函数极限的求法(正文)综述

1、目录0.引言 11 .函数极限的定义 12 .一元函数极限的求法 32.1 利用函数极限定义求极限 32.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限 42.3 利用迫敛性求极限 42.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限 52.5 利用洛必达法则求解 62.6 利用函数的连续性质求解 72.7 利用等价无穷小量代换求解 82.8 利用导数的定义求解 82.9 利用泰勒公式求极限 92.10 利用微分中值定理求极限 102.11 利用积分中值定理求极限 102.12 利用瑕积分的极限等式求极限 113 .二元及多元函数极限的解法 113.1 利用二元函数的连续性求解 123.2 利用极限的运算法

2、则求解 123.3 利用不等式，使用夹逼法则求解 123.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解 133.5 利用恒等变形法求解 133.6 利用两个重要极限求解 143.7 利用等价无穷小代换求解 153.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解 .163.9 利用二重积分来计算二元函数的极限 163.10 利用极坐标变换求解 173.11 利用二元函数的泰勒展式求解 174 .总结 18致谢 18参考文献 20函数极限的求法0.引言极限描述了数列和函数在无限变化中的一种趋势，它体现了从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的数学思想。在数学分析和微积分 学中，

3、极限的概念占有重要的地位并以各种形式出现且贯穿全部的内容。极 限理论又是研究连续，导数，积分，级数等的基本工具，是微积分的理论基 础。极限的计算在解决许多实际问题中不可缺少。因此，掌握好极限的求解 方法是学习数学分析和微积分学的关键一环。对于如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是让绝大多数学生较为头 痛的问题。我们如何在准确理解极限的概念、性质和极限存在条件的基础上， 灵活巧妙的运用各种不同的方法解决有关极限的实际问题。本文针对一元函数和二元函数极限，对它们的求解方法进行了归纳总结。1 .函数极限的定义定义1设函数f(x)在U°(X0)(X0的空心”邻域)内有定义，A为一个确定的常数

4、，若对任给的正数 巴总存在某一正数6 ,使得当0<x-时，都有|f(x)-Ac以 记作：弧 *)=人或f (x)t A(xt Xo),称f(x)当XT Xo时以A为极限.或简单地写成：lim f(x)=Au /君>0刀6A0,使得 V x,当0 < |x - x0 < a 时，xxo总有 f (x) - a| <。定义2设函数f (x)在u0H(x0力)(或U0(x0,s )内有定义，A为定数，若对任给的名下0,存在正数6,使得当x0<x<x0+6 (或x0-& <x< %)时有f (x) -A <&,则称数A为函数f

5、 (x)当x趋于x(T (或x0")时的右(左)极限.f(x)+= A.i lim J(x) = A j 和 f(x) 一 x"=A lim f (x) =A ,或者记作:f(x)T A(xt x齐口 f(x)T A(xt x0n 右极限与左极限统称为单侧极限定义3 设f为定义在D三R2上的二元函数，Po为D的一个聚点，A是 一个确定的实数。若对任意的正数sA0,总存在某正数S ,使得当PEU°(P0；6D时，都有f(P J-A ，则称f在D上当Pt B时，以A为极限，记作:(1)lim f P i-AP-?oP .D当P,B分别用坐标(x,y)(xo,y。底示时

6、，在不产生误解时，(1)式也常写作:limf(x, y)=A(2)x,y - ixo,yo定义4 设Ex,EyUR , xo是Ex的聚点，yo是Ey的聚点，二元函数f在集合D = Ex><Ey上有定义，若对每一个yw Ey,y# yo ,存在极限limf(x,y),由于此极限一般与y有关，因此记作x 'xoxEx:y j>lim f x, yx >x)x三Ex而且进一步存在极限L = lim : yy 、,yoyEy则称此极限为二元函数f先对xt x。后对yT y°的累次极限，并记作:L = lim lim f (x, y ), yyo x >x

