空间向量与立体几何讲义

1、咼二年级数学学科一、空间向量的数量积坐标运算i.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz和向量a,且设i、j、k为x轴、y轴、z 轴正方向的单位向量， 则存在有序实数组x,y,z，使得a Xi y j zk，则称有序实数组x,y,z为u向量a的坐标，记着 p .2 .空间向量的直角坐标运算rrrr(1 )若 a18283), b(bbh)，则 ab/V r b r a3 a bb2a(ai b b2,a3 b?),a2，a3)(R),Xi,y2 yi,Z2 zi).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2 .数量积：即 a b= aib

2、i a2b2 a3b33 .夹角：cos a b|a| |b|ai bia?b283622 222a2a3bib2d4 .模长公式:(ai , a2, a3),则 | a | a a ,;ai22 2a?a35平行与垂直:a/b aib2,a3b3(R)abaai bja?b2a3bs06 距离公式:若 A(Xi, yi,zi), B(X2, y2,Z2),uuu 则 I AB IAB(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 z)2 ,或 dA,B . (X2 x)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2 .ur uuu r a,OB b , uuuuuuu【典型例题】例1如图，空间四边形OA

3、BC中，OAujlt rOC c，点M在OA上，且 OM =2 MA .点N为BC的中点，贝U MN例 2如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，ABC90,CB 1,CA2,AA.6，点M是CG的中点，求证：AMBA .变式：正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线 C。上 求一点N，使得MN AB例3 已知三角形的顶点是 A(1, 1,1)，B(2,1, 1)，C( 1, 1, 2)，试求这个三角形的面积.例 4 已知 A(1,0,0) B(0,1,0), C (0,0,2),求满足 DB/AC , DC / AB 的点 D 的坐标.二、用向量

4、讨论垂直与平行1、理解直线的方向向量和平面的法向量;2 能用向量方法判断空间线面垂直关系。i, 2的法向量分别为ni,门2 ,则由如设空间两条直线li2的方向向量分别为,两个平面下结论平行垂直li 与 l2e 色eieli与ie nei nii与2n / n2x【典型例题】求证：DBi是平面ACDi的法向量例1在正方体 ABCD AiBiCi Di中,uuuUULT例2已知点P是平行四边形 ABCD所在平面外一点，如果AB (2, i,4) , AD (4, 2,0),uuuAP ( i,2, i).(i)求证：uuuAP是平面ABCD的法向量；(2)求平行四边形 ABCD的面积.例3 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD丄底面 ABCD , PD = DC, E是PC的中点，作EF丄PB于点F.(1) 证明PA/平面EDB；(2) 证明PB丄平面EFD.例4在正方体 ABCD AiBiCiDi中，棱DDi上是否存在点 P,使得平面 APCi 平面ACCi?证明你的结论.例5如图，在底面是菱形的四棱锥P ABC D中，/ ABC=60 , PA=AC= a, PB=PD= , 2a,点E在 PD 上，且 PE:ED