中考) )在在RtRtABCABC中，中，C C9090，ABAB2 2，BCBC ，则，则sinsin 3A2124 4(2016(2016临沂中考临沂中考) )一般地，当一般地，当，为任意角时，为任意角时，sinsin()与与sinsin()的值可以用下面的公式求得：的值可以用下面的公式求得：sinsin()sinsin coscos coscos sinsin ；sinsin()sinsin coscos coscos sinsin . .例如例如sinsin 90 90sinsin(60(603030) )sinsi

7、n 60 60coscos 30 30coscos 60 60sinsin 30 30 1.1.类似地，可以求得类似地，可以求得sinsin 15 15的值是的值是_624考点三考点三 解直角三角形解直角三角形 (5(5年年3 3考考) )例例3 3 (2018(2018自贡中考自贡中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，BCBC1212，tan Atan A ，B B3030，求，求ACAC和和ABAB的长的长【分析分析】 过点过点C C作作CDABCDAB，在直角三角形中求出，在直角三角形中求出ADAD，BDBD，即，即可得解可得解34【自主解答自主解答】如图，过点如图，过点C C作

8、作CDABCDAB于点于点D.D.在在RtRtBCDBCD中，中，B B3030，BCBC1212，CDCDBCsin 30BCsin 306 6，BDBDBCcos 30BCcos 306 .6 .3在在RtRtACDACD中，中，5 5(2018(2018贵阳中考贵阳中考) )如图，如图，A A，B B，C C是小正方形的顶点，是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为且每个小正方形的边长为1 1，则，则tanBACtanBAC的值为的值为( )( )B B6 6(2018(2018兰陵二模兰陵二模) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，CDCD是边是边ABA

9、B的中线，若的中线，若CDCD，BCBC12.12.sinsin B B的值是的值是_513考点四考点四 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度仰角、俯角问题仰角、俯角问题例例4 4(2017(2017临沂中考临沂中考) )如图，两座建筑物的水如图，两座建筑物的水平距离平距离BCBC30 30 m m，从，从A A点测得点测得D D点的俯角点的俯角为为3030，测得，测得C C点的俯角点的俯角为为6060，求这两座建，求这两座建筑物的高度筑物的高度【分析分析】过点过点A A作作AECDAECD，交，交CDCD的延长线于点的延长线于点E E，在，在Rt

10、RtADEADE中，由题意求出中，由题意求出DEDE的长，在的长，在RtRtACEACE中，由题意得出中，由题意得出CECE的长，的长，进而得出进而得出ABAB的长根据的长根据CDCDCECEDEDE即可得解即可得解【自主解答自主解答】如图，过点如图，过点A A作作AECDAECD，交，交CDCD的延长线于点的延长线于点E.E.在在ADEADE中，中，AEDAED9090，AEAE3030，DEDEAEAEtantan 30 303030 10 .10 .在在ACEACE中，中，AECAEC9090，AEAE3030，CECEAEAEtantan 60 6030 30 ，ABABCECE30

11、30 ，33333CDCDCECEDEDE30 30 10 10 20 .20 .答：两建筑物的高度分别是答：两建筑物的高度分别是30 30 m m和和20 20 m m. . 333337 7(2015(2015临沂中考临沂中考) )小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为部的仰角为3030，看这栋楼底部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为6060，小强家与这，小强家与这栋楼的水平距离为栋楼的水平距离为42 42 m m，这栋楼有多高？，这栋楼有多高？解：由题意知，解：由题意知，3030，6060，ADAD42.42.tantan ，tantan ，BDBDADA

12、Dtantan 4242 14 14 ，CDCDADADtantan 4242tantan 60 6042 42 ，BCBCBDBDCDCD14 14 42 42 56 .56 .答：这栋楼高为答：这栋楼高为56 56 m m. .BDADCDAD333333338 8(2018(2018聊城中考聊城中考) )随着我市农产品整体品牌形象随着我市农产品整体品牌形象“聊聊胜一筹！胜一筹！”的推出，现代农业得到了更快发展某农场为扩的推出，现代农业得到了更快发展某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1 1，线段，线段ABAB，BDBD分别表示大棚的墙

13、高和跨度，分别表示大棚的墙高和跨度，ACAC表示保温板的长已知墙表示保温板的长已知墙高高ABAB为为2 2米，墙面与保温板所成的角米，墙面与保温板所成的角BACBAC150150，在点，在点D D处处测得测得A A点，点，C C点的仰角分别为点的仰角分别为9 9，15.615.6，如图，如图2 2，求保温板，求保温板ACAC的长是多少米？的长是多少米？( (精确到米精确到米) )( (参考数据：参考数据： ，coscos，coscos，tan 15.6tan 15.60.28.)0.28.)32解：设解：设ACACx x，在，在ABDABD中，中，tan 9tan 9 ，BDBD . . 如图

14、，作如图，作CEBDCEBD，垂足为点，垂足为点E E，作，作AGCEAGCE，垂足为点，垂足为点G.G.ABBD29tan 在在RtRtAGCAGC中，中，CAGCAG6060，AGAGACACcos 60cos 60 x x，CGCGACACsin 60sin 60 x x，EDEDBDBDBEBEBDBDAGAG 0.5x.0.5x.在在RtRtCEDCED中，中，tanCDEtanCDEtan 15.6tan 15.6 ，1232CEED29tan CECEEDEDtan 15.6tan 15.6( ( 0.5x)0.5x)tan 15.6tan 15.6. .又又CECECGCGGE

