用----直线与双曲线--第三课

1、2.3.2 2.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab220022-=1xyab 点与双曲线的位置关系： 点与双曲线：点在双曲线在双曲线的内部的内部点点在双曲线在双曲线的外部的外部点点在双曲线在双曲线上上直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类种类: 相离相离(没有交点没有交点)相切相切(一个交点一个交点)相交相交(二个交点二个交点)XYO位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个

2、交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点两个交点两个交点 一个交点一个交点 0 个交点个交点相交相交相相切切相相交交相离相离交点个数交点个数方程组解的个数方程组解的个数有没有问题有没有问题 ?消去 ，得22222222y = kx+ my = kx+ my:y:xyxy-=1-=1abab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为二次项系数为0时，时，L与双曲线的渐近线平行与双曲线的渐近线平行或重合。或重合。重合：无交点；重合：无交点；平行：有一个交点。平行：有一个交点。2.二次项系数不为二次项系数不为0时时,上

3、式为一元二次方程上式为一元二次方程, 0 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0判断直线与判断直线与双曲线双曲线位置关系的一般思路位置关系的一般思路直线方程与双曲线方程联立并消元直线方程与双曲线方程联立并消元一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐近线平行渐近线平行 计计 算算 判判 别别 式式相交（一个公共点）相交（一个公共点）0=00,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (

4、a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.例例3、直线、直线y-ax-1=0和曲线和曲线3x2-y2=1相相交，交点为交，交点为A、B，当，当a为何值时，以为何值时，以AB为为直径的圆经过坐标原点。直径的圆经过坐标原点。1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 问题四：焦点三角形（配套）问题四：焦点三角形（配套）例例4、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切的内切圆与边圆与边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：说明：双

5、曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF例例5、04全国文科全国文科设双曲线设双曲线C： 与直线与直线 相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的

6、交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 1 .位置判定位置判定2.弦长公式弦长公式3.中点问题中点问题4.垂直与对称垂直与对称5.设而不求设而不求(韦达定理、点差法韦达定理、点差法)小结：小结：2、已知直线时， 问直线与双曲线公共点 的个数.)7 , 0),2(kxky422 yxyxoF1F2例例3 3、设两动点、设两动点A A、B B分别在双曲线分别在双曲线 的两条渐近线上滑动，且的两条渐近线上滑动，且|AB|AB|2 2，求线段，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .2214xy-=ox xy yB BA AM

7、 M22414xy+=典例讲评典例讲评EX: EX: 设设F F1 1、F F2 2为双曲线为双曲线的左、右焦点，的左、右焦点，P P为双曲线右支上一点，为双曲线右支上一点，已知已知PFPF2 2xx轴，轴，|PF|PF2 2| |6 6，双曲线的离，双曲线的离心率为心率为 , ,求双曲线的顶点坐标求双曲线的顶点坐标. .22221,xyab2（6 6，0 0） ox xy yF F1 1F F2 2P P归纳总结1. 双曲线的第二定义 平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e

8、是双曲线的离心率。2. 双曲线的准线方程对于双曲线22221,xyab 准线为2axc 对于双曲线22221yxab 准线为2ayc 注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab220022-=1xyab 点与双曲线的位置关系： 点与双曲线：点在双曲线的内部点在双曲线的外部点在双曲线上韦达定理与点差法例5.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中

9、点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；例.2 22 2y y给给定定双双曲曲线线x-= 1,x-= 1,过过点点A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直线线L L2 2使使L L与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点P,Q,P,Q,且且A A是是线线段段PQPQ的的中中点点? ?说说明明理理由由. .11221122解 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点,解 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有 :且PQ的中点为A,则有 : 2 22 21

10、11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程为12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx -= 1x -= 1x - 4x + 3 = 0 0 x - 4x + 3 = 0 02 2y - 1 = 2(x

11、- 1)y - 1 = 2(x - 1)方程组无解，故满足条件的L不存在。韦达定理与点差法例5.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；例.2 22 2y y给给定定双双曲曲线线x-= 1,x-= 1,过过点点A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直线线L L2 2使使L L与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点P,Q,P,Q,且且A A是是线线段段PQPQ的的中中点点? ?说说明明理理由由. .11221122解

12、 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点,解 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有 :且PQ的中点为A,则有 : 2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程为12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y

13、 - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx -= 1x -= 1x - 4x + 3 = 0 0 x - 4x + 3 = 0 02 2y - 1 = 2(x - 1)y - 1 = 2(x - 1)方程组无解，故满足条件的L不存在。22yx.LC :1A,B35例例已已知知直直线线与与双双曲曲线线相相交交于于两两点点. .与与双双曲曲线线的的渐渐近近线线相相交交于于C C, ,D D两两点点, , 求求证证: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 与与相相交交于于两两点点22222y=kx+b(