7、o y Ey xE或简记作:L = lim lim f x, y .yy0x 之类似地可以定义先对y后对x的累次极限：K = lim lim f x, y . x_.x)y >yo2 . 一元函数极限的求法求一元函数极限使高等数学的基本运算之一，能够合理运用解决函数极 限的方法至关重要。对求于函数极限问题，从不同的角度思考，从不同角度 分析，能得出各种不同的方法。2.1 利用函数极限定义求极限利用函数极限的定义以及不等式证明方法 ，关键是找出和的函数表达式 满足函数极限定义中的要求。例1证明lim 土二=2.x 1 x -1分析：用“名-6"定义验证lim f(x)=A的过程，

8、就是根据给出的8找6的过程， xxo就是解不等式的过程。将f(x)-A <名经适当的变化(如放大等)0<x-x0 < P但讷为止(口表示仅与常数和有关的表达式)，这里6=P证明：这里，函数在点x=1是没有定义的，但是函数当xt 1时的极限存在或X21不存在与它有没有定义并无关系。事实上，vs>0 ,不等式-_1-2约x-1去非零因子x-1后就化为x+1-2 =|x-1(名，因此只要取6 = 6,那么当0 < x-1 <6时，就有X2 -1X -1-2 <®.所以由函数极限定义知:X2 -1lim = 2 .X 1 X -12.2 利用恒等变形

9、和极限运算法则求极限包等变形通常是利用提取出因式约简分式，分子或分母有理化及三角 函数变换等。利用极限运算法则时则应特别注意法则的适用条件即各项极限 存在且和，积运算只能推广出有限项。例 2 求lim J 十tanXf 1+sinXX 0x(1 -COSX)分析：当XT0时，分母X（1-C0SX）T 0,显然不能运用极限运算法则进行处理，但在XT 0的过程中，X¥0,所以在所求的极限公式中可约去不为零 的公因式，在求解中所用的方法就是对分子、分母进行合理的因式分解，约 去产生奇异的因子，从而达到化简求解的目的。1 tanx (1 sinx)x(1 fosx) . 1 tan x .1

10、 sin xsin x . sin x=lim lim c0sxx0 . 1 tan x . 1 sin x x_0 x(1 一cosx)1 sin x 11= -lim lim=一2x0 x I cosx 22.3利用迫敛性求极限利用迫敛性求极限，就是利用所谓的夹逼定理，通过确定两端式子的极22限来求解所要求解的极限值。给出夹逼定理：若函数f(x)满足h( x) f(x)£ g( x)且 lim h(x) = lim g(x) = A ,则 lim f(x)=A.JX0x_xox_x0例 3 证明 lim 1 j 1+ j 1 = + - 1= 11TVx2 +1Jx2 +2v&#

11、39;x2 + x分析：本题函数为无穷级数和的形式，不易用一般方法简单的求出极限值,故在这里考虑h(x)=与g(x)=)二的极限值。.x2 x.x2 1证明：利用放缩思想，容易看出x1：1； 1：N-x,x2x , x2 1, x22x2 x . x2 1x x .1lim : lim x *,x2x x 工 1 . 1x=1, lim .x ： x2于是由两边火准则知:.I 111±±1lim 1 j + f +, ,，+ =八2 + 1 xx2 + 2xY + xj=1.2.4利用两个重要极限及其推导公式求函数极限I第一个重要极限：四詈i其变形为：回II第二个重要极限:

12、11lim(1+x*=e；其变形为：山(1 +N(x)乐5 = e.1 x或者lim 1 +- =e;其变形为:X xJim 11,四二(x)“(x)=e.2求 lim sinxx0分析：先判断类型，当XT 0时sinx2T 0,故所求极限是“ 0”型，且不能 0消去零因子，现在我们利用第一个重要极限求解。令N(x)=x2 ,通过变形可衿sinxx2、2在万 用f sin xsin x . _解：原式=lim x = lim Jim x =10=0.T xT x T尔于.zxsin求 lim (cos x) 2 x. 0分析：先判断类型，因为cosxt 1,xt 0 ,故知是“ 10”型，且不

