关于行列式计算方法的进一步探讨

1、关于行列式计算方法的进一步探讨引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的，它不论是在线性代数，多项式 理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的.为此，我在查阅部分参考资料的基础上，结合自己的学习实践，对行列式的计算总结了二十一种方法.常规 做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以 拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程 .1 .定义法n阶行列式的定义展开式式中包含n!项，当n较大时，利用定义进行计算就会很麻烦, 只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数0 1 000 0 20

2、例1计算0 0 0 n 1n 0 00解根据行列式的定义,行列式展开式的每一项都是n个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项12 (n 1) n n!,这一项的逆序数为n 1,有计算可得Dn ( 1)n1n!.2 .化三角形法化三角形法主要是利用行列式的性质把原来的行列式化为上 (下)三角行列式.虽然每 个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式 .但当行列式阶数较高时，计算往往较 为复杂.因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种变形 ，再将其化为三角 形行列式.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.nn132nn133nn152n2n3

3、322n 1n132例2计算行列式A1加到第2,3,11111解首先将行列式的第一行乘以小行，再将其第n,n 1,2,1歹1通过相邻两列互换依次调为第1,2,刀歹九则得1)2n n 11)丁 n 1!.3.降阶法可利用按一行（列）展开定理降低n阶行列式的阶数并且使得行列式的计算较为简便的方法称为降阶法.降阶比较适合于行列式中某行或列中零元素比较多时例3计算行列式A解首先应考虑A能不能化为上（下）三角形式，若将第一行乘以2加到第2,3,n行，数字反而复杂了，要使行列式尽可能多的出现0”项，将该行列式的第一行乘以1到第2,3,力行，得上式仍不是上（下）三角形行列式，我们可以用降阶法，注意第二行除了

4、第一项是后面的项都是0,我们按第二行展开，得2 n 2!.4 .加边法加边法就是将原来的行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式更容易求出其值.该方法适用于除主对角线上元素外,各行（或列）对应的元素分别相同的类型aa2a3aa11 a2a3aa1a21 a3aa1a2a3ann例4计算行列式Dn解利用加边法将行列式添加一行一列,1a1a2a3an1a1a2a3an01 a1a2a3an110000a11 a2a3an=101000a1a2a31an10001n使其值保持不变.则有D1aia2a3a nnaiai =1a1a2a3就可利用行列式加边法最大的特点是要找出每行或每列相同的因子，

5、那么升阶之后, 的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就可以大大减少计算量5 .分解行列法（拆项法）如果行列式某行（歹I）是两行（歹I）之和，将行列式分解为两行列式的和，然后再利用性 质进行计算.即分解行列法.解将行列式1时,2时,11X122 X1nn X111X222 X2nnX211 Xn22Xnnn Xn例5计算Dn，则当Dn分解为若干行列式的和n 2时，每个行列式至少有两列成比例D2DnDn 0；D11iXi .（不0,X1X22X12X22X12X21,X2)(22,2.x12x2 2x1 x2 2 16.分解法利用矩阵乘积的性质可把行列式分解成若干个行列式乘积的

6、方法称为分解法.如果矩阵A分解为A A1A2A3Am ,其中A都是n阶方阵(i 1,2,m),则AA | A21A3Am.1n. na1 b11n. na1 b21n. na bn1aQ1ab1ah1n. na?”1n. na2 b21n. na2bn1a2b1a2 b21a2bn1n. nanb11n. nan b21n. nan bn1anh1anb21anbn例6计算行列式Dn解 首先用以前学过的公式化简行列式，然后再进行计算n2 21(a1b1)(1 a1bl )(1a1bla b则有Dn1 k ka1 b101 k ka2b101 k ka1 b201 k ka2 b2o1k.a1

7、b01akbo1 k kanb101k kanb201 k k anbn02na1aa2na2a2a22nananan1111111 b1 b12b;(ajj nai)(bj b)1b21bnb；1n 1bn7.拆元法把某一行或列的元素写成两个数的和的形式,再利用行列式的性质将其写成两个行列式的和，以简化计算.m(xm)例7计算行列式由于Dn Dn ,即将Dn中的m换成,行列式的值不变,Dnm(xn 1m)(xm)Dn 1(1)(xm) (xm) Dn m(x m)n (x2m2)Dn1(2)(xm) (xm)Dnm(x m)n (x2m2)Dn 1Dnm(xm)n m(x m)n(x m)

