数值分析18(数值微分)

1、1/23导数的数值计算方法导数的数值计算方法数值求导的外推方法数值求导的外推方法数值分析 199:352/23重温微积分重温微积分微分微分(Differentiation)积分积分(Integration) 微分与积分构成了一对互逆的运算微分与积分构成了一对互逆的运算 ( ) ( ) dF xF xC ( )f x dxIntegrals as Sums and Derivatives as Difference凡線面體皆設為由小漸大凡線面體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也其全積即積分也9:353/23重温微积分重温微积分微积分中蕴含的对立统一

2、思想微积分中蕴含的对立统一思想( ) ( )( ) ( )( )( )u x v xu x v x dxv x u x dx( ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x( )( )( )f bf afba ( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx ( )( )( )baf x dxF bF a 微微积积分分基基本本定定理理9:354/23Integrals as Sums and Derivatives as Difference x x1 x2 xm y y1 y2 ym如何计算导数如何计算导数(微分微分)或者梯度或者梯

3、度?3tan( )=sin (cosh )xf xxx函数复杂或仅仅给定函数复杂或仅仅给定离散的观察数据离散的观察数据(函数值函数值)？9:355/23回顾回顾10()( )( )limhf xhf xfxh 导数的概念是精确刻画函数在一点及其附导数的概念是精确刻画函数在一点及其附近的局部变化率的有力工具。近的局部变化率的有力工具。2000001( )(1)000()( )()()()()2!()() ()( )( )!(1)!nnnnxxf xf xxxfxfxxxxxfxfnn 21( )(1)()( )( )( )2! ( )( )( )!(1)!nnnnhf xhf xhfxfxhhf

4、xfnn 9:356/23一阶前向差分公式一阶前向差分公式2()( )( )( )2hf xhf xhfxf ()( )( )=( )2f xhffxfxhh (),nOnh 前前向向差差分分公公式式是是近近似似一一阶阶导导数数的的一一阶阶方方法法。一一般般地地如如果果误误差差是是我我们们就就称称公公式式是是 阶阶近近似似。0,0,( ),0( )( ),hhhhfxhffx 称称这这个个公公式式一一阶阶的的微微妙妙之之处处是是 与与 有有关关。一一阶阶的的概概念念是是当当时时误误差差应应正正比比于于 。当当时时是是移移动动的的 因因此此比比例例常常数数改改变变了了。但但只只要要连连续续 当当

5、时时比比例例常常数数趋趋于于这这就就使使得得称称公公式式为为一一阶阶的的是是恰恰当当的的。9:357/23回顾回顾2 介值定理介值定理( (Intermediate Value Theorem) )( ) , , , ( )f xa bMma bf设设是是区区间间上上的的连连续续函函数数 则则对对于于最最大大值值和和最最小小值值之之间间的的任任何何一一个个值值 一一定定存存在在使使得得。9:358/23回顾回顾2 一般介值定理一般介值定理( (Intermediate Value Theorem) )11111( ) , , , ,0(+) (),(),)+nnnnnf xa bxxa baa

6、a baafa f xa f x 设设是是区区间间上上的的连连续续函函数数是是中中的的点点 而而且且那那么么在在之之间间存存在在数数 使使得得111111111:()(),(+) ()()+()(+) ()()+()()()+,()+() ( )=ijninnnjnnijnijnnnf xf xaaf xa f xa f xaaf xa f xa f xf xf xaaxxa f xa f xfa 思思路路 设设 个个函函数数值值中中最最小小和和最最大大的的分分别别是是和和 根根据据介介值值定定理理和和之之间间存存在在常常数数 使使得得1+na 9:359/23 一阶导数中心差分公式一阶导数中

7、心差分公式231( )()( )+()( )26hfhf xxhhfxfxf 2( )()( )6=2f xhfhxfxfhh 232( )()( )(6( )2)hfhf xfxxhhfxf 二阶导数高阶导数近似二阶导数高阶导数近似(4324)1()( )( )+()224( )+( )6hhf xhf xfxhhfxffx 22( )12()2 ( )()( )=f xhf xf xhhfhfx （4 4）)324(42( )( )6()( )( )()224hhf xhf xfxhhfxfxf 9:3510/23例例1. 取取h=0.1,分别用前向差分公式和中心差分公式近分别用前向差分公

8、式和中心差分公式近似似f(x)=1/x在在x=2处的导数处的导数。112.12()( )( )=0.23810.1f xhf xfxh 2( )=,(2)0.2500fxxf 112.11.9()()( )0.250620.2f xhf xhfxh 2( )()( )6=2f xhfhxfxfhh ()( )( )=( )2f xhffxfxhh 9:3511/23舍入误差舍入误差到目前为止到目前为止,所有公式都破坏了不要进行相近数所有公式都破坏了不要进行相近数相减的规则。这对于数值微分是一个极大的困相减的规则。这对于数值微分是一个极大的困难难,但是它在本质上式不可能避免的。但是它在本质上式不

