范德蒙行列式毕业论文

1、河北工业大学城市学院2012届本科毕业设计说明书毕业设计说明书 作 者： 学 号： 系： 理学系 专业： 数学与应用数学 题 目： Vandermonde行列式及应用推广 指导者： (姓 名) (专业技术职务)评阅者： (姓 名) (专业技术职务) 年 月 日毕业设计（论文）中文摘要 Vandermonde行列式及应用推广摘要：行列式是近代线性代数的一个重要分支，但是行列式却有着悠久的历史，在数学的各个领域及其他学科中都有着广泛的应用。1772年，法国数学家范德蒙提出了范德蒙行列式，范德蒙行列式是行列式的一种特殊形式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，利用范德蒙行列式解题，可以达到事半功倍的

2、效果。范德蒙德行列式的结论计算并不复杂,难的是如何将给定的行列式化成范德蒙行列式的标准形式。本文介绍了行列式的相关知识，给出了范德蒙行列式的定义，结果和性质。讨论了范德蒙行列式在行列式、多项式、线性方程组等方面的应用以及范德蒙行列式的推广形式等。关键词： 行列式 范德蒙行列式 多项式 河北工业大学2012届本科毕业设计说明书毕业设计（论文）外文摘要Title Vandermonde determinant and application popularization AbstractDeterminant is a important branch of linear algebra, and

3、 it has a long history. Determinant is widly applied to every domain of mathematics and other subjects. In 1772, Vandermonde (French mathematician) put forward Vandermonde determinant. Vandermonde determinant is a special kind of determinant and has unique form and simple result.Using Vandermon

4、de determinant to solve problems, we can get twice the result with half the effort. The calculation of Vandermonde determinant is uncomplicated,but it is difficulty that how does the given determinant change to the normal Vandermonde determinant. In this paper, we introduce the knowledge of determin

5、ant,give the definition,result and property of Vandermonde determinant.Then we discuss the application of Vandermonde determinant to determinant, multinomial, system of linear equations,etc. At last, we discuss some extended forms of Vandermonde determinant. Keywords： determ

6、inant，Vandermonde determinant，multinomial目 次1引言12 行列式22.1排列对换的定义22.2行列式及性质22.3 行列式计算方法43 范德蒙行列式93.1 范德蒙行列式定义93.2范德蒙行列式的推导 93.3范德蒙行列式性质 123. 4 范德蒙行列式的应用 124 范德蒙行列式的推广184.1跳行范德蒙行列式184.2范德蒙行列式的另一种推广形式19结论 22参考文献23致谢24河北工业大学2012届本科毕业设计说明书 第24页 1 引言行列式是近代线性代数的一个重要分支，在数学的各个领域及其其他学科中都有着广泛的应用，但是行列式却有着悠久的历史。

7、在1545年，卡当给出了两个一次方程组的解法。但是卡当并没有给出行列式的概念。在1683年，在解伏题之法中日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。于1693年，德国数学家莱布尼茨3首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。莱布尼兹这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究,他是行列式的奠基者。范德蒙以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。范德蒙行列式就是由他研究并总结得出的。范德蒙开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一

8、个对行列式进行单独阐述的数学家。他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。此时起，是人们对行列式单独研究的开端。19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。18321833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现

9、了雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。而范德蒙行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。在我们运用范德蒙行列式进行计算或者变换时，有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙行列式，但是有些行列式则需要经过增加一行一列才可以应用范德蒙行列式的相关性质进行计算；有些行列式则需经过加边、拆行方可利用范德蒙行列式；当我们遇到齐式元素的行

10、列式时，我们则可以考虑利用行列式的乘法转化成两个行列式的积，进而在应用范德蒙行列式进行简化计算；当我们遇到二项式元素的行列式时，我们可以利用行列式的乘法后，在应用范德蒙行列式进行计算；当我们遇到以多项式系数和常数项为元素的的行列式时候，我们首先可以借助单位原根以及范德蒙行列式进行运算。从而也就出现了范德蒙行列式的推广形式。由此可见，范德蒙行列式是行列式中及其重要的一种形式。2 行列式21 排列对换的定义作为定义n阶行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质。（参见4,8）定义2.1.1:由1,2，,n组成的一个有序数组称为一个n级排列排列式脚照定义2.1.2:在一个排列中，如果一对数的前后位置与

11、大小顺序相反，即前面数大于后面的数，那么称他们为一个逆序。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记排列的逆序数为。定义2.1.3:逆序数为奇数的排列称为奇排列定义2.1.4:逆序数为偶数的排列称为偶排列定义2.1.5:把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换称为一个对换关于排列的奇偶性，我们有如下事实：定理2.1.1:对换改变排列的奇偶性.推论:在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个定理2.1.2:任何一个n级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与排列有相同的奇偶性22 行列式及性质定义2.2.1：n阶行列式 的值等于所有取自

12、不同行不同列的个元素的乘积 的代数和,这里是的一个排列,每一项都是按下列规则带有符号:当是偶排列时,(2)带有正号,当是奇排列时,（2）带有负号.这一定义可以写成,这里表示对所有级排列求和.下面我们给出行列式的各种性质：性质1. 其中代表那些含的项在提出公因式之后的代数和，即中不再含有第i行的元素，也就是，全与行列式中第i行的元素无关。中划去元素所在的第i行与第j列，剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式称为元素的余子式，记为，其中性质2.一行的公因式可以提出去，或者说以一个数乘以行列式的一行，相当于用这个数乘以此行列式。性质3. 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和

