2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]_历年自主招生考试数学试题大全

1、WORD格式.资料2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1 .已知函数f(x) =(x2+a)ex有最小值，则函数 g(x)=x2+2x + a的零点个数为()A. 0 B . 1 C . 2 D .取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x) =exg(x),答案C.2 .已知 MBC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c ,下列条件中，能使得 MBC的形状唯一确定的有( )A. a =1,b =2,c ZB. A =1500,asin A csinC 2asinC = bsin BC. cosAsin BcosC cos(B C) cosBsin C = 0,C = 600D. a =

2、 .- 3, b = 1, A = 60°【答案】AD【解析】对于选项A,由于|o5|匕口 + 6,于是匕有雎一取值L符合题意j对于选项国由正弦定理，有+，+缶。=/，可得8与3二5=135。，无解j对于选项c,条件即3幺向(3-S = 0,于是(屈&0=(90号/力炉工侬浜0口：60°),不符合题意5 对于选项D,由正弦定理，有典3 = ；,又5 = 60、于是5 = 30、C = 900,符合题意.3 .已知函数f(x) =x2 1,g(x)=lnx,下列说法中正确的有()A. f(x), g(x)在点(1,0)处有公切线B.存在f(x)的某条切线与g(x)的某

3、条切线平行C. f (x), g(x)有且只有一个交点D. f (x), g(x)有且只有两个交点【答案】BD【解析】 注意到y=x1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案 BD.4.过抛物线y2 =4x的焦点F作直线交抛物线于 A, B两点，M为线段AB的中点.下列说法中正确的有( ) 3A.以线段AB为直径的圆与直线 x = 一定相离2B. |AB|的最小值为4C. |AB|的最小值为2D.以线段BM为直径的圆与y轴一定相切【答案】AB1,，一八一，一，-| AB | ,于是以线段 AB为直径1【解析】 对于选项 A,点M到准线x = -1的距离为-(| AF | + | BF

4、 |)=311的圆与直线x = 1 "7E相切，进而与直线x = 定相离；对于选项B, C,设A(4a ,4a),则B(2,)24a a是| AB |= 4a2+2 ,最小值为4.也可将| AB |转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值;4a1对于选项D,显然BD中点的横坐标与 一|BM |不一定相等，因此命题错误2225.已知F1,F2是椭圆C:+4=1(a AbA0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点.下列说法中正确的有 a bA. a = J2b时，满足ZF1PF2 =90°的点P有两个B. a > J2b时，满足/F1PF2 =900的点P有四个C. APE

5、F2的周长/、于4a2aD. APRF2的面积小于等于一 2【答案】ABCD【解析】对于选项A, B,椭圆中使得/F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C, AF1PF2的周一.一一 .，一11 门 PFI+IPFcl、2 1 0长为 2a+2c <4a；选项 D, AEPF2的面积为1|PF1 | .| PF21sin/F1PF2 M1 -FL一- i =-a2.2 11112112 2<2226 .甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙

6、说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】BD【解析】 乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD.7 .已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC _L AB于C , P为圆O上任意一点，直线 PA与直线OC相交于点M ,直线PB与直线OC相交于点N .以下说法正确的有（）A. O, M , B, P四点共圆B. A,M , B, N四点共圆C. A,O,P,N四点共圆D.以上三个说法均不对【答案】AC【解析】 对于选项 A, ZOBM =/OAM =NOPM即得；对于选项 B,若命题成立，则 MN为直径，必然有/MAN为直角，

7、不符合题意；对于选项C, ZMBN =/MOP =/MAN即得.答案：AC.8. sin A+sin B+sin C >cos A+ cosB+cosC 是 AABC 为锐角三角形的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 必要性：由于 sin B +sinC >sin B +sin(-B) = sin B+cosB > 1 , 2类似地，有 sin C +sin A >1,sin B +sin A >1 ,于是 sin A +sin B + sin C > cos A +cosB +cosC .不充分f当 A

8、 = ",B=C=n时，不等式成立，但 AABC不是锐角三角形.241111 ,9.已知x, y,z为正整数，且x < y < z ,那么方程+一 + _ = _的解的组数为()x y z 2A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】B11113【斛析】由于一=+ + W,故3WxW6.2 x y z x若 x =3,则(y 6)(z6) =36 ,可得(y,z) =(7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12);若 x=4,则(y4)(z4)=16 ,可得(y,z) =(5,20),(6,12),(8,8);, 一 一 311220

