第2章随机变量及其分布第2节综合讲练

1、概率论与数理统计 第2章 随机变量及其分布 第2节 离散型随机变量及其概率分布 综合讲练、全面学习基本内容（见教材、课件）、概括内容提要（见教材、课件）、归纳常见题型（必做题）题型一 利用离散型随机变量的概率分布的定义、性质及常用结论，求解有关问题【例1】（P34），【例2】（第2版课件补充）；【§1.2课堂练习2】.【补例2.2.1】.【习题2-2 EX1】【习题2-2 EX5】；【总习题二 EX1】；题型二 利用常用离散型随机变量的概率分布（分布律）、性质与直观模式，求解有关问题【例3】（教材例2 P35），【例4】（教材例3 P36），【例5】（教材例4 P36）【例6】（第2

2、版课件补充），【例6】（第2版课件补充），【例7】（第2版课件补充），【例8】（教材例5 P38），【例9】（教材例6P38），【例10】（教材例7 P38），【例11】（第2版课件补充）；【补例2.2.2】【补例2.2.7】；【§1.2课堂练习1】.【习题2-2 EX6】【习题2-2 EX12】；【总习题二 EX2】【总习题二 EX5】.题型一 利用离散型随机变量的概率分布的定义、性质及常用结论，求解有关问题l 提示（1）求概率分布 先确定的全部可能取值为，（或） 依次求出的全部可能取值的概率，即事件的概率 （ 或 ）即为离散型随机变量的概率分布.必要时，利用第1章中古典概型、条件

3、概率、事件的独立性及有关运算法则（2）利用离散型随机变量的概率分布，确定分布列中的待定常数 （ 或 ）的性质 非负性，； 规范性， （3）离散型随机变量在区间内取值的概率等于在区间内各取值点（）取值的概率之和，即l 常用结论 l 辨析离散型随机变量的概率分布及其4种表示方法 （对比：P33定义1）设是一个随机变量，如果的全部可能取值只有有限多个或可数无穷多个（可列个），则称是一个离散型随机变量.设是一个离散型随机变量，其全部可能取值为，事件的概率为，则称 （ 或 ）为离散型随机变量的概率分布或分布律，也称概率函数.离散型随机变量的概率分布常见的表示方法有4种：（1）分布律（概率函数） （ 或

4、）（2）分布列（分布表）或（3）分布阵 （4）概率函数图l 归纳【例1】（P34）【辨析】设事件（1）求出随机变量的所有可能取值（2）求出随机变量的所有可能取值的概率注意到 规范性，所以，随机变量的概率分布为0120.010.180.81l 注意由离散型随机变量的概率分布，可求出在任意区间内取值的概率如l 常用结论离散型随机变量在区间内取值的概率等于在该区间内各取值点取值的概率之和【例2】（第2版课件补充）【§1.2课堂练习2】【习题2-2 EX1】【习题2-2 EX2】【习题2-2 EX3】【习题2-2 EX4】【习题2-2 EX5】【辨析】设事件（1）求出随机变量的所有可能取值求

5、出随机变量的所有可能取值的概率【总习题二 EX1】【辨析】用随机变量表示事件并求出其概率设从120的整数中取到的一个数为随机变量（1）求出随机变量的所有可能取值（2）求出随机变量的所有可能取值的概率（3）取到偶数的概率为【补例2.2.1】一批产品包括10件正品，3件次品，（1）有放回地抽取每一件，直到取得正品为止，求抽取次数的概率分布；（2）如果每次取出一件产品后，总以一件正品放回去，直到取得正品为止，求抽取次数的概率分布.【解】（1）有放回地抽取每一件，直到取得正品为止，设抽取次数为.显然，抽取次数的所有可能取值为所以，抽取次数概率分布为：（补设事件= 第次抽到正品 ， ） （ ）即，摸取次

6、数的分布列如下：123（2）如果每次取出一件产品后，总以一件正品放回去，直到取得正品为止，设抽取次数为.显然，抽取次数的所有可能取值为 (第4次一定能取得正品，停止)所以，抽取次数概率分布为：（补设事件= 第次抽到正品 ， ） 即，摸取次数的分布列如下：1234l 注意求事件的概率（或随机变量的概率分布）时，要区别有放回抽样与无放回抽样，二者的计算结果不同题型二 利用常用离散型随机变量的概率分布（分布律）、性质与直观模式，求解有关问题l 提示（1）熟记常用离散型随机变量的概率分布、直观模式表（见课件光盘）；（2）熟记常用离散型随机变量概率分布的性质（补充）；（3）复习§2.1、

