人教版高中数学选修2-2第二章第3节《数学归纳法典型例题》专题

1、人教版高中数学选修 2-2第二章第3节数学归纳法典型例题专题9 / 8数学归纳法典型例题【典型例题】111 n-j|= * » - aja- -例1.用数学归纳法证明：加N*时，1k3 3x5（2口-1）仅口+1） 2n + l 0_ 1 _1 _ 1 _ 1解析：当n = l时，左边-m-丁 右边-公不一4，左边二右边，所以等 式成立。111 k假设 n = k（k21）时等式成立，即有 lx3+ 3x5+ +（2k-l）（2k + l） 2k+ 1 ? 则当n = k + l时，11II kI + t += + 1x3 3x5（2k -1）（ 2k+ 1） （2k + lpk+3

2、） 2k+ 1 （2k + l）（2k + 3）k（2k + 3）+l _ 2k2 + 3k +1=（2k + lX2k + 3）=（2k + lX2k + 3）_ k+1k+1=环=2 + 1）+1 ,所以当ii = k+l时，等式也成立。由，可知，对一切nfN*等式都成立。点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式， 命题关键在于“先 看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n的取 值是否有关，由口 = k到11 =卜+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，（I）考虑“ n取第一个值的命题形式”时，需认 真对待，一般情况是把第一

3、个值代入通项，考察命题的真假，（II ）步骤在由n = k到n = k+l的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数 学归纳法。本题证明n = k + l时若利用数列求和中的拆项相消法，即1 1 lx3+3x5+ +(2k-lj(2k + l) +(2k + lj(2k + 3，1 1 ，1 1 、Uk-1 2k + lJ 12k + l 2k + 3j2k+3 ,则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪(3)在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一 “凑”假设，二“凑” 结论，关键是明确ti = k + l时证明的目标，充分考虑由n = k到ii = k+l时，命题 形式之间

4、的区别和联系。,111 1 1 1 1 1一 一十 一 一 + = + + T _+例 2. 一 _ . 一 一 二 一. J 一一=1_1 = 1 解析：(1)当n = l时，左边 2 2 ,右边2 ,命题成立。(2)假设当n = k时命题成立，即1111112 3 42k-12kI 11k +1 k + 22k,那么当n = k + l时，II 十 11 +1_ 1 +1_1左边 二， 二 1 二二.一 二一.二_ 1 ( 1 11 _ 1= k7T+k72+ + 2k+ 2k + l- 2k+21 1 1 1=+ + +k+2 k+3 2k+1 2k+ 2。上式表明当n = k+l时命题

5、也成立。由(1) (2)知，命题对一切正整数均成立例3.用数学归纳法证明：对一切大于 1的自然数n,不等式1_4 后解析：当n = 2时，左二3 3 ,右 2 ,左右，不等式成立。假设n = k（k之沮kwN，）时，不等式成立，即（1、72k+ 11 H22k-lJ 2那么当n = k + l时,1+ 2k-1?1173k+1 2k+2 2k+2+ I > - - -2（k + l）-r 2 2k+ 1 2 痴7T74k + 8k + 4 J4k11 十 I ” 例4.若不等式口+ 1 口 + 2 口 + 33口 + 1 24对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值，并证明你的结论。 +

6、 8k+_3 _ 72k + 3 J2k +7272k+ 1 2以 + 12j2k+7-J2（k + 1）+12，：n = k+l时，不等式也成立。由，知，对一切大于1的自然数n,不等式都成立。点评：（1）本题证明n = k+l命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进 行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式k + 1V2k712 成立。（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一 不可，第步P（%）成立是推理的基础，第步Pk）np（k + 1）是推理的依据（即口 ° 成立，则5+1成立，叱+ 2成立，,从而断定命题对所有的自然数均成立）。 另一方

