第三章 行列式

1、第三章 行列式在第一章中，我们用矩阵的初等行变换解决了线性方程组是否有解及求解的问题. 但这种方法，早已把方程组的系数和常数项变得面目全非了，无法给出解与方程组的系数和常数项之间的关系，本章就利用行列式来解决这一问题. 行列式不仅是研究线性代数的重要工具，在其它领域也有广泛应用. 本章介绍行列式的概念、性质、计算及应用. 3. 1行列式的概念一、二阶和三阶行列式首先我们通过解二元、三元线性方程组引入二阶和三阶行列式的定义. 对于二元线性方程组，利用消元法知，当时，求得其解为. （3. 1）上式作为二元线性方程组解的公式，给出了解与方程组的系数和常数项之间的关系，但不好记忆. 为便于应用这个公式

2、，我们引入二阶行列式的定义. 我们把四个数排成两行两列构成的二阶方阵所确定的算式称为二阶行列式. 记为或或，即. 二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，把到所在的连线称为主对角线，把到所在的连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积. 利用二阶行列式的定义，（3. 1）式中，的分母可记为，称为线性方程组的系数行列式. 分子可记为，其中是用常数项替换系数行列式的第一列得到的行列式，是用常数项替换系数行列式的第二列得到的行列式. 于是，利用二阶行列式的定义，（3. 1）式可表示为. 例3. 1 求解二元线性方程组. 解 由于 ，因此 . 类似地，在解三元线性方

3、程组的过程中引入三阶行列式的定义. 把三阶方阵所确定的算式称为三阶行列式，记为或或. 即. 由三阶行列式的定义，我们注意到：注1三阶行列式是6项的代数和，并且正负各占一半；注2它的每一项是不同行、不同列的三个元素的乘积. 三阶行列式的算式很难记忆，下面我们考察三阶行列式与二阶行列式之间的关系. 事实上其中是划掉三阶方阵中元素所在的第一行和第一列，剩下元素构成的二阶行列式，该行列式称为元素的余子式，记为. 记，称为元素的代数余子式. 相应的有，称为元素的代数余子式. ，称为元素的代数余子式. 于是. 这说明三阶行列式可转化为二阶行列式来计算. 例3. 2计算三阶行列式. 解 . 二、阶行列式把二

4、阶、三阶行列式推广到一般情形，便得到阶行列式的定义. 阶行列式有几种等价的定义方法，在这里我们用归纳法定义. 定义3. 1 阶方阵所确定的算式称为阶行列式，记为，并且该算式满足： 当时，；当时，；当时，. 其中称为的代数余子式；为中划去第行和第列后剩下元素所构成的阶行列式，即称为的余子式. 阶行列式也可以简记为或或. 由阶行列式定义，我们同样可以得到类似于三阶行列式的结论：注1 阶行列式是项的代数和，并且正负各占一半；注2 它的每一项是不同行、不同列的个元素的乘积. 此外还要注意阶行列式和阶矩阵的区别：注3 它们本质不同. 行列式是一个算式，其结果是一个数值，而矩阵是一个数表；注4 它们记法和

5、形状不同. 行列式记号是两条竖杠，矩阵则是圆括号；行列式的行数和列数必需相等，而矩阵的行数和列数不一定相等. 例3. 3计算4阶行列式.解 .例3. 4证明对角行列式（指主对角线以外的元素都为零）和副对角行列式（指副对角线以外的元素都为零），. 证明 由阶行列式定义=. =. 例3. 5证明下三角行列式. 证明 由阶行列式定义=. 我们注意到，在例3. 3中行列式第四行的零元素比第一行的零元素还要多，如果能够按第四行展开，计算岂不是更简单. 事实上，行列式不但可以按第一行元素展开，还可以按任一行或任一列元素展开，结果都是一样的. 因此有下面按行（或按列）展开定理: 定理3. 1 阶行列式等于它

6、的任一行（或任一列）的每个元素与其所对应的代数余子式乘积之和，即 或 证明略例3. 6计算阶行列式解 将行列式按最后一列展开，=. 类似地，可得到. 习题3. 11. 计算行列式. (1)； (2)；(3) ； (4).2. 计算阶行列式. (1) ； (2).3. 求的值使 + =0.3. 2行列式的性质利用定义计算阶行列式，当很大时，计算量会很大. 本节将研究行列式的性质，借此来简化行列式的计算. 设阶行列式，将其行与对应的列互换后得到的行列式称为的转置行列式，记为或，即.性质1 行列式与其转置行列式相等，即. 证明 用数学归纳法. 当时，所以 . 假设时结论成立. 下面证明当时结论也成立

