微积分第一章预备知识ppt课件

1、微积分微积分讲课教师杨 梅: 48520191 高等数学的根本特征高等数学的根本特征笼统性笼统性演绎性演绎性广泛性广泛性研讨对象研讨对象论证方法论证方法运用运用假设假设结论结论logic理性理性思想思想本期学习内容：本期学习内容： 一元函数微分一元函数微分 利用极限研讨函数的种种表达及其诸多利用极限研讨函数的种种表达及其诸多性质性质极限的直观定义与计算极限的直观定义与计算导数与微分的概念与计算导数与微分的概念与计算微分学运用微分学运用 一元函数积分一元函数积分不定积分不定积分定积分概念与计算定积分概念与计算积分学运用积分学运用 简单微分方程简单微分方程第一章第一章 预备知识预备知识第一节第一节

2、 集合与符号集合与符号第二节第二节 函数函数概念、函数的初等性质、复合概念、函数的初等性质、复合函数与反函数、初等函数函数与反函数、初等函数 第三节第三节 切线与速度、面积与路程切线与速度、面积与路程一、集合与符号一、集合与符号1. 常用的数的集合常用的数的集合自然数集自然数集有理数集有理数集整数集整数集实数集实数集,210nN， ,210nZ ，,Q为为互互质质的的整整数数qpqp R是是实实数数xx ,CRyxiyx 复复数数集集 2. 邻域邻域0,0 Rx设设0 x 0 x 0 x Ox),(),(0000 xxxxxxN 000 xxxxx).,(000 xNxxxx记记作作邻邻域域的

3、的称称为为点点数数集集 邻邻域域的的空空心心点点称称为为数数集集 00*0),(0 xxNxxx),(000 xxx ”）全全称称量量词词“（ 1”表示“任意的”。”表示“任意的”。“ 例如：例如：”“Rx ”。”。表示“对于任意的实数表示“对于任意的实数 x”）存存在在量量词词“（ 2”表示“存在”。”表示“存在”。“ 例如：例如：）”（且且“b,acQc,ba,Qb,a .cb,a有理数有理数之间，存在之间，存在表示“任意两个有理数表示“任意两个有理数3.逻辑符号逻辑符号1阶乘符号阶乘符号2连加与连乘符号连加与连乘符号4、其它符号、其它符号二、函数概念二、函数概念定义：定义：.RD为为非非

4、空空数数集集设设 .).(,!,上上的的一一个个函函数数在在为为定定义义则则称称记记作作与与之之对对应应实实数数按按确确定定的的规规则则如如果果DfxfyyfDx RDf:或或记记.,定定义义域域因因变变量量自自变变量量Dyx存在存在独一独一值值域域),(,DxxfyRyy )(Df)( fR或或函数的两个要素：函数的两个要素：2.定义域定义域 D1.对应规那对应规那么么 fxxyxy2: 与与例例12)(2 xxf例例：表表示示对对应应规规则则 f12)(2 f112)1(2 f1)12(2)12(2 ttf1)1(2)1(2 xxf表表示示的的是是不不同同的的函函数数定定义义域域不不同同，

5、三、函数的初等性质三、函数的初等性质1. 函数的奇偶性函数的奇偶性称称为为奇奇函函数数)(),()(,xfxfxfDx 称为偶函数称为偶函数)(),()(,xfxfxfDx 2. 函数的增减性函数的增减性)f,)x(f)xf)x(f)x(fxx,Ix,x（严严格格单单调调增增函函数数为为单单调调增增函函数数称称）（21212121( )f),)x(f)x(f()x(f)x(fxx,Ix,x严严格格单单调调减减函函数数（为为单单调调减减函函数数称称21212121 3. 函数的周期性函数的周期性为为周周期期函函数数称称 f)x(f)Tx(fx,T R0的的周周期期是是则则称称有有最最小小周周期期

6、若若fTTf,留意留意 并不是一切的函数都有最小周期并不是一切的函数都有最小周期例如：调查狄里克雷函数例如：调查狄里克雷函数 为无理数为无理数当当为有理数为有理数当当xxx, 0, 1)( 4. 函数的有界性函数的有界性定义：定义：使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)1(M,M)x(f,Dx 都有都有每一个每一个.上上是是有有上上界界的的在在则则称称函函数数Df使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)2(NN)x(f,Dx 都都有有每每一一个个.上上是是有有下下界界的的在在则则称称函函数数Df.,)3(数数有有界界函函称称为为数数既既有有上上界界又又有有下下界界的的函函使得

7、对于使得对于即存在一个正数即存在一个正数, 0 M.)(,MxfDx 成成立立每每一一个个例例),( xeyeyxx和和00),( xxeex和和有有因因为为.,),(,无上界无上界有下界有下界上上在在和和所以所以 xxeyey问题问题 如何定义无界函数？如何定义无界函数？.,)(, 0*上无界上无界在在则称函数则称函数使得使得总存在总存在如果对任意的正数如果对任意的正数DfMxfDxM 例例.), 0()0,(1上上是是无无界界的的在在 xy则则有有取取对对任任意意的的,21, 0*MxM MMxxx 21*四、四、 复合函数与反函数复合函数与反函数定义：定义：这这时时在在集集合合的的交交集