8、(x m)2(x m)n (xm)n.xmmmmxmmmmxmmmmxDnxmmmmmmmmxmmmxmmmmxmmmxmmmmxmmmxx(xm)Dn 1n 1解Dn8 .析因子法所谓析因子法就是当行列式为零时，求得方程的根，从而将行列式转化为其因子的积这样会大大减少计算量，该方法适用于主对角线上含多项式的类型.对于一个n次多项式， 当最多找到r个因子使其行列式值为零时，就要把它画成一个r次多项式与一个n r次多项式的乘积.但一般找到的使其行列式为零的个数与行列式的次数相差太多时，不适用本方法.例8计算Dn解令f xDn，当 i1,2,n1时,i 0,即 x 1 , x 2 , , x n

9、1 是 fx 的n 1因子且它们互质.故 xi 1的因子,比较xn 1的系数知f xn 1x iDn.i 19 .分块矩阵法我们学习了矩阵的分块,知道一个矩阵通过分块若能化为对角矩阵或下（上）A, B分别是s,r阶可逆矩阵，C是r s阶矩阵，0是sr阶矩阵.可以看出，这样可以把s r阶行列式的计算问题，通过矩阵分块转换为较低阶的s阶和r阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式.设矩阵a11asduas1assds1c11c1s“1cr1crsbr1Gd1rdsr b1rbrr其中，A,B分别是s阶和r阶的可逆矩阵，C是rs阶矩阵,D是s r阶矩阵，则有下面公式成立.DA 1C .1_

10、DB A DE C B卜面推导公式，事实上当A 0时，有E0 A DA D E1 _ _ _1 _A E C B0 BCA D 0A DB 1C 0C B上面两式两边同时取行列式即可得出上面的公式10 12例9计算D0 13 410 5 60 17 8解法1原式10 120 13 410 5 60 17 810 120 13 40 0 4 40 0 4 40.若用前面介绍的公式则可以直接得出结果c 人 1 05 61 0解法2令A, B, C, D0 17 80 11 0则有A,由公式知0 1A D原行列式A B CA1DC B10 10 120 10 13 40,这道题目还有一个特点，那就是

11、即A C,如果我们把公式变形,CA1D A(B CA 1D) AB ACA 1DAB ACA 1D AB CAA 1D AB CD所以当A C时AB CD这类题就可以直接写出答案了8，C因为A C,所以原行列式 AB CD10 5 60 17 810 120 13 45 61 20.7 83 4解法3令Ad0 a2n 1a b1 b c dc10 .递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关 系式,这种关系式称为递推关系.根据递推关系式及某个低阶初始行列式的值,便可递推求得所给行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法.注意用此方法一定要看行列式是否具有较

12、低阶的相同结构，如果没有的话，即很难 找出递推关系式，从而不能使用此方法(D Dn kDn1 类aba b例10计算行列式D2na bc dc解将D2n按第1行展开可得 ab 0a bD2n a c dc0dad(ad bc)D2n2nbc2n 2阶所以D2n(ad bc)D2n 2(adbc)2D2n(adbc)n2D2(adbc)n.(2)Dnk1Dn 1 k2Dn2 类例11计算带形行列式Dn解将Dn按第一行展开可得Dn ( )Dn 1所以Dn)Dn 1DnDnDnDnDn(Dn 12(Dn2n 3(D3)Dn 1Dn2,Dn 2),Dn 3)D2).D3DnDn 1n 3 f(D32

13、D2同理可得Dn联立解得Dn1因此D3D2D2)n 1 n 1Dn 11 .构造代数方程组法当所求行列式是由几个元素组成的，若用曾经求解过的行列式作系数行列式，构造个n元线性方程组，所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分例12计算Dna12a1n 2a1na1n 2a2na2n 2a nna n解如果使用常规的方法，解这道题是非常复杂的，而且困难白是因为Dn不是范德蒙行列式，若我们用刚刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易了,因为Dn类似于范德蒙行列式，我们构造一个n阶的范德蒙行列式a12a1aj ai1 i j nn 1a1n 1a2n 1an于是当aiaj时，比值Dn是线形方程组c

14、osi000i2cosi000i2 cos00000i2 cos例i3证明cosn2时,Xia1X2Xia2X2n 1naiXnai ,n ina2Xna2XianX2n ia n Xn的解中的Xn值，又这个方程组 tnXntn iX2t XiD可以看作是t是未知数 有n个根：ai, a2, ,an.于是由高次方程与系数的关系有Xn ai a2an，因此，Dn XnD aia2anajaii i j ni2.数学归纳法数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算，从中发现规律并得出一般性结论，然后用归纳法证明其正确性.证明第二数学归纳法.nD2cosii

