与生活密切相关的几个概率问题

1、与生活密切相关的几个概率问题摘 要 本文主要围绕古典概型，全概率公式等有关知识，介绍了与日常生活密切相关的几个概 率问题，以进一步揭示概率理论与实际生活的密切联系，为解决日常生活中的实际问题奠定一定的概率基础.关键词概率问题；实际生活；密切相关中图分类号 0211.1Several Probability Problems Related Closely With the LifeAbstract:this paper focus on the classical probability model, total probability formula and other relevantkn

2、owledge, describes some closely related problems with the probability of daily life in order to further reveal the probability theory and real life close con tact,to solve practical problems in daily life to lay certa in probability.Keywords:probability problem;real life;closely related1引言概率理论是一种研究随

3、机现象中的数量规律的数学理论，随机现象在自然界和人类生活中无处不在，随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化的日益加快，概率理 论在众多领域中扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用.概率应用的基本方法是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出客观的科学 定义，对可能性的大小作出数量上的描述，通过比较这些可能性的大小，研究随机现象之间 的联系.在我们的日常生活中有很多问题与概率密切相关， 这里通过介绍几个与生活密切 相关的概率问题，来探讨分析利用概率知识解决实际生活中的一些问题的方法 .2几个生活中有趣的概率问题.2.1 与古典概型有关的问题.随机事件在一次

4、实验中有可能发生，也可能不发生，但一个随机事件在一次实验中发 生的可能性的大小却是固定的，先引入古典概率的定义及性质定理：定义2设样本空间I -1,，2,llln匚，随机事件A中有m(0乞m乞n)个样本点，则称P(A)=m/n为随机事件A的古典概率，或简称为 A的概率.定理2古典概率有以下性质：(1) 对任何事件A有P(A) 一0;(2) 必然事件的概率等于1,即P()=1；(3) 若A与B互不相容，即AB=Q，则P(AU B)二 P(A) P(B).例1赢牌的概率有多大？扑克牌是人们喜欢玩的游戏，有些游戏规则中要求某几张纸牌的花色要相同.现从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的

5、花色相同的概率.解 至少有两张牌花色相同的情况有：只有两张花色相同；有三张花色相同；有四张花色相同，且彼此互不相容，其对立事件是四张牌的花色各不相同解法1任取四张牌，设“至少有两张牌的花色相同”为事件 A; “四张牌是同一花色” 为事件B1; “有三张牌是同一花色，另一张牌是其他花色”为事件 B2 ； “每两张牌是同一 花色”为事件B3 ； “只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色”为事件B4.可见Bi、B2、B3、B4 彼此互不相容，且 A = B 一 BUBAIBa.因为P( Bi)=C4 C13 =0.0106 ；CtP( B2)=c4 G；C52C1 G；=0.1648;P(B3

6、)=C 4 C13 C13Ci= 0.1348;1221 1P ( B4 )= C4 C13 C： 5 C13 =0.5843;C52所以 P(A)二P( BJ+ P( B2)+ P( B3)+ P( B4 )=0.8945.解法2由解法一知A为事件“取出的四张牌的花色各不相同”.因为P( A)=(G3 =0.1055,C52所以P(A) =1- P( A)=0.8945.在实际生活中，如果直接计算符合条件的事件的概率较为复杂时，可考虑对立事件, 涉及“至少有一个发生”、“至多有一个发生”时要注意运用对立事件来考虑 .例 22我们的生日相同的概率有多大？某班有n个人（n ： 365）,那么至少

7、有两个人的生日在同一天的概率有多大 ？解 令A表示事件“n个人中至少有两个人的生日相同”,则A表示事件“n个人的生 日全不相同”.所以 P（A)=C365Pnn=365!nn365365n(365 -n)!而 P(A)+ P( A)=1 ,于是 P(A)= 1- P( A)=1- 365.365n(365 - n)!这个例子中，直接求P(A)比较麻烦,而利用对立事件求解就简单多了 .对不同的一些n 值,计算得相应的P(A)值，如表1所示表1 人数n及对应的概率P(A)表n102023304050P(A)0.12 0.410.51P 0.71P 0.890.97上表所列的答案可能会引起多数人的惊

