多元函数基本概念ppt课件

1、7.2 多元函数的根本概念多元函数的根本概念1. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx的全体所构成的集合记作,RnRRRRnnkxxxxkn,2, 1,),(21R中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定义了线性运算的定义:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任给),(2211nnyxyxyxyx线性运算其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量. .R)0, 0, 0(中的坐标原点或零向量称为零元n0 0称为 n 维空间, 的间隔定义为2211()()nndxyxy),(1n

2、yy y),(R1nnxx x中两点),(,21nxxxx点特别与零元 0 的间隔为22212ndxxx )(0oPPUPP 002. 2. 区域区域(1). 邻域点集, ),(0PPU称为点 P0 的 邻域.例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)阐明：假设不需求强调邻域半径阐明：假设不需求强调邻域半径 , ,也可写也可写成成. )(0PU点 P0 的去心邻域记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(2). 内点、外点、边境点设有点集 E 及一点 P : 假设存在点 P 的某邻域 U(P

3、) E , 假设存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 假设对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE那么称 P 为 E 的内点；那么称 P 为 E 的外点 ;那么称 P 为 E 的边境点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边境点能够属于 E, 也能够不属于 E . D(3) . 开区域及闭区域 假设点集 E 的点都是内点，那么称 E 为开集； 假设点集 E E , 那么称 E 为闭集； 假设集 D 中恣意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边境一同称为闭区域.那么称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域

4、,简称区域 ;。 。 E 的边境点的全体称为 E 的边境, 记作E ;例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 .11 对区域 D , 假设存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的间隔 AP K , 那么称 D 为有界域 , 界域界域 .否那么称为无xyO7.2.37.2.3多元函数的概念多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式,2hrV )2(cbapcba0,

5、 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr定义定义1. 设非空点集设非空点集,nDRDPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作),(21nxxxfuxzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域阐明阐明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球

6、面., )sin(,yxz 又如的图形普通为空间曲面 .12),(RyxxyzOOO.2 求下列函数定义域求下列函数定义域例例；1)9ln()3(2222 yxyxz.arcsinarcsin)4(byaxz ；)ln(1)2(yxxz ；221)1(yxz 三、二元函数的极限三、二元函数的极限定义定义2. 设设 n 元函数元函数,(nDPPfR),点 , ),(0PUDP,)(APf那么称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚假设存在常数 A ,对一记作，时的极

7、限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对恣意正数 , 总存在正数 ,切7.2.3 多元函数的极限与延续多元函数的极限与延续.),(lim),(),(),(),()(),(),(.),(),()(2),(),(0000000000AyxfyxyxyxfAAyxfAPfPUDyxPADyxPDyxfPfyxyx 时时的的极极限限，记记作作当当为为函函数数成成立立，那那么么就就称称常常数数时时，都都有有，使使得得当当点点，总总存存在在正正数数意意给给定定的的正正数数，对对于于任任如如果果存存在在常常数数的的聚聚点点是是，的的定定义义域域设设二二元元函函数数定定义义 例例1. 设设)0

8、(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022时当yx22yx 222yx ,总有要证 例例2. 2. 设设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当yx220 xyyx11sinsin总有 2要证 假设当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y

9、= k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故那么可以断定函数极限那么有21kkk 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例3. 讨论函数讨论函数函数例例4. 求求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令那么62)cos1 (4rr6402l

10、imrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx).0 , 0(),(0lim522200 yxyxyxyx证证明明例例.)sin(lim620 xxyyx求求例例2. 多元函数的延续性多元函数的延续性 定义定义7.37.3),(),(,),(),(,),(),(00000000000yxfyyxxfzzyxfyyxxyxyxyxPyxfz 的改变量的改变量得到函数得到函数这时这时的定义域的定义域属于属于使得使得一个改变量一个改变量分别给分别给个邻域内有定义个邻域内有定义的某的某在点在点设二元函数设二元函数).,(),(lim,0lim0000)0,0(),

11、()0,0(),(yxfyyxxfzyxyx 即即如如果果. )(),(),(,),(),(0000不不连连续续处处间间断断在在否否则则称称处处连连续续在在则则称称yxyxfyxyxfz 例如例如, 函数函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数函数11),(22yxyxf上延续，称为延续线.122 yx 故 ( 0, 0 )为其延续点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内延续一切多元初等函数在定义区域内延续.定理：假设定理：假设 f (P) 在有界闭域在有界闭域 D 上延续上延续, 那么那么,0) 1 ( K)()2(P

12、f, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可获得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对恣意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上二元延续函数有与一元函数类似的如下性质:.11lim00yxyxyx解解: : 原式原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5.5.求求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数求函数的延续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx备用题备用题1. 设设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令令uyxvxy23vuy

13、 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvfyxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00能否存在？解解: 利用利用xxy取所以极限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00 3. 证明证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面延续.证