15、2cos2=2 cosi cos2结论成立.假设对级数小于n的行列式，结论成立，则Dn 2cos Dn i Dn 2,由假设Dn 2 cos(n 2) cos(n i) cos(n i) cos sin(n i) sin 代入前一式得Dn2cos cos(n i) cos(n i) cos sin(n i) sin =cos(n i) cos sin(n i) sin cosn .故对一切自然数n结论成立.13 .辅助行列式法辅助行列式法应用条件：行列式各行(列)和相等，且除对角线外其余元素都相同 解题程序1）在行列式D的各元素中加上一个相同的元素 x,使新行列式D除主对角线外，其余元素均为0

16、;2）计算D的主对角线各元素的代数余子式Ai （i 1,2,n)；3) D DnxAijij 1例14求下列n阶行列式的值.Dn解 在Dn的各元素上加上（1）后，则有(Dn)1)n(n 1)F (1 n)n,n(n 1)又 Anan1 I" A.1( 1尸(1n）n 1 ,其余的为零.Dn (Dn)nA iji,j 1n(n 1)1尸(1nn)nAi,n i 1 i 1n( n 1)1尸1)皿2(11)、n n)n(n 1)(1尸n 1(1 n)n (1n 1 n).但根据该行列式的特若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题 点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，

17、再化为三角形行列式也可轻易解出该行 列式.14 .利用拉普拉斯展开法1)An0CmnBmmAnni |Bm,imAnCmmAnnBmm拉普拉斯定理的四种特殊情形3)0AnBmmCmn(1)mn An| BmmCB,nmmmAnn0mn(1)mn Ann |Bmm例15计算n阶行列式Dn,其中Dn解如果从第三行开始每一行都减去第二行,再从第三列开始每一列都加上第二列,使行列式种更多的元素为零.先按上述分析对行列式进行变换1)a2)Dn(n(n00(n1)a (n 2)(n 2) (n 2)a (n 2)ab(n 1)(a)n15 .利用范德蒙行列式例16计算行列式Dn1,其中Dn1nan 1 a

18、(a 1)n(a 1)n1(a n)(a n)解该行列式与范德蒙行列式类似,我们可以先利用行列式的性质把它变成范德蒙行列式在进行计算.通过相邻两行的交换，先把最后一行交换至第一行(交换n次)，再将新的最后一行交换至第二行(交换 n1次)继续下去，经过n(n1)/2次交换以后,原行列式变成范德蒙行列式.由范德蒙行列式的性质得Dn 1n(n 1)(1) 2推论(超范德蒙行列式法)超范德蒙行列式法就是考察n(n 1)1尸(a 1)n(a i)0 j i n1阶范德蒙行列式元素余子式的关系来计算行列式的方法型.11x1x222Xx2n 2nx1X2nnx1x22例17计算行列式Dn解 n 1阶范德蒙行

19、列式为(a n n)(aj)(i j).0 j i nf(x)，利用行列式Dn与f(x)中某一.这种方法适用于Dn具有范德蒙行列式形式的题n 2 xnn xn11X1X222f (x) =X1X2n 1n 1X1X2nnX1X21xn2 xnn 1 xnn xn(x Xi)(X X2)(x xn)(xixj)由分析知Dn就是行列式f(X)中元素Xn 1的余子式Mn,n 1 ,即DnMn,n1 。( -,n 1为代数余子式)，又由f(X)的表达式及根与系数关系知 “*)中*一的系数为X1 X2XnXi Xj .1 j i n即An,n 1= X1 X2Xn X Xj .1 j i n所以DnX1

20、 X2XnXi Xj .1 j i n16 .利用矩阵行列式公式引理 设A为n m型矩阵，B为m n型矩阵，En , Em分别表示n阶，m阶单位矩阵,则有 det(En BA) det(Em AB).例18计算下行列式的值.a1ba1Dn a1a1 a b&解令矩阵Aa1a1a2a3a na2 ba3a na2a3 bana2a3an ba2a3ana2 ba3ana2a3 bana2a3an b则可得其中a1a2a3an11 1 (a1,a2,a1a2a3anA bEna1a2a3anbEn,an)a1a2a3an1bEnBn1Ci n.Bn1(1,1,GTGna1, a2 ,an

21、，那么根据上面所提到的引理可得Dn bEn BC bn 1b CinBmC1nBn 1 ai a21 nanai ,i 1nDnbn 1( ai b).i 117 .利用方阵特征值与行列式的关系例19计算下行列式的值Dna1ba2a3anaa2 ba3anaa2a3 banaa2a3an b显然，bEn的n个特征值为解令矩阵a1 ba2a3ana1a2a3ana1a2 ba3ana1a2a3anAa1a2a3 banbEna1a2a3anbEnAn,a1a2a3an ba1a2a3ann,0.故b,b, ,b .而An的n个特征值为ai ,0,0,nA的特征值为bai ,b,b, ,b.n由矩