13、能消去零因子，令k(x)=-sin2| ,可化简的第二个重要极限的形式， 现在我们利用第 二个重要极限求解。=1(-2叫)2 x sin 2x解:原式=lim (1 -2sin -)22.5利用洛必达法则求解这是目前最常用的求极限的方法之一，最好能与等价无穷小替换相结合，以减少求导的次数。常见的未定式有：0型，三型，产型，g°型，g 00 二型，笛-8型，后四种未定式能化成前两种基本型 旦型和三型0下面是形式语言的变换：(1) »0=7 1oO(2)%一% =、oO或:0 =.101 ± _ 02 -01 .01020102ln1T(3) 1二二 ln1ln0o

14、00 = eln0Oln0eln 二0ln 二例6 求极限lim 1+cos3x x sin x分析：当 x t n 时，1 + cos2 x t 0 , 洛必达法则进行求解。sin xt 0显然是0型，故可直接使用0解：1而32:1防卫上x-； sin xx： ：；sinx3cos x -sin x=limj： cosx= lim -3cosxsin xx 7-：-3 cos二 sin 二=0 .2.6利用函数的连续性质求解若f(x)在x0连续，则知lim f(x) = f(x°),即求连续函数的极限，可归 x结为计算函数值。常见有以下几种形式：(1) 设 f(x)在x = a处连

15、续，若lim x n = a , 则 n - .、lim f (xn) = f (lim xn) = f (a)及 lim f (x) = f (lim x) = f (a)。 n ,nxax 阳设 lim u(x) = A A0 , lim v(x) = B u(x)、v(x)在 x = a处连续，则 x jax7av(x)v(x) ln u(x) Bln A Blim u(x) = lim ee A .x )axa例 7 求极限 lim ln2(7x-6).x-1解：因为f(x)=ln2(7x-6)是初等函数，在定义域 仁,收内是连续的，所以在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数

16、值。所以2_2_lim ln 7x6 f (1) =ln 7-6；=0.x12.7 利用等价无穷小量代换求解定理：设在自变量的某一变化过程中，u,u',P,"均为无穷小，又111ccto<BtBU lim(1+s')B' = A，则 lim(1+口2= lim(1+豆下'=A.例如：当 xt 0时，有 sinx x，arcsinx x， tanx x，ex -1 x ,1 2,n x ln(1 + x )x , 1 cosx x , arctan x x ,d1 + x-1 2n .1例 8 求极限 lim(1 +2 tan2 x x1n(1、)

17、. x )0解：当 xt0 时，1 十2tan2x 2x2, xln(1 -x)x2.故 11lim。1 2 tan2 x xln(1w = lim 1 2x2 x2 =e”.2.8 利用导数的定义求解利用导数的定义求极限,一般可得四”丫他0kf'(x。)，此方 法要求熟练掌握导数的定义及性质。例9若函数f(x)在4点处可导，且f'(x0)=3,求极限:f X0 5h - f(Xo)解:由于f (x)在xo点处可导，若令Ax=5h,则5 =5f (x0) =15.lim f x0 5h -f(X0)=Hm f X0 次-f(Xo)h)0hh 0x2.9 利用泰勒公式求极限如果函

18、数f(x)在含X0的某个开区间(a,b)内具有直到n十1阶导数，即-1!f(n(x0)(x-x0)n+o(x-x0)f w Dnd1(a,b ),那么对于 xw (a,b ),有f(X) =f (Xo) f (Xo)(X -Xo) ，f (Xo)(X -Xo)2这就是泰勒公式。这是一种非常有效的方法，它实际上已包含了洛必达法则的求解方法，利用泰勒公式求"0"型极限是一种重要而有效的方法，因为有些此类不 0定式运用洛必达法则需要连续几次求导，但用此法较为方便。2X» 、 一 > .1 a例10求极限lim L.x，。x2分析：首先要求掌握复合函数的泰勒展式，注