9、一 -若 x=5,则 e-=+1 E2,y E20, y =5,6,进而解得(x,y,z) = (5,5,10)；10yzy3若 x=6,则(y 3)(z 3) =9 ,可得(y,z)=(6,6).答案：B.10 .集合 A =a1，a2,，an,任取 1 Wi < j < k W n,ai +aj w A,aj +ak w a, ak + ai w a 这三个式子中至少有一个成立，则 n的最大值为()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】不妨假设 >生若集合月中的正数的个数大于等于3由于的 +生和6+为均大于% >于是有叼+用=q+ % =外 > 从

10、而用二q ?矛盾！所以集含A中至多有3个正数-同理可知集合A中最多有3个负救.取d = -32lQL23,满足题意，所以理的最大值为7.答案B.11 .已知仪=1°, P =61°,尸=121° ,则下列各式中成立的有()A. tan 二 tan tan : tantan tan 二3B. tan tan : tan ： tantan tan: - -3tan .二二 tan I - tanC.2tan 二 tan I tan=3D.tan : Tan P - tantan 二 tan : tan【答案】BD【解析】 令 x = tanot, y = tan P,

11、 z = tan ¥ ,则 y -x = z - y = x -z =43,所以1 xy 1 yz 1 zxyz = J3(1+xy), z -y = J3(1 + yz),xz = J3(1 + zx),以上三式相加，即有 xy + yz+zx = 3.类似地，有 1 -=(+1),1 -= <3(+1),1 -=73(+1),以上三式相加，即有x y xy y z yz z x zx工+工 + L =x +y +z = 3.答案 bd.xy yz zx xyz12 .已知实数a, b, c满足a + b + c = 1,则J4a +1 + J4b +1 + J4c +1的最

12、大值也最小值乘积属于区间( )A. (11,12) B . (12,13) C . (13,14) D . (14,15)【答案】B/21【解析】设函数f (x) = j4x+1 ,则其导函数f/(x)=，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x = 一4x 132.211.21.1 .3处的切线y =(x -) +,以及函数f (x)的图象过点(,0)和(一，？7)的割线733424141 2,211. 211y =-/=x +下，如图，于是可得 7x十亍 三,4x + 1工(x -) +,左侧等号当 x= 一一或.7-7.7.77334311x =二时取得； 右侧等号当x=二时取得.因此

13、原式的最大值为 V21,当a = b = c =二时取得；最小值为233专业.整理2+ z =1 ,则下列结论正确的有（A. xyz的最大值为0，一，4B. xyz的最大值为一 一，一一 2C. z的最大值为3【答案】ABDD. z的最小值为271313.已知 x, y, zw R, x + y + z =1, x2 + y2【解析】由x+v + z = Ld +/ + / =1可得个+尸+zx = 0.设孙z = 则及>"是关于r的方程“0的三个根.令/3二,则利用导数可得:y(o)-c>o后所以I 32714.数列an满足 a1 =l,a2 =2, an_2A2A-

14、an由一an出an为th值C. 4an +an 7为完全平方数D8and1an -7为完全平方数4。- - <C = xyz<0 ,等号显然可以取到.故选项A, B都对.因为（工+>丁=（1,所以等号显然可以取到故选项C错误.* . . .、一 ， = 6an4 an（nw N ）,对任意正整数n ,以下说法中正确的有 （）an 三 1(mod 9)或 an 三 2(mod 9)【答案】ACD由=a2七 一 6an%an4 422书【解析】因为2 - an 3an 1 = a2 2 " (6an 2 - an 1)an=an电（anH2 -6an书）+a；书=a2书

15、一an七an ,选项A正确；由于a3 = 11 ,故2222an书anH2an = an由一(6an书_ an) an = an书6an4an * an = -7 ,又对任思正整数恒成立，所以4an由an -7=（an书an）2,8an+an -7=（an+an）2，故选项C、D正确.计算前几个数可判断选项B错误.说明：若数列an满足an七=pan书- an ,则a2书an七an为定值.15.若复数Z满足1. 一 z + =1 ,则z可以取到的值有（z'5-1C.2【答案】CD【解析】因为|z|1EZ+1 =1,故W5二1 Wz|EE531,等号分别当z = W531Dz = W5二1

16、i时 | z | z2222取得.答案CD.16 .从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）A. 6552 B . 4536 C . 3528 D . 2016【答案】C【解析】 从2016的约数中去掉1, 2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去 2016k和1008.考虑到2016 =25父31 设点叫加，可得M（ax0+y0qx0 M 7,因此所求正多边形的个数为 (1 +2 +4 +8 +16 +32)(1 +3+9)(1 +