7、. 为此，将和分别按第一行和第一列展开，记为中第一行第列元素的代数余子式；为中第一列第行元素的代数余子式. 则有因为与都是阶行列式，且，由归纳假设知，所以 . 性质1表明，在行列式中行与列的地位是相同的，因此，凡对行成立的性质，对列也都成立. 性质1还可以用方阵的行列式形式表达：. 性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号. 证明 用数学归纳法. 易验证当时，结论成立. 假设对阶行列式结论成立，现在考察阶行列式记交换的第行和第行所得到的行列式为. 因为，所以和中必存在第行，现在把和分别按第行展开，得到其中，分别为行列式和中元素所对应的代数余子式. 因为和都是阶行列式，且交换的两行后得到，

8、由归纳假设得所以 ， 故结论成立. 推论1 若行列式中两行（或两列）对应元素相同，则行列式的值为零. 性质3 用数乘以行列式的某一行（或列）所有元素，等于用数乘此行列式. 即=. 证明 将行列式按第行展开便得. 性质3还告诉我们，若行列式的某一行（或列）所有元素有公因数，则此公因数可以提到行列式的外面. 推论1 若行列式中某行（或列）的元素全为零，则行列式的值为零. 推论2 若行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例，则行列式的值为零. 性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两数之和，则此行列式可表示为下面两个行列式之和：.证明 将行列式按第行展开，便得. 性质5把行列式的某一行（或列）的

9、各个元素乘以同一数，然后加到另外一行（或列）对应元素上去，行列式值不变. 即 证明由性质4及性质3便得. 性质2、性质3、性质5涉及到对行列式的行（或列）的三种变换恰好与矩阵的三种初等变换相对应，因此我们通常也把行列式的这三种变换分别记为，表示互换行列式的第行和第行；，表示用非零常数乘行列式第行所有元素；，表示用一个非零常数乘行列式第行所有元素后加到第行对应元素上. 若 “行”换成“列”，相应地记为，和. 例3.7已知，证明.证明 行列式的第一行都是两项之和，且每一列有相同的变量，利用性质4和性质3得.而 .所以 左边.性质6行列式的某一行（或列）的元素与另外一行（或列）对应元素的代数余子式乘

10、积之和等于零. 即 ， .证明 作行列式由中第行和第行元素相同，所以. 再将按第行展开，得.综合定理3. 1和性质6，我们可以把这两个结论用下面表达式表示： （3. 2） （3. 3）例3.8 设行列式，求（1），（2） .解（1）根据（3. 2）式，在分析行列式的特点，我们作第二行元素与第四行元素对应的代数余子式乘积之和，则有，所以 . （2）由题意，把行列式的第二行元素换为6,9,0,5，其它不变，便有=而 所以 . 性质7 若为阶方阵，是数，则. 证明 由性质3及数与矩阵乘法便得. 性质8 设分块矩阵，其中，分别为阶和阶方阵，则，. 证明 设，对行列式作若干次或初等行变换，可将其化为下三

11、角行列式，即其中表示所作行变换的次数. 在对行列式作若干次或初等列变换，可将其化为下三角行列式，即其中表示所作列变换的次数. 对行列式的前行实施上述相应的行变换，对行列式的后列实施上述相应的列变换，便有. 又因为 ，所以. 性质9 若阶分块矩阵，其中是方阵，则. 请读者自证. 性质10若均为阶方阵，则. 证明 设都是阶方阵，下面作阶辅助行列式由性质8得. 现在证明. 为此用乘第一列，乘第二列，乘第列，都加到第列上，得，其中，由矩阵乘法知. 再将中第行与第行依次作交换，得所以 . 例3. 9 计算行列式解 化为分块三角矩阵. 再由性质8，有. 例3. 10 证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零

12、. 证明 设为（为奇数）阶反对称矩阵，则有，由性质1及性质7，得，因此有 . 习题3. 21. 计算行列式. (1) ； (2) ；(3) ； (4) .2. 计算阶行列式. 3. 设，求. 4. 已知1326，2743，5005，3874都能被13整除，不计算行列式的值，试证 能被13整除5. 已知，求：（1）；（2）3. 3行列式的计算下面介绍行列式计算的几种常用方法. 一、 化三角行列式法性质2、性质3和性质5对行列式做的三种变换对应着矩阵的三种初等变换，我们知道矩阵总可以通过初等变换化为阶梯形矩阵，所以利用性质2、性质3和性质5总可以把行列式化成三角行列式，之后求出其值，这种方法称为化

13、三角行列式法. 例3. 11 计算.解 .例3. 12计算阶行列式.解 . 二、降价法所谓降价法就是利用定理3. 1把阶行列式展开成个阶行列式，反复使用此方法，最后求出行列式的值. 显然当行列式的某行（或列）有很多零元素时，该方法比较适用. 例3. 13计算.解 观察行列式，注意到第三行零较多，利用性质使第三行除一个元素是非零的，其余都为零. . 例3. 14计算阶行列式解. 三、数学归纳法当阶行列式的结果是已知的，往往可以用数学归纳法来证明. 例 3. 15证明阶范德蒙德行列式其中记号“ ”表示全体同类因子的乘积. 证明 用数学归纳法. 当时，结论成立. 假设对阶范德蒙德行列式结论成立，下面