7、67;2.2及第1章中的有关知识（够用为度，缺什么补什么）.此类问题多为综合应用问题要诀：先设随机变量（问什么设什么）； 后套用常用随机变量的概率分布、性质与直观模式l 辨析常用离散型随机变量分布的性质1、“0 - 1”分布是二项分布的特殊情形，即当时，即 （ ； ， ）2、如果，则（二项分布）（概型）（ ； ， ）3、如果，则的最可能值为： P36即，（ ）的最大值为（ 其中，表示实数的整数部分，即不大于的最大整数）4、设，如果当较大，较小时，则近似地有 （其中，） （Poisson定理，见P38定理1）即（ ； ）5、如果，则的最可能值为： 即，（ ）的最大值为（ 其中，表示实数的整数部分

8、，即不大于的最大整数）6、设，如果当对于较大时，则近似地有 （ 其中， ） 即 当抽样数较小时 （无放回抽样） （有放回抽样）（ ； ， ）l 直观模式次无放回抽样中，抽到的合格品数为，则 ； 为产品总数，为合格品数，为抽取次数；为次品数7、设随机变量（为正整数）相互独立，且，如果，则 （参见【补例2.2.2】）8、如果，则对任两个正整数，有 （参见【补例2.2.3】）l 注意几何分布也具有“无记忆性” 在取值大于的条件下，取值大于的概率等于取值大于的概率，与起点无关，只与间隔有关）l 归纳（1）（2），且相互独立 （3） （ 其中， ）（4） （ 其中， ）【例3】（教材例2 P35）【例4

9、】（教材例3 P36）【提示】要诀：先设随机变量（问什么设什么）； 后套用常用随机变量的概率分布、性质与直观模式l 直观模式重试验中，事件发生的次数为，则- 类比套用概型，的分布律为在重试验中，事件恰好发生次 【辨析】利用二项分布问题归结为求下列事件的概率： 3个产品中，恰有2个次品 = 3个产品中，次品数 = 2 = 设有放回地取3次，其中的次品数为（单位：个），（在重试验中，事件（某个产品为次品）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 于是，所取的3个产品中，恰有2个次品的概率为 l 注意若设无放回地取3次，其中的次品数为（单位：个），于是，所取的3个产品中

10、，恰有2个次品的概率为 一般地，则的概率分布为（ ，）即，次无放回抽样中，抽到的次品数为，则 其中， 为产品总数，为次品数，为抽取次数；为合格品数【例5】（教材例4 P36）【辨析】利用二项分布问题归结为求下列事件的概率： 独立射击400次，至少击中2次=独立射击400次，击中次数= 设独立射击400次，其中的击中次数为（单位：次），（在重试验中，事件（某次射击击中）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 于是，独立射击400次，至少击中2次的概率为 【例6】（第2版课件补充）【辨析】利用二项分布（1）由4人维护，每人负责20台时设事件= 第人负责的20台，在设

11、备发生故障时不能及时维修 （）问题归结为求下列事件的概率：= 第1人负责的20台，在设备发生故障时不能及时维修 = 第1人负责的20台，同一时刻发生故障的设备台数 去维修设备的工人数 设表示第1人负责的20台中,同一时刻发生故障的设备台数，即为同一时刻需要去维修设备的工人数（在重试验中，事件恰好发生的次数，事件= 某台设备需要工人维修 ），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中，第1人负责的20台，设备发生故障时不能及时维修的概率为由4人维护，每人负责20台时, 设备发生故障时不能及时维修的概率为（2）由3人共同维护80台；问题归结为求下列事件的概率： 3人共同维护80台,在设备发

12、生故障时不能及时维修 = 3人共同维护80台,同一时刻发生故障的设备台数 去维修设备的工人数 设表示由3人共同维护80台中,同一时刻发生故障的设备台数，即为同一时刻需要去维修设备的工人数（在重试验中，事件恰好发生的次数，事件= 某台设备需要工人维修 ）于是 （ ，）即，的分布律为 其中，3人共同维护80台,设备发生故障时不能及时维修的概率为l 我们发现在后一种情况尽管任务重了（每人平均维护27台），但工作效率不仅没有降低，反而提高了【例7】（第2版课件补充）【辨析】利用几何分布直观模式重试验中，若，则事件首次发生时的试验次数为，则 （ ）即，的分布律为 （ ； ， ）如直到试验成功（事件）为止