8、集非非空空定定义义域域的的与与的的值值域域并并且且和和假假定定给给了了两两个个函函数数,)()(),()(fDfgRgxguufy ,)()(),(上上且且fDxggDxxD .),(构构成成的的复复合合函函数数与与这这个个函函数数为为由由则则称称可可以以确确定定一一个个函函数数gfxgfy 1. 复合函数复合函数例例,sin)(,)()1(xxgueufyu 那么有那么有 xexgfsin)( ),( x,)(,)()2(2xxguuufy 那么有那么有 xxxgf 2)(),( xgf 记记作作)(:)(xgfxgf 即即, 1)(,ln)()4(2 xxguuufy那么有那么有 ),1l

9、n()(2 xxgf)., 1()1,( x. 1)(,arcsin)()3( xexguuf所以所以, 不能构成复合函数不能构成复合函数 ).(xgf,1, 1)( fD), 1()( gR.)()( gRfD由于由于2. 反函数反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即在函数定义中，要求函数是单值的，即)()(2121xfxfxx )()(,2121xfxfxx 不一定有不一定有但是但是)()(2121xfxfxx 如如果果之之间间就就有有如如下下关关系系与与值值域域则则在在定定义义域域)(DfD)(,!),(xfyDxDfy 使使得得.)(,)(的的反反函函数数称称为为函函数数新新的的对对

10、应应关关系系到到个个由由这这是是一一xfyDDf )()(1Dfyyfx 记记作作.)(11DffDfff的的定定义义域域的的值值域域是是；的的值值域域的的定定义义域域是是函函数数反反函函数数由由定定义义可可以以知知道道： 例例2xxfysin)( 设设严严格格单单调调则则1, 12,2 : f1, 1arcsin)(1 yyyfx有有反反函函数数例例3), 0(),( xey是是严严格格单单调调函函数数习惯上习惯上, 记记), 0(ln xxy), 0(ln)(1 yyyfx有有反反函函数数五、五、 初等函数初等函数1、根本初等函数、根本初等函数2幂函数幂函数5三角函数三角函数3指数函数指数

11、函数6反三角函数反三角函数4对数函数对数函数1常量函数常量函数 xy )0( aayxxey )(常数常数cy xyalog xxyelog:ln e是无理数是无理数xxxxcot,tan,cos,sinxarcxxxcot,arctan,arccos,arcsin都是周期函数都是周期函数2、初等函数、初等函数根本初等函数经过有限次的四那么运算根本初等函数经过有限次的四那么运算及复合运算所得到的函数及复合运算所得到的函数, 称为初等函数称为初等函数.3、双曲函数工程函数、双曲函数工程函数双曲正弦双曲正弦)(21sinhxxeex 双曲余弦双曲余弦)(21coshxxeex 双曲正切双曲正切xx

12、xxeeeexxx coshsinhtanh),( x反双曲正弦反双曲正弦)1ln(harcsin2xxx 反双曲余弦反双曲余弦)1ln(harccos2 xxx反双曲正切反双曲正切xxx 11ln21harctan),( x), 1 x)1, 1( x4、非初等函数的例子、非初等函数的例子1符号函数符号函数 . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgnxxxxyOyx 11 xxxsgn 留意留意2取整函数取整函数 ), 1(:Zkkxkkxy 25 . 2 例如例如 35 . 2 Oyx11 2342 3 1231 2 3 留意留意 )(1Rxxxx 函数表示的其他分类：函数表示的其他分类：

13、1显函数显函数2隐函数隐函数3参数式函数参数式函数)(xfy 确定的函数确定的函数由方程由方程0),( yxF确确定定的的函函数数由由参参数数方方程程 )()(tyytxx2, 0sincos1 ttbytax椭椭圆圆：例例0,)cos1()sin(3 atayttax摆摆线线：例例aa 22, 0sincos200 ttryytrxx圆圆：例例2, 0sincos433 ttaytax星星形形线线：例例a内旋轮线内旋轮线0,323232 aayx隐隐函函数数方方程程：1.需求函数需求函数 (1) 需求函数商品的需求量需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及受消费者的偏好收入及( )d

14、Qf p 需求函数需求函数 普通是普通是 p 的递减函数的递减函数. 最常见、最最常见、最( )dQf papb (a、b均为正常数均为正常数)那么称此函数为需求函数那么称此函数为需求函数.商品价钱等等要素的影响商品价钱等等要素的影响. 但最主要的是价钱要素但最主要的是价钱要素; 假假设设不考其它要素不考其它要素, 把需求量把需求量 Qd 只看成价钱只看成价钱 p 的函数的函数, 即即简单的需求函数是如下方式的线性需求函数简单的需求函数是如下方式的线性需求函数()dQfp 六、经济学中常用的函数六、经济学中常用的函数 这个函数的几何形状这个函数的几何形状, 是一条反响需求量与价钱关系的是一条反响需求量与价钱关系的bopba特别地特别地, 当价钱当价钱 p=0时时, 需求量需求量 Qd=b , 它表示人们的它表示人们的Qd曲线曲线, 我们称之为需求曲线我们称之为需求曲线, 如右图如右图.需求是有限的需求是有限的. b/a 为最大销售价钱为最大销售价钱, 此时需求量为零此时需求量为零.作价钱函数作价钱函数.当然价钱当然价钱 p 也可表示成需求量