14、证明对阶范德蒙德行列式结论也成立. 将从最后一行开始，自下而上每一行减去上一行的倍，得到将其按第一列展开，之后把每一列的公因式提出来，就得到上式右端是一个阶范德蒙德行列式，由假设知，它等于，因此.综上，结论得证. 从该例可知，当各不相同时，范德蒙德行列式不等于零. 四、递推法所谓递推法就是利用行列式的性质和展开定理，建立阶行列式与同结构的阶行行列式之间的递推关系，找到递推公式，求出行列式的值. 例3. 16计算阶行列式.解 . 上面我们简要的介绍了计算行列式的常用方法.在具体计算之前，应注意观察所给行列式是否具有某些特点，然后考虑能否利用这些特点采取相应的方法以达到简化计算的目的.在计算以字母

15、作元素的行列式时，更要注意简化.习题3. 31. 计算行列式. (1)； (2)； (3) .2. 计算行列式.3. 计算行列式. 4. 证明.5证明=. 3. 4 行列式的应用行列式有十分广泛的应用，本节介绍行列式在矩阵和一类特殊线性方程组中的应用. 一、行列式与矩阵可逆设为阶方阵，把中元素都换成它的代数余子式，在转置，所得到的矩阵称为的伴随矩阵. 由（3. 2），（3. 3）式得.由上式我们可以得到矩阵可逆的充要条件：定理3. 2 阶方阵可逆的充分必要条件是，且. 证明 必要性 若可逆，则存在阶方阵，使，由性质10得，所以 . 充分性 若，由，有. 由逆矩阵的定义，于是有可逆，且. 当时，

16、称为非奇异矩阵，当时，称为奇异矩阵. 推论 若（或），则可逆，且. 证明 因为，所以，故，因此可逆. 于是 . 关于矩阵的逆矩阵和伴随矩阵的行列式有下面性质：性质1 （为阶方阵）证明 （1）若可逆，则. 由，得，所以. （2）若不可逆，则. 因此 . 假设，则可逆，因而. 若，一定为零矩阵，这与矛盾，所以. 故. 性质2 证明 设是阶方阵，由，有. 例3. 17利用伴随矩阵求方阵的逆矩阵. 解 求得，所以可逆. 计算中每个元素的代数余子式：，. 求得 ，所以 =. 例3. 18 求矩阵的逆矩阵（其中）. 解 对进行分块，又都可逆，所以.而 ， ，故 .二、行列式与矩阵的秩下面我们研究矩阵的秩与

17、行列式的关系. 为此，引入矩阵阶子式的概念. 定义3. 2 设是一个矩阵，在中任取行、列，由位于这些行与列的交点上的个元素按原来次序构成的阶行列式，称为阶子式. 矩阵的阶子式共有个. 定义3. 3 设在矩阵中有一个不等于0的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，则称为矩阵的最高阶非零子式. 例如，取中第一、二行和第三、四列交点上的元素构成的2阶子式取中第一、二、三行和第一、三、四列交点上的元素构成的3阶子式可以验证，中所有3阶子式均为0，所以的最高阶非零子式的阶数是2. 通过初等变换方法可求出的秩也是2. 我们注意到，矩阵的秩就等于矩阵的最高阶非零子式的阶数. 事实上，这个结论对任意矩

18、阵都成立，下面给出证明. 引理 若矩阵与等价，则中存在阶非零子式的充分必要条件是中也存在阶非零子式. 也可以表述为：中所有阶子式全为0的充分必要条件是中所有阶子式全为0. 证明 由矩阵等价具有对称性，仅需证明必要性. 设是中阶非零子式，是中阶子式，当经过一次初等行变换变成，相应的变成. （1）若是互换中的两行，则有. （2）若是用非零常数乘以中某一行，则有. （3）若是用数乘中第行所有元素后加到第行对应元素上，则有下面两种情况: 若中不含中第行，或是既含中第行又含中第行，则. 若中只含中第行但不含中第行，则如果，就已经证明中有阶非零子式；如果，由上式有. 综上中也存在阶非零子式. 定理3. 3