9、可能避免的。例例2. 求求f(x)=ex 在在x=0处导数的近似。处导数的近似。 h 前向差分前向差分 误差误差 中心差分中心差分 误差误差9:3512/23例例3. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式基于中心差分公式的研究更高阶近似公式24(5)2()()( )= ( )( )( )265!f xhf xhhhF hfxfxfxh235(54( )4( )+( )( )65()( )( )4!+( )2!hhf xhf xfxhhhffxfxxfx 24(4)35(5)()( )( )+( )2)( )( )5!4!6hhf xhf xfxhhhfxfxfxxf 24(5)224(/ 2)

10、(/ 2)( / 2)( )( )( )6 25! 2f xhf xhhhF hfxfxfxh2224( )( )444 1 = ( )() hFFhFfxO h 9:35422 ( )4/ 3( / 2)1/ 3( )F hF hF h13/23松弛思想松弛思想 目标值目标值Q有两个精度相当的近似值有两个精度相当的近似值F1和和F2,如如果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢?改善精度的一种简便而有效的办法是改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的取两者的某种加权平均值作为改进值某种加权平均值作为改进值,即令即令12112 (1() ) QFFQFFF

11、 或或适当选取平均化系数适当选取平均化系数 调整校正量调整校正量 以将以将F1加工成某个更高精度结果。这种基于校加工成某个更高精度结果。这种基于校正量的调整或松动的方法称之为松弛方法。正量的调整或松动的方法称之为松弛方法。 21()FF 9:3514/2311 ( )+ nnnnnnQnFQF hchch 近近似似给给定定的的量量 的的 阶阶公公式式24(5)()()( )( )( )265!f xhf xhhhfxfxfxh例例如如22( )( )21 Richardson nhnnnFFhQ 外外推推 2 / (21),11/ (21)nnn 外外推推2 ( )(1)( ) hnnQFF

12、h9:3511 ( )+nnnnnQF hc hch 111 ( / 2)/2 +/ 2nnnnnnnQF hc hch 22( )( )1211+ +nhnnnnFFhnQdh 15/23例例4. 推导中心差分公式的推导中心差分公式的Richardson外推公式外推公式2()()( )=( )26f xhf xhhfxfh 22( )( )21 Richardson nhnnnFFhQ 外外推推2222222222( )( )421()()()()2()8() 8()()62, = 4/ 3 = hhhhhFFhf xf xf x hf x hhhf x hf xf xf x hhnF 9:

13、35是否可以进一步地外推?16/23例例5. 用Richardson外推公外推公式计算式计算f(x)=x2e-x在在x=0.5的导数。的导数。2(1/2)2(1/2)1( )(1/ 2)(1/ 2)2hhF hh eh eh解解9:350.1,0.05,0.025,h 当当时时0.450.45( )16049081( / 2)0761693( / 440.4)692624885F hF hF h 11( )0.45489(/ 2)0992.453181 591 248FhFh 2( )0.454897994Fh 0.454897994(0.5)f 精精 确确 值值17/231. n阶差分阶差分

14、, diff(X,N,DIM) X = 3 7 5; 0 9 2, diff(X,1,1), diff(X,1,2)Matlab微分微分I=imread(lena_color_512.tif);imshow(diff(I),)2. 符号微分符号微分diffsyms x; f=(sin(xtan(x)*cosh(x)3; f1=diff(f,1)9:3518/233. gradient x,y = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.2 - y.2); px,py = gradient(z,.2,.2); contour(z), hold on

15、, quiver(px,py), hold offMatlab微分微分9:3519/23应用应用1 SharpeningIntegrals as Sums and Derivatives as Difference参考文献参考文献: GradientShop: Gradient-Domain Image and Video Processing9:3520/23应用应用2 2 Pseudo image relightingIntegrals as Sums and Derivatives as Difference9:3521/23应用应用3 3 ColorizationIntegrals a

16、s Sums and Derivatives as Difference9:3522/23( ),01(0)(1)0uf xxuu Poisson方程方程:令令 h = 1/(n+1) , xi= ih ( i = 0,1, , n+1 )记记 ui= u(xi ), (i = 0,1, , n+1)迭代计算格式:1(1)( )( )21()/ 2iikkkiiuuuh f x 121)2(iiiih f xuuu 差分格式:1(1)(1)( )21()/ 2iikkkiiuuuh f x (4324)1()( )( )+()224( )+( )6hhu xhu xuxhhu xuux 22( )12()2 ( )()( )=u xhu xu xhhuhux （4 4）)324(42( )( )6()( )( )()224hhu xhu xuxhhu xuxu 9:3523/23三次样条插值函数满足的连续条件三次样条插值函数满足的连续条件: (1) S(xj)= S(xj+) ( j =