17、7) -2016 1008 = 3528.答案 C.一-x2y21 .1.17 .已知椭圆 =+ = 1(a Ab >0)与直线l1 :y=x,l2: y = x,过椭圆上一点 P作l1,l2的平行线, a2b222分别交1i,12于M,N两点.若|MN |为定值，则（）A. . 2B. . 3C. 21、111、.2yo),叫xyr2y°),故忌| MN | = J1x2 +4y2为定值，所以41=1632,答案:4C.说明：（1）若将两条直线的方程改为y =±kx,则Ja；（2）两条相交直线上各取一点M ,N，使得|MN|b k为定值，则线段 MN中点Q的轨迹为圆

18、或椭圆18 .关于x, y的不定方程x2 +165 = 2y的正整数解的组数为（）A. 0B. 1C. 2D, 3【答案】BWORD格式.资料1解析】方程两边同时模3可得1=2J(mQd3),因2不能被3整除，故/不能被3整除，所以一/(mod3) ,故2，=l(mod3),所以丁为偶数，可设卫=2第(桁e N*),则有=615= 3x5x41,解得二*B-、,32专业.整理例如，三个19 .因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c, (ba)c,c(ab), b(ca), 等等不同的次序.记n个实数相乘时不同的次序

19、有In种，则()I5 =120A. I2 =2 B . I3 =12 C , I4 =96 D【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得In =Cn,An =1C2n1 H = (n 1)!C；nli .答案：AB.n关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数一一计数映射方法的伟大胜利20 .甲乙丙丁 4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军. 4个人相互比赛的胜率如表所示：甲乙丙T甲(1303n.a乙070.60.4内0.7一0.5T0.20.60.S表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是 0.3 ,乙击败丁的概率是0.4 .那

20、么甲刻冠军的概率是 .【答案】0.165【解析】 根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5x0.3 + 0.5x0.8)=0.165.21 .在正三棱锥P - ABC中，AABC的边长为1.设点P到平面ABC的距离为x,异面直线 AB,CP的距离为y .则lim y =.x_ ：ABC中AB边上的高，为【解析】当xt8时，CP趋于与平面 ABC垂直，所求极限为WORD格式.资料1 . 1 22 .如图，正万体 ABCD ABGD1的棱长为1,中心为O, BF = BC, A1E =A1A ,则四面体OEBF 24的体积为96如图，VOEBF2 32n 12n23 . (x n)(1 +si

21、n x)dx =【答案】02：-:【解析】根据题意，有 (x n)“(1+sin n x)dx = J x n (1 +sin n x)dx = 0. 0一麒24 .实数x,y满足(x2 +y2)3 =4x2y2 ,则x2 +y2的最大值为 .【答案】122 32 222 222221【斛析】 根据题息，有(x +y) =4x y <(x +y),于是x +y < 1,等号当x = y =万时取得, 因此所求最大值为1.1 oO3 O 2725. x,y,z均为非负实数，满足 (x+2)2+H+1)2+(z + 2)2 = 4，则x + y + z的最大值与最小值分别 为.咯案1&

22、#39;2广1 .3【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z) = (1,0)时，x + y + z取到最大值 -.根据题意，有22213 一x +y +z +x+2y+3z = ，于4一 13,、222 -3是 一 E(x + y+z) +3(x + y+z)y,解得 x + y+ z 4222 -322 -3x + y+z的最小值当(x,yz)=(0,0,)时取得，为 22设 AO = ?uAB + NAC ,则26 .若O为 MBC内一点，满足S由O B S倬O C S O片4: 3: 2 ,【答案】-3一 一，2【解析】 根据奔驰定理，有 K + N =9专业.整理2 二27.已

23、知受数z=cos+ isin则z3z2 z 2【解析】根据题意，有,25二 . . 5 二=1 z = -z = cos i sin28.已知z为非零复数,z1040 ,、，一、一 , 0的实部与虚部均为不小于z1的正数，则在复平面中,z所对应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为200二100 3 - 300320 -io箕_,40设 z = x + yi(x, y = R),由于一 z40z|z|2 '上，义之1,101040x1 40y22 - I, 22x y x y如图，弓形面积为-1,JT(sin )=66100 二-100,四边形ABCD 的面积为 2 1(107310) 10 = 100/31002100200于是所不求面积为 2(100) (100. 3 -100)=一100. 3 -300.3329.若 tan 4x =- 3【解析】根据题意，有 sin 4xsin 2xsin x sin x则十十十cos8xcos4x cos4xcos