19、 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶数. 证明 首先，设，下面分两种情况讨论：（1）当时，则矩阵与它的标准形等价，因中有阶非零子式，且所有阶子式全为零，所以中最高阶非零子式的阶数是. （2）当时，即或，则有矩阵与它的标准形或等价，因而中有阶非零子式，但不存在阶子式，所以中最高阶非零子式的阶数是. 反之，设中最高阶非零子式的阶数是，下面证明. 设，由上述结论知（否则中所有阶子式全为零，与已知矛盾），同时（否则中一定有阶子式不为零，这也与已知矛盾），因此，即. 例3. 19设，求的秩，并求的一个最高阶非零子式. 解 对进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，所以. 由定理3. 3知中有2阶非零子式. 是

20、阶梯形矩阵的一个2阶非零子式，由引理，中对应有2阶非零子式，所以便是的一个最高阶非零子式. 三、行列式与线性方程组对于方程个数等于未知量个数的特殊线性方程组，我们给出其解与方程组的系数和常数项的关系. 定理3. 4（克拉默法则）设线性方程组 （3. 4）若其系数行列式，则方程组有唯一解，且其解可表示为 （3. 5）其中是把中的第列换成常数项所得的行列式，即 .证明 记，则线性方程组的矩阵表示为. 由知，可逆，所以方程组有唯一解. 又由，所以可表示为，故有 =. 推论1 如果非齐次线性方程组（3. 4）无解或有无穷解，则它的系数行列式必为零. 推论2 如果齐次线性方程组的系数行列式，则它只有零解

21、. 推论3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式. 例3. 20 解线性方程组解 系数行列式，由克拉默法则，方程组有唯一解. 而 ，. 所以 ，. 例3. 21 当取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？在有解的情况下，求出方程组的全部解. 解 系数行列式 ，由克拉默法则，当时，即且时，方程组有唯一解，用公式（3. 5）求得唯一解为. 当时，.由，方程组无解. 当时，.由，方程组有无穷解，通解为（为任意常数），通解也可以用矩阵形式表达，即. 例3. 22 当取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求解. 解 系数行列式，由推论3，当时有非零解，即或. 当时，通解为，即. 当时，

22、通解为， 即. 习题3. 41. 已知矩阵，问是否可逆，若可逆，求出逆矩阵. 2. (1) 是3阶矩阵，的伴随矩阵为，求. (2)设，为的伴随矩阵，求. 3. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.（1）； （2）.4. 问l 取何值时, 齐次线性方程组有非零解？5. 用克拉默法则解方程. 练习三1. 填空与选择. (1)设，是的伴随矩阵，则. (2) 方程的根为. (3) 是阶可逆矩阵，且的各行元素之和均为，则的代数余子式之和(4) 设为阶方阵，则的必要条件是( ) .(A) 的两行元素对应成比例 (B) 中必有一行为其余行的线性组合 (C) 中有一行元素全为零 (D) 中任一行为其余行的

23、线性组合 (5) 设、都是阶可逆矩阵，则（ ）.(A) (B) (C) (D) （6） 设为阶方阵,是其伴随矩阵,下列说法不正确的是（ ）.(A) 若，则 (B) 若，则(C) 若，则 (D) （其中为阶单位矩阵）2. 计算下列阶行列式. (1) ；(2) . 3. 计算阶行列式.4. 设是三角形的三条边，证明：. 5. 矩阵，求，. 6. ， 其中都是3行1列矩阵，已知 求的值. 7. 证明：如果方程组有解，则行列式. 8. 已知三阶矩阵的逆矩阵为，求伴随矩阵的逆矩阵. 9. 已知实矩阵，满足条件(1),其中是的代数余子式. (2) . 计算行列式. 10. 设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩

24、阵， 是单位矩阵，求. 11. 试讨论当为何值时，方程组有唯一零解？有非零解？12. 设线性方程组的系数矩阵为，三阶矩阵，且，求 的值. 13. 讨论取什么值时，线性方程组有解，并求解. 数学史与数学家简介3行列式小记“行列式”这一名词首先是由高斯(Gauss，1777-1855)在1801引入的，当然指的不是现代行列式的含义，而是用以表示二次式的判别式.柯西(Caucy，1789-1857) 于1812年给出了现代意义下的行列式这个词， 1841年凯莱则引入了两条竖线,到此为止标准的行列式出现了.行列式最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具. 行列式出现于线性方程组的求解

25、,1683年日本数学家关孝和著作解伏题之法，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件.因此,我们认为行列式是由关孝和和莱布尼茨发明的.1750 年，瑞士数学家克拉默 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作线性代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念

26、指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解. 第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) .范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来成为法兰西科学院院士.范德蒙给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法,得到了拉普拉斯展开定理. 法国大数学家柯西在行列式的理论方面也做出了突出贡献.1815 年，柯西给出了行列式的乘法定理:,其中表示阶行列式,.并给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.另外，他第一把行列式的元素排成方阵，采用双重足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等. 1825年，舍尔克(H.F.Scherk，1798-1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等. 德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)在行列式理论方面是最多产的人，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行