8、奇 ，这件事情发生的概率，并不如大多数人直 觉中想象的那么小，而是相当大.这说明了“直觉”并不可靠，也说明了研究随机现象规律 的重要性.这类问题主要考察古典概率的计算及应用，在分析过程中要注意每个事件所包含的样 本点，做到“既不重复，也不遗漏”.类似的问题日常生活中还有很多，如教师的排课问 题、学生排座位的问题、银行卡密码的设置问题.解决此类问题时，一定要弄清楚题目的意思.其次对特殊情况、特殊元素一般优先处理.2.2 与独立重复试验有关的概率问题.在日常生活中还有一种与古典概型不同的概率模型，它的基本事件不一定是等概率的 如何计算n次独立重复试验中事件A发生k次的概率.我们引入下面的定理：定理

9、3设每次实验中事件A发生的概率为p,则在n次独立重复实验中A发生k次的概 率是P(A 发生 k 次)二 C：pk(1-p)n=(k=0,1,2,|,n).例3药有效吗？某地区牛患某种病的概率是0.25 ,且每头牛患病与否是彼此独立的，今研制一种新的 预防药,任选12头牛做实验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，问此药是否有效？解 对于这种问题，常有这样的误解“因为服用这种药的牛都未患病，所以此药有效”. 下面我们来分析一下，此药是否有效由于患病的牛只占25流右,这12头牛都未患病，未 必是药的作用，分析这个问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽出12头牛都不患病的 可能性有多大，若这件事发生

10、的概率很小，几乎不会发生，那么现在这12头牛都未患病，应 该是药的效果，即药有效现假设药无效，由于每头牛患病与否是彼此独立的，故12头牛都不患病的概率为12卩12(0)= 0.25 (10.25 )7.032.这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在已确实发生了，故药是有效的，但这个结 论有3.2 %的可能性是错误的.在解决此类问题时一定要做谨慎的理论分析，不能仅凭主观 臆测贸然下结论，否则将会带来灾难性的后果.例4那种赛制对运动员更公平？在某次台球比赛中，运动员甲与运动员乙相遇，其中每赛一局甲胜的概率为 0.45,乙胜 的概率为0.55,若比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用

11、那种赛制对 甲更有利？解(1)米用三局两胜制：设A1表示事件“甲胜前两局”;A 2表示事件“前两局中二人各胜一局，第三局甲胜” ;A表示事件“甲胜” 则 A =A 1 U A2,而 P(A J=0.45 2 =0.2025;P(A 2)=(0.45 2 X 0.55) X 2 =0.22275.由于Ai与A 2互不相容,由加法公式得P(A) = P(A i U A2)=P(Ai)+ P(A 2)=0.2025 + 0.22275=0.42525.(2)米用五局三胜制：设B表示事件“甲胜” ,B 1表示事件“前三局甲胜” ,B 2表示事件“前三局中甲胜两局乙胜一局，第四局甲胜” ,B3表示事件“

12、前四局两人各胜两局，第五局 甲胜”.贝U B =B 1 U B2 U B3,且 B1、B2、B3 互不相容.P(B1)=0.45 3 =0.091125;2 2P(B2)= C 2 X 0.45 X 0.55 X 0.45=0.15035625;P(B3)= C 2 X 0.45 2 X 0.55 2 X 0.45=0.165391875;所以，甲胜的概率为P(B)= P(B 1 U B2 U B3)=P(BJ+P(B2)+P(B3)=0.091125 + 0.15035625 +0.165391875=0.4069.由于P(B)=0.4069 0,i=1川事件B满足nB 二Ubai4且P(B

13、) 0,则对任一 Xi岂n，有P(A |B) =P(A)P(B| A)n、P(Ak)P(B| Ak)k 4例5保险公司风险评估.一保险公司相信人群可分为两类，一类是容易出事故的，另一类是不容易出事故的前者在一年内出事故的概率是 0.4，后者在一年内出事故的概率是0.2，前者约占人群的30%.今有一人来投保，问：他在一年内出事故的概率有多大？解 设A表示事件“他在一年内出事故” ，B表示事件“他是容易出事故的” ，B表示 事件“他是不容易出事故的”.则B,B构成一个划分.由全概率公式知P(A) -P(B)P(A| B) P(B)P(A|B).从题意知 P(B)=0.3，P(A|B)=0.4, P