19、意先展里层函数，再展外层函数。其次要把握好将函数展开到适当的阶数。本题中很明显，分母是 2阶无穷小量，因此，需将函数1-e*展开到2阶泰勒公式带皮亚诺余项。解：由泰勒公式可知eX=1x°x2-1 xn o xn2!n!所以e* =1 -x2 o x2因此= 1JT ox2 =1.x力 x22.10利用微分中值定理求极限若f(x)连续那么 f b x -faxb x -a xf a(x)+"b(x Aa(x w,于是limx0f b x -faxb x -a x= lim f la(x )十"b(x )-a(x )】= f(a0), x_0其中0 日1 , ym a

20、(x )=l”b(x )=ao (主要是利用拉格朗日中值定理)tan x x e e 例11求极限lim ee. x-0 sinx -xcosx分析：利用拉格朗日中值定理：etanx-ex =e-(tanx-x ),:在tan x与x之间,且sinx-xcosx =cosx tanx-x .aa解：原式=lim -x) =lim.1.x 50 cosx tanx -x :， t 12.11利用积分中值定理求极限积分中值定理：设f(x施I, b】上连续，则兼whb，使得f f(xdx= f(，b-a )。积分 a中值定理的推广形式是，设f(x)在匕2上连续，g(x)在a,b】上不变号，则bbKw

21、 a,b，使得f(xgxdx= f(E)J g(xdx. aa例 12 求极限 lim(xnd2 + xdx.x )： ： 0解:limX一)二二xndxi ioxn 2 xdx = lim , 2°x-卜-=lim/2 '= 0xc ' n 12.12利用瑕积分的极限等式求极限命题 设f (x)在(a, b上连续，a是f (x )的瑕点且瑕积分jf(xdx收敛,则等式ff(xdx=limZ f a十曲二更)曲二亘)成立。当Ty < n J n例13求极限n n!lim n '二 n,n/n!, n/=r .ln =ln . n! -lnn解：因为In,

22、.,、一n .idn = 、 ln i -nln n 二一、 ln -.而函数f (x )=lnx在(0,1上连续,x = 0是f (x )= ln x的瑕点,且瑕积分1ln xdx = xln x011 dx -于是由上面命题,.n!lim ln 一一 n1 / i=lim ln 二1lnxdx= -1,进而有:n n!1nHlim lim e nn二 n nf 二lim=en :二41=e 二一 e3.二元及多元函数极限的解法二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，两者之间既有联系又有区别。由于变量个数的增加，二元函数极限的求法比一元函数极限的 求法要复杂得多，但一元函数极限的基本

23、运算在二元函数极限的运算中同样 适用。因此，可将一元函数的计算方法推广至二元函数。3.1利用二元函数的连续性求解由二元函数连续的性质可得以下命题命题 若函数f (x, y而点(xo, yo处连续，则”黑y° J(x, y )= f ).1例14求极限lim、2一& x2 + y2 1解：由函数连续的定义不难证明函数 f(x,y)= 2 12在点(1,2)处连续.x y -1故1.11lim 2 = f 1,22- =.yx x2 y2 -112 22 -143.2 利用极限的运算法则求解例15求极限lim sin xy 弋i x解:sinxy r sinxy sinxy r

24、/lim = lim y = lim lim y = 1.x )0xx j0xvxJ0XVx 0y-1xyTxyy1xyy)13.3 利用不等式，使用夹逼法则求解例16求极限lim 2x二；-xy y解：由不等式x2+y2N2xy,得到x y22父x+y一 x2 y2 - xyx -xy y所以:x ylim y. =0.x：x -xy y3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计 算，从而使二元函数的极限变得简单。例 17 求极限 lim xy_sin(xy).K xy - xy cos(xy)1 c c 解：设 xy=