15、GE x x2 2，( ( 0.5x)0.5x)tan 15.6tan 15.6 x x2 2，即即( ( 2 2，解得解得x x1.5(1.5(米米) )答：保温板答：保温板ACAC的长约是米的长约是米29tan 3229tan 3220.16命题角度命题角度坡度、坡角问题坡度、坡角问题例例5 5 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 6 m m，坡面，坡面BCBC的坡度为的坡度为1111，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面低坡度，使新坡面ACAC的坡度为的坡度为1 .1 .3(1)(1)求新

16、坡面的坡角求新坡面的坡角；(2)(2)原天桥底部正前方原天桥底部正前方8 8 m m处处(FB(FB的长的长) )的文化墙的文化墙FMFM是否需要拆是否需要拆除？请说明理由除？请说明理由【分析分析】 (1) (1)由新坡面的坡度为由新坡面的坡度为1 1 ，可得，可得tantan ，然后由特殊角的三角函数值求得答案；然后由特殊角的三角函数值求得答案；(2)(2)由坡面由坡面BCBC的坡度为的坡度为1111，新坡面的坡度为，新坡面的坡度为1 1 ，即可求，即可求得得ABAB的长，则可求得答案的长，则可求得答案3333【自主解答自主解答】(1)(1)如图，过点如图，过点C C作作ABAB的垂线，交直

17、线的垂线，交直线ABAB于点于点D D，则则tantan ，3030. . CD13=AD33(2)CD(2)CD6 6，坡面，坡面BCBC的坡度为的坡度为1111，BDBD6.6.同理同理ADAD6 .6 .ABABADADBDBD6 6 6868，文化墙文化墙FMFM不需要拆除不需要拆除33解决坡度、坡角问题时的注意点解决坡度、坡角问题时的注意点首先要认真读题，弄清题意，理解坡度、坡角的实际意义及首先要认真读题，弄清题意，理解坡度、坡角的实际意义及坡度与坡角的关系，其次是从图中确定要解的直角三角形，坡度与坡角的关系，其次是从图中确定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正确选

18、择关系式充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正确选择关系式9 9(2018(2018枣庄中考枣庄中考) )如图，某商店营业大厅自动扶梯如图，某商店营业大厅自动扶梯ABAB的的倾斜角为倾斜角为3131，ABAB的长为的长为1212米，则大厅两层之间的高度为米，则大厅两层之间的高度为_米米( (结果保留两个有效数字结果保留两个有效数字)()(参考数据：参考数据：sin 31sin 31，coscos，tan 31tan 310.601)0.601) 6.2 6.2 1010(2018(2018邵阳中考邵阳中考) )某商场为方便某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自消费者购物，准备将原来的阶梯式

19、自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯动扶梯ABAB长为长为10 m10 m，坡角，坡角ABDABD为为3030；改造后的斜坡式自；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角动扶梯的坡角ACBACB为为1515，请你计算改造后的斜坡式自动，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯扶梯ACAC的长度的长度( (结果精确到结果精确到0.1 m0.1 m参考数据：参考数据：sin 15sin 15，coscos，tan 15tan 150.27)0.27)解：在解：在RtRtABDABD中，中，ABDABD3030，ABAB1010，ADADAB sin

20、ABDAB sinABD1010sin 30sin 305.5.在在RtRtACDACD中，中，ACDACD1515，sinACDsinACD ，ACAC 19.2.19.2.答：改造后的斜坡式自动扶梯答：改造后的斜坡式自动扶梯ACAC的长度约为的长度约为19.2 m.19.2 m.ADACADsin ACD515sin命题角度命题角度方向角问题方向角问题例例6 6(2016(2016临沂中考临沂中考) )一艘轮船位于灯塔一艘轮船位于灯塔P P南偏西南偏西6060方向，方向，距离灯塔距离灯塔2020海里的海里的A A处，它向东航行多少海里到达灯塔处，它向东航行多少海里到达灯塔P P南偏南偏西西

21、4545方向上的方向上的B B处处( (参考数据：参考数据： ，结果精确到，结果精确到0.1)0.1)3【分析分析】 延长延长ABAB，交南北方向线于点，交南北方向线于点C C，则，则ACPACP9090，在在RtRtACPACP中，解直角三角形，然后计算中，解直角三角形，然后计算ACACBCBC即可即可【自主解答自主解答】如图，延长如图，延长ABAB，交南北方向线于点，交南北方向线于点C C，则，则ACPACP9090. .在在RtRtACPACP中，中，APCAPC6060. .sinsin APC APC ，ACACAPAPsinsinAPCAPC2020 10 .10 .coscosA

22、PCAPC ，CPCPAPAPcoscosAPCAPC2020 10.10.BPCBPC4545，BCBCCPCP1010，ABABACACBCBC10 10 107.3.107.3.答：它向东航行海里到达灯塔答：它向东航行海里到达灯塔P P南偏西南偏西4545方向上的方向上的B B处处ACAP323CPAP123解决方向角问题的方法解决方向角问题的方法方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助线在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程线在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程( (组组) )来求解这类题目主要考查学生解决实际问题的能力来求解这类题目主要考查学生解决实际问题的能力1111如图，在某监测点如图，在某监测点B B处望见一艘正在作业的渔船在南偏处望见一艘正在作业的渔船在南偏西西1515方向的方向的A A处，若渔船沿北偏西处，若渔船沿北偏西7575方向以方向以4040海里海里/ /小时小时的速度航行，航行半小时后到达的速