13、所进行的试验次数直到击中（事件）为止所进行的射击次数【例8】（教材例5 P38）【辨析】利用泊松分布由题设知，某一城市每天发生火灾的次数服从参数的泊松分布,即的分布律为 （ ； ）所以，该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率为【例9】（教材例6 P38）【辨析】二项分布用泊松分布近似问题归结为求下列事件的概率： 这300件产品经检验废品数大于5 = 这300件产品经检验废品数 = 设这300件产品经检验废品数为（单位：件），（在重试验中，事件（某个产品为次品）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 精确值其中， 近似值所以，这300件产品经检验废品数大于5的概率为 精

14、确值不易求解 近似值易于求解【例10】（教材例7 P38）【辨析】利用泊松分布由提设知，某种商品每月的销售数（设为）可以用参数的泊松分布来描述,即的分布律为 （ ； ）又设为了以95%以上的把握保证不脱销,商店在月底至少应进某种商品件，即而所以，为了以95%以上的把握保证不脱销,商店在月底至少应进某种商品件【例11】（第2版课件补充）【补例2.2.2】设随机变量（为正整数）相互独立，且如果，求证：.【提示】l 复习 重伯努利（Bernoulli）试验 如果在相同条件下重复进行次试验，且满足：（1）每次试验的结果相互独立；（2）每次试验中，有且仅有两个可能的结果： 事件发生 （ “成功” ） ；

15、 事件不发生 （ “不成功” ）则称上述试验为重Bernoulli试验（为正整数）l 直观模式重试验中，事件发生的次数为，则- 类比套用概型在重试验中，事件恰好发生次 其中，为正整数，l 注意 - 试验总次数- 每次试验中试验中，事件发生的概率【证明】由题设知，随机变量（为正整数）相互独立，且 随机变量服从参数为的“”分布由直观模式，知为重试验中事件发生的次数即（ ）所以为重试验中事件发生的次数于是，的分布律为 （ ； ， ）故【补例2.2.3】如果，则对任两个正整数，有【证明】由提设知，即的分布律为 （ ； ， ）于是所以【§2.2 课堂练习1】【辨析】利用二项分布问题归结为求下列

16、事件的概率： 3个灯泡在使用1000小时后，最多只有1个坏了 = 在使用1000小时后，3个灯泡中坏了的灯泡数 = 设在使用1000小时后，3个灯泡中坏了的灯泡数为（单位：个），（在重试验中，事件（某灯泡中坏了）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 于是，3个灯泡在使用1000小时后，最多只有1个坏了的概率为【习题2-2 EX6】【辨析】利用二项分布由提设，知则的概率分布为 则的概率分布为 又，因为所以【习题2-2 EX7】【辨析】利用二项分布(2)问题归结为求下列事件的概率： 某人连续试验10次，成功3次 = 某人连续试验10次，成功次数 = 3 = 设某人

17、连续试验10次，成功次数为（单位：次），（在重试验中，事件（某次试验成功）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 于是，某人连续试验10次，成功3次的概率为 因他猜对（某人连续试验10次，成功3次）的概率仅为万分之三，由实际推断原理，可断定他有区分能力.l 实际推断原理（小概率原理） 概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的【习题2-2 EX8】【辨析】二项分布用泊松分布近似问题归结为求下列事件的概率： 在这段时间内，800个纺锭中断头次数不大于2 = 在这段时间内，800个纺锭中断头次数 = 设在这段时间内，800个纺锭中断头次数为（单位：个），（在重试验中

18、，事件（某个纺锭断头）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 精确值其中， 近似值所以，在这段时间内，800个纺锭中断头次数不大于2的概率为 精确值不易求解 近似值易于求解 【习题2-2 EX9】【提示】设，如果当对于较大时，则近似地有 （ 其中， ） 即 当抽样数较小时 （无放回抽样） （有放回抽样）（ ； ， ）l 直观模式次无放回抽样中，抽到的合格品数为，则 ； 为产品总数，为合格品数，为抽取次数；为次品数【辨析】超几何分布用二项分布近似，二项分布用泊松分布近似问题归结为求下列事件的概率： 无放回抽样时，500粒种子中没有发芽的比例不超过 = 无放回抽样时，500

19、粒种子中没有发芽的的种子数不超过5粒 = 无放回抽样时，500粒种子中没有发芽的的种子数 = 设无放回抽样时，500粒种子中没有发芽的的种子数为（单位：个），于是，该问题可视为：粒种子中（一大批种子，较大），有粒种子不能发芽(能发芽)，从中无放回地任取粒，其中没有发芽的的种子数为，则的概率分布为 （抽样数相对于种子总数较小）即于是，近似地有所以 精确值 近似值 近似值所以，无放回抽样时，500粒种子中没有发芽的的种子数不超过5粒的概率为 精确值不易求解 近似值不易求解 近似值易于求解 【习题2-2 EX10】【辨析】利用泊松分布问题归结为求下列事件的概率： 任意检验4页，每页上都没有印刷错误