25、t,因 0ExyE (x +y ).2故当xt 0,yT 0时，tT 0则t -sintt -sint 1 -sint sint 1原式=lim= 2lim 2- = 2lim 2 = 2lim = 一 .t Q t 1 - cost t 0 t t * 3t t 旬 6t 33.5 利用恒等变形法求解将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等，以约去零因子或 无穷大因式。例18求极限lim 27xy+4 x,y N。,。xy解:2 - . xy 4 2 . xy 4xyx,ylimO,0)xy(2+M74)-xy,。xy 2 “ xy 411= lim -= 一一x,y”0,。2 xy

26、44.3.6 利用两个重要极限求解lim sin "x' y)= 1 ; lim (1 + u(x, y»(x,y 户 e. ux,y-p u x, yU X,y 力它们分别是一元函数中两个重要极限的推广，其中(x, y ”(x。, y。)时, u(x, yH 0,视u(x, y)为新变量t ,考虑极限过程tT0.例19求极限"m2 x sin x2 y2，0 x2 y2sin x2y2解:2 x sin x2 y2T2 0 1=2.例20求极限lim 'l + T":.xy解:22XX11 甲y11、xyl(x4yXylim 1 + f

27、 =lim 1 + 办xy；方人xyJ .2. xlimyZa： x y xy.1=hmxBjy 'y- 1 +± y< xj原式=lim V1+2x)xy (x* y1=ea.xy，3.7 利用等价无穷小代换求解元函数中常见一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数。在的等价无穷小u(x, yZ 0,有1 2 sinu(x, y ) u(x, y 卜 1cosu(x, y)-u (x, y)； 2 ln 1+u(x,y ? u(x,y )；tanu(x, y ) u(x, y )；(5) arcsinu(x, y 卜 u(x, y )； arctanu(x, y )

28、 u(x,y )；Uu(x,y )-1 lu(x, y )； (8) eu(x,y)-1 u(x, y ).n同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用例21求极限，lim, x,y 1 10,0sin xy解：由(x, y r (0,0);可知 sin xy xy.xy.lim lim y = 0.x,yT：0，。x x，y，0 )sin xy故03.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解例22求极限lim驾修) / x +y解:因为limx )0y0sin(x2y 尸2u*y sin u .=lim=1u 0 u2x y22x y原式=limx 0y0八一 2sin

29、 x y所以2x y22x y3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限例23求极限./ 1 lim (”ni1n2 一，L_/ 1 n11n2 2n11n2 n2111111) n12n22n12n23n1n1n2n2解：原式可化为lim.n2-二1nQn1n211、-T-jT j 31 -L 1 jnn2In”其中 DJ0<x<1,0<y<1.3.10 利用极坐标变换求解x = Pcos 二设丫=收，求极限，若结果与k有关，或设,求极限；若结y - - sini果与日有关，则二重极限不存在；若结果与 k或日无关，则二重极限可能存 在，这时还要进一步证明所得极限就是所求

30、的二重极限。例24求极限limx ）0y j0解：设y = kx ,则 2222 2x - y x y x - kx x k x 1 - klim=lim=,xZ0x + y 耳 x + kx 1+k极限与k有关.x = Pcos或设彳（p为变量，e为参数）Iy = ：；sin 二x-y x2 y2cos? -sin ?；?2cos? -sin 二lim= lim _ 二 xy 0 x y : 0: cos - sin - cos - sin -极限与8有关故原式极限不存在.3.11利用二元函数的泰勒展式求解例 25 求极限 lim 8s（x+y）-cosxcosy .二xy解：把 cosx + y ）cosxcosy 在（0,0 ）点展开得: cos x y - cos x cosy = -xy o . x2 y2所以cos x y cosxcosy - xy limlim二-1.xxy，xy4.总结一元函数的极限求法基本可以归纳为以下几种方法（1）利用函数极限的定义求极限。（2）利用恒等变形和极限运算法则求极限（3）利用包等变 形和极限运算法则求极限（4）利用迫敛性求极限（5）利用两个重要极限及 其推导公式求函数极限（6）利用洛必达法则求极限（