22、阵特征值与对应行列式的关系知DnA bn1(ai b).i 118.乘以已知行列式例20计算行列式D4乘法公式求得D42解 直接计算这种行列式比较困难.所给行列式易于利用 行列式D4D4 ,再确定D4的符号即可求出D4 .根据行列式的乘法公式有所以2D4 D4D4= (a2b22 c000,22b cbcdabcdadcbadcdabcdabcbadcbaabcdd2d2)4,b202 c00d20022b c0d2000.22,2b c dD4(a2b2根据行列式的定义可知，D4的展开式中有一项为(1234)4(1)a11a22a33a44a ，2,22,2 x2D4 = (a b c d

23、).19.递推方程组方法例21求行列式的值xyyyzxyyDnzzxyzzzx解 从(D的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，第 n 1列减第n列，得Dn上面的行列式按第一行展开，有两项,一项是 (x y)乘一个n 1阶行列式，这个n 1阶行列式和(4)中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为(x y)Dn"展开的另一项是n 八n 1(1) yyx00n 1n 1n 1(1) y(z x) y(x z)(n 1)故递推式(5)y,Dn (xy)Dny(xz)n1则上式化为Dn (xy)Dn1y(xy)n1(6)类似地有Dn1(xy)Dn 2y(x y)n2;D32(x

24、 y)D2 y(x y);x y yx yD2(x y)(x y).y x xy x故可对(4)式递推计算如下：Dn (x y)Dni y(x y)n 12y(x y)n1二(x y) (x y)Dn 2 y(x y)n 2 y(x y)n 1=(x y)2(x y)Dn 3 y(x y)n 3=(x y)3Dn 3 3y(x y)n1(x y)n2D2 (n 2)y(x y)n1(x y)n2(x y)(x y) (n 2)y(x y)n 1(x y)n1x (n 1)y上面得到原行列式当z y时的值.下面讨论z y的情形.把(5)的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做

25、法，行列 式的值不变.于是y与z对调后，Dn,Dn1的值不变，这时(5)式变为Dn (x z)Dn1 z(x y)n 1式乘以x z , (5)乘以(x y),从(5)与(7)(递推方程组)消去Dn 1 ,即(3)相减得(x z)Dn(x y)Dny(x z)y(x z)n z(x y)ny zz(x y)n(当 z y)注：当z y时，行列式Dn也可以用极限计算lim y(x z)n z(x y)n (固定 y) z y y zlim y n(x z)n1 (x y)n ( 用罗必达法则) z y1ny(x y)n 1 (x y)n (x y)nx (n 1)y又行列式Dn当zy时可以用余式

26、定理来做.推广其实上述行列式我们仅仅能看见主对角线相等的情况，那么对于主对角线不等的我们更进一步考虑用函数来解决x1aabx2aDbbx3af babf a b其中f xx1 xxn x , a b.证明作Dxxnx1xaxaxbxx2xaxbxbxx3x可见xn xD a f a ,D b f(b),又据行列式的性质，可知D x是x的一次多项式，所以可令Dx cx d,又因 d D(0) D,所以 D( a) ca D f(a), D( b) cb D f (b).D af b bf aa b20.导数在计算行列式中的应用1行列式的求导法则定理 1 设 fj(x) (i, j 1,2,n）为

27、可导函数，则有行列式求导法则ddxfii(x) VMfii(x) VMfni Vfin(x)M finM fnn (x)fii(x)Md,fii(x) dxMfnifin(x)afindx inMfnn(x)即行列式的导数是数个项之和，其项数等于行列式的阶数，第一项是把原行列式的 第一行（或第一列）的各元变成相应的导数，其余各行（或列）不变。第二项是把原行 列式的第二行（或第二列）的各元变为相应的导数，其余行（或列）不变 .对其中含有不同字母的行列式求导，可设其中的一个字母为变量，其余字母为常量, 然后在该行列式中对此变量求导.2.导数在计算行列式种的应用举例例22计算D =a1001 b10001d解设a是变量,D(a)然后对a求导则有D (a)11000b10001dbcd再对a积分得D(a)abcdabadC,其中C是积分常数.C D(0)01001b10001d=cd21.利用特殊公式进行计算设，是方程x2 axbc0的两个根,n 12,a 4ab,Dn(n 1) n ,a2 4ab.证明 将Dn按第一行展开，再将展开式中的第二个行列式按第一行展开，可得DnaDn 1