20、= 任意检验4页中，没有印刷错误的页数 = 4 = 设任意检验4页中，有印刷错误的页数为（单位：页），（在重试验中，事件（某页没有印刷错误）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 先求出，由题设知，书籍上每页的印刷错误的个数服从参数（待求）的泊松分布,即的分布律为 （ ； ）再由题设知，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，即于是所以，任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率为 【习题2-2 EX11】【辨析】利用泊松分布由题设知，某产品表面上的疵点数服从参数的泊松分布,即的分布律为 （ ； ）（1）产品为废品的概率（2）产品价值的分布律设产品价值为（单位：

21、元），注意到的所有可能取值为依次求出，的所有可能取值的概率l 另解因所以，产品价值的分布律为08100.0014110.1897970.808792【习题2-2 EX12】【辨析】利用泊松分布由题设知，在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数服从参数（，与成正比）的泊松分布,即的分布律为 （ ；待定 ）由题设知，在1分钟内没有汽车通过的概率所以，在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率【总习题二 EX2】【提示】利用二项分布如果，则的最可能值为： P36即，（ ）的最大值为（ 其中，表示实数的整数部分，即不大于的最大整数）【辨析】（1）命中3炮的概率问题归结为求下列事件的概率： 独立射击10炮，命中

22、3炮 = 独立射击10炮，命中炮数 = 3 = 设独立射击10炮，命中炮数为（单位：炮），（在重试验中，事件（某炮命中）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 于是，独立射击10炮，命中3炮的概率为 （2）至少命中3炮的概率（3）最可能命中几炮因所以，的最可能值为：注意到 故即，最可能命中7炮【总习题二 EX3】【辨析】二项分布用泊松分布近似（1）保险公司亏本的概率问题归结为求下列事件的概率： 在1年的1月1日，保险公司亏本 = 支出收入= = 设2500名参保人中，在1年中死亡人数为（单位：名），（在重试验中，事件（某参保人死亡）恰好发生的次数），于是则的概率

23、分布为在重试验中，事件恰好发生次 精确值其中， 近似值所以，在1年的1月1日，保险公司亏本的概率为 精确值不易求解 近似值易于求解【总习题二 EX4】【辨析】二项分布用泊松分布近似（1）每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率问题归结为求下列事件的概率： 每台分机向总机要外线时，能及时得到满足 = 300台分机中，同时向总机要外线的分机数 = 设300台分机中，同时向总机要外线的分机数为（单位：台），（在重试验中，事件（某台分机向总机要外线）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 精确值其中， 近似值所以，每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率为 精确值不易求

24、解 近似值易于求解【总习题二 EX5】【辨析】同习题2-2 EX12 ,利用泊松分布由题设知，在长度为（单位：小时?）的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数（单位：次?）服从参数（，与成正比）的泊松分布,即的分布律为 （ ； ）（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率（2）某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率【补例2.2.4】已知一公司生产某种零件的次品率为0.01.并设各零件是否次品是相互独立的，.该公司将10个零件装成一盒出售，并承诺若发现某盒内次品数多于1个则可退款，问售出的各盒零件被退回公司的概率是多少？【解】利用二项分布注意到 售出的各盒零件被退

25、回公司 = 某盒内10个零件中的次品数 = 设为某盒（10个零件装成一盒）内的次品数（在重试验中，事件恰好发生的次数，事件= 该盒某零件为次品）于是 （ ， ）即，的分布律为 （ ， ）（ ； ， ）故，售出的各盒零件被退回公司的概率为 售出的各盒零件被退回公司 某盒内次品数 【补例2.2.5】（电力供应问题）有9位工人间歇地使用电力，假设在任一时刻每位工人都以同样的概率0.2需要一个单位的电力，并且各位工人工作（需要电力）相互独立，求最大有可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力？【解】利用二项分布注意到 最大有可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力 = 9位工人中，最大有可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力 = 9位工人中，任一时刻同时需要供应一个单位的电力的工人数的最可能值 设表示任一时刻同时需要供应一个单位的电力的工人数（在重试验中，事件恰好发生的次数，事件= 某工人需要一个单位的电力）于是 （