7、面，第步中，验证= 口0中的口。未必是1,根据题目要求，有时可为2, 3等；第步中，证明口 = k+1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法 用上归纳假设。111 _ 26解析：取n=l, 币1 + 1-齐。26 a令不,流,得a<26,而acN*,所以取a = 25,下面用数学归纳法证明，11125r+7+-7> n +1 口 + 2 3n +1 24 ,(1) n=1时，已证结论正确(2)假设n = k窿N*)时,11125+ +3 k +1 k + 2 3k +1 24则当n = k + l时,有 I 1(k + lj+l+ (k + l)+2+ +3T+3k+2 + 3

8、U + 3tk + f)+l-11i / 1 i i i 1125 i= a|a 11 * * j J 所以(k + l)+l (k + l)+2 乖+1)+1 24即n = k+l时，结论也成立，由(1) (2)可知，对一切鹿 ,11125+ + , ” , +> 都有 口+ 1 n+ 2%+1 24 ,(k + l k + 2 3k+lJ 13k+2 3k+ 3 3k+ 4 k + lj25 r 112 124 吼+2 3k+ 4 3(k + l)，+ 1 砾 + 1) > 2因为北+2 3k + 4-9k2 +18k + 8 m + 1),.L + _ / _口 所以 3k+

9、 2 3k+ 4 3(k + l),故a的最大值为25。例5.用数学归纳法证明：（丸+ 1）7-加6，）能被9整除。解析：方法一：令咐=（%+（1）fQ）=（3xl + l）K71-l = 27 能被 9 整除。（2）假设fMkwN*）能被9整除，则山+1）-明= （3k + 4）7*1+ f-1=9（2k + 3）7kf（k +1）=能）+9（2k + 3）了能被 9 整除。由（1） （2）知，对一切nfN*,命题均成立。方法二：（1） n = l,原式= 4x7-1 = 27能被9整除，（2）若昨地同kwN）（3k + ” -1能被9整除,则n = k+l时3（k + l）+l-7k+1-

10、l= （3k+l）+3（l+6）7卜-1=（3k+l） 7k-l +（3k + l） 6 7k +2l-7k= （3k + l）-71-l + 18k +27-71.，. n = k+l时也能被9整除。由（1） , （2）可知，对任何加N*,（% + 1）7-1能被9整除。点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式 分解等手段凑出n = k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。例6.求证：-+产能被r+a + i整除，口川+。解析：(1)当n = l时，产十(a+1产= aJa+l ,命题显然成立。设n = k时，产O(a+1产能被於+a整除，则当n = k+1时，=眦

11、加1严+ (a+，(a+严-能+产=眼明的严书回严由归纳假设，上式中的两项均能被 M+a + 1整除, 故n = k +1时命题成立。由(1) (2)可知，对口wN*,命题成立。例7.平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点, 求证：这n个圆将平面分成i?-n + 2个部分。解析：n二1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。假设n = k时，k个圆将平面分成-k +2个部分，当n = k+l时，第k+1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆分成2k段， 每段将各自所在区域一分为二，于是增加了 2k个区域，所以这k+1个圆将平面 分成k3-k+2+2k个部分，即(k +

12、1)+ 2个部分。故n = k+l时，命题成立。由，可知，对heN*命题成立。点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从 k个变 成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来 分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何 命题的一大技巧。例8.设是否存在关于自然数n的函数使等式 f(l)+ Q)+ +f(n-9=刎'响-1对于心2的一切自然数都成立？并证明你 的结论。解析：当n = 2 时，由,当口3时,由明+f(2)=g(3).小)-1,得I 2" =3,猜想g伍"。伍“)。卜面用数学归纳法证明:当心2时,等式饰)+>)+1)=哪)-1恒成立。当ii = 2时，由上面计算知，等式成立。假设f(1)+ f(2)+维-1) = kf付-1麻22)成立，那么当n = k + l时,f(l)+f(j)+- +f(k-l)+f(k)= qf(k)-l + f(k)=(k + l)f(k)-k=(k + 1)-二当n=k+l时,等式也成立。由知，对一切的自然数n,等式都成立。故存在函数g(n)