14、(A|B)=0.2，P(B) =1-0.3 = 0.7.于是 P(A) = P(B)P(A|B) P(B)P(A|B) =0.3 0.4 0.7 0.2=0.26.例65女排赢得世界冠军的把握有多少？在某次世界女排赛中，中、日、美、古巴四国取得半决赛权，形式如下：中国队 中国队 古巴队 冠军日本队 美国队 美国队 现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队、美国队的概率分别为0. 9与0. 4,而日本队战胜美国队的概率为0. 5,试问中国队取得冠军的可能性有多大？解 根据上述形势，未完成的日美半决赛对中国冠军的影响很大 ，若日本队胜利，则 中国队可有90%的希望夺冠，若美国队胜利，则中国队夺冠的希

15、望只有40%.在日本队和美国 队未比赛前，他们谁能取得半决赛权，两种情况都必须考虑到.记“中国队得冠军”为事件B , “日本队胜美国队”为事件A,有P( A) = 0. 5 = 50%. “美 国队胜日本队”为事件A2, P( A2)= 50%.显然,要么日本队胜，要么美国队胜，二者必居其所以A, A2为一个划分,由全概率公式:P (B) = P( A)P(B|A) + P( AJP(B| A)其中P(BIA) ,P(B|AJ是两个条件概率.p (BIA)表示在日本队胜美国队的条件下中国队取得冠军的概率,由题意可知,P(B|A)= 90% ,P(B| A2)表示在美国队胜日本队的条件下中国队取

16、得冠军的概率，由题意可知，P(B|A)= 40%.所以在日、美未决赛前，估计中国队取得 冠军的概率为：P (B) = P( A)P(B|A) + P( A2)P(B|A2)=50% X 90% +50%X 40%=65%.例7 E-mail回发事件.甲乙二人之间经常用E-mail互相联系，他们约定在收到对方信件的当天即给回音 .由 于线路问题，每n份E-mail中会有一份不能在当天送达收件人，甲在某日发了一份E-mail 给乙，但未在当天收到乙的回音，试求乙在当天收到了甲发给他的 E-mail的概率.解 在这个问题中，包含有两个不确定的环节：一个是甲发给乙的信件不一定能在当 天到达乙处，二是乙

17、所回的信件不一定能在当天到达甲处至于乙是否回信件，则完全取决于他是否收到了甲发给他的信件的概率我们以A表示“乙在当天收到了甲发给他的 E-mail ”的事件，以B表示“甲在当天收到了乙回给他的E-mail ”的事件，贝U A表示“乙在当天没有收到甲发给他的E-mail ”的事件,B表示“甲在当天没有收到乙回给他的 E-mail ”的事件，要来求条件概率 P(A/B).显然A和A构成了对门的一个分划.由题中条件知n 11P(A)= ，P(B| A,P( B| A)=1.nn所以,依贝叶斯公式有P(A|B)二P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) P(A)P(B| A)n _1 1= n n n

18、-1 111n n n=n _12n -1当然会想，究竟是什么E-mail呢？通过计算P(A|B)二旦匕-2n-12nv-.2 (2 -)2n因此没有给他回在这个例题中，甲在当天没有收到乙回给他的 E-mail,那么他 原因呢？是乙没有收到他的 E-mail呢？还是他没有收到乙回给他的 明白了：乙收到了他的E-mail的可能性为E-mail.换句话说，一大半可能是乙没有收到他的E-mail,类似的利用全概率公式、贝叶斯公式求解的案例有许多，比如工厂有多条流水线，求故障发生概率利用全概率公式求解，而已知故障发生的概率，追究不同的流水线应承担的 责任，利用的就是贝叶斯公式在利用全概率公式、贝叶斯公式求解实际问题时，关键是 对问题的合理划分，考虑所有可能导致问题发生的情况3总结我们的日常生活中有很多问题与概率密切相关 ，科学的概率不仅应当服务于科学，更 重要的是能够服务于概率应用、服务于社会实践，只有这样，概率才是有生命的概率作为数学学科的一个重要分支，它的定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性；随机现象 的范围很大，不可能也不必要在全部范围内进行试验观测和调查，经常采用的是“由部分推断全体”的研究方