13、。而这两个行列式除了这一行以外，全与原来行列式的对应行一样。性质4.如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同，就是说两行的对应元素都相等。性质5.如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。性质6.如果行列式中一行的倍数加到另一行上，那么行列式不变。性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。性质8.行列式中行列互换，行列式不变。所以上面的性质1-7对于行列式的列同样成立。2.3 行列式计算方法定义法：利用定义2.2.1，进行行列式的计算注意：利用定义法计算行列式的值，通常情况下只使用于含有元素少且低阶的行列式，对于含有元素较多的高阶行列式,一般不予以采用此方法。但是当我们遇到高阶行列

14、式中，含有的零元素又比较多时，此时仍然可以采用定义法求解。因为当我们展开行列式的项中，其中任意一个因数为零时，该项的值为零，从而只需求出非零项，并把它们相加求和即可。利用定义法时候，还需要我们注意每一项的符号。例1.求解：由定义法可知，只需求行列式中，所有非零元素的和，即可求出行列式的值。而行列式第一行的非零元素是，从而，同理依次可得，在可能取到的数值中，可以得到由组成一个含有12345个元素的排列：12344 12343 2 1 12345 .从而可以得到这个排列的逆序数为，为偶数，所以有化三角法 利用行列式的上述8个性质，可以将行列式化为上三角、下三角或者对角三角形，这样比较容易求出行列式

15、的值，我们常用此种方法来计算三阶及三阶以上行列式值，尤其当我们遇到和型行列式时，我们可以采用将主对角线元素化为上三角形或者下三角形来计算行列式的值.而对于和型行列式来说，我们一般可采用将副对角线上的元素化为上三角形或者下三角形来进行行列式的计算例2. 求行列式的值 这里第一步是互换第1、2两行的位置，以下都是把一行的倍数加到另外一行去。.降阶法当我们利用行列式的性质进行计算时，如果遇到行列式中存在某行或者某列0元素较多时，对行列式进行行或者列的展开，容易留下一些非0部分。此时我们对行列式进行了降阶处理。一般情况下只对非特殊阶数不高的行列式用此法进行计算。但是遇到高阶行列式时，可利用分块矩阵的降

16、阶定理对此类行列式进行求值。降阶定理:设是方阵,且A可逆,则 证明: ，所以。例3.计算行列式 解：加边法计算行列式时，我们一般想到的就是对行列式进行降阶处理,但对于有些行列式来说,在保持原行列式值不变的前提下，增加一行一列(增加的一行一列元素一般是由0和1组成),此时可将原来的行列式化为“爪型”行列式,最终再根据行列式性质，化为上（下）三角形行列式，再利用化三角法进行计算.例4. 注：用加边法计算的行列式特点为：每一行或者是每一列，除个别元素外，其他元素均相同，此时可以加一条边，让相同元素都变为零。 递推法 将行列式按照某行或者是某列展开，从而达到行列式降阶的目的,然后对比原来行列式与降阶行

17、列式是否存在共同点和不同点,进而找出递推关系,如果第一次降阶不能看出递推关系，那么,我们可以尝试再次降阶，观察总结出递推关系。利用此种方法计算的行列式，一般经过一两次降阶可呈现出某种规律的形式。例5.计算行列式分析：通过观察行列式的特点，可以发现，行列式的对角线元素均为a,对角线上方元素均为b,下方元素均为c,行列式的其余元素均为零，从而我们不妨尝试按照第一行展开，以便求解递推公式。解：记此行列式为，将按第一列展开，得从而特征方程为，其根为情形1：当，即时，此时设，再由解得 从而 情形2：当，即时，此时设，再由解得 从而 综上：所求行列式为6.用数学归纳法求解（证明）行列式证明和计算行列式的常

18、用方法之一就是数学归纳法，利用此种方法，首先就需要我们找出递推关系，当递推关系仅涉及相邻两阶行列式时，此时可以采用归纳法。但是利用数学归纳法求解或者证明的前提条件是，事先知道结论，或者可以猜测出来最后的结论，继而用数学归纳法证明。因此，利用数学归纳法进行计算或者证明的题，一般都是已经知道计算结果或者是关于特殊行列式的求值问题。计算行列式最通常用的就是以上六种方法，但是还有其他计算行列式的方法，例如拆行或者拆列求解，利用Laplace展开定理计算、行列式乘积法，析因子法进行行列式的计算。做题目时候需要我们灵活选择解题方法，使得题目更加的简单更加容易处理，提高运算效率。3 范德蒙行列式3.1 范德

19、蒙行列式定义 定义3.1.1:形如（3.1.1）称为范德蒙行列式。范德蒙行列式的结构特点：第一行或者第一列所有元素均为1后一行或者是一列与前一行或者一列的比为的指标数从0逐行或者列递增至n-13.2范德蒙行列式的推导 定理3.2.1：n级范德蒙行列式 方法一：我们先介绍第一种方法，利用消元法求出范德蒙行列式的计算结果：从第n行开始，每一行加上其前一行的倍。则由上述行列式的性质我们可以知道，行列式的值保持不变，此时，我们就可以得出： （提出每列的公因子） （3.2.1）注意：（3.2.1）是阶范德蒙行列式，我们已经将用表示出来了，重复上述过程，同理对进行求解，经过有限次的计算，方可得出：证毕。方

20、法二：用数学归纳法证明范德蒙行列式：证明：当时，成立。 假设对于阶成立，对于阶，第一步需要把进行降阶处理，第二步需要从第n行开始，后一行减去前一行的倍，第三步需要按照第一列进行展开，然后再提取他们的公因子，此时有：，而，于是有。从而原命题得证。实际上方法一和方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法，这两种方法是证明范德蒙行列式最普通和最常用的方法，是利用数学归纳法和消元法证明的，也就是建立了行列式的递推公式，由此可以得到。下面我们来介绍利用多项式理论来证明范德蒙行列式的方法。利用多项式的相关理论证明范德蒙行列式过程如下：方法三：我们可以把看成系数与,有关,未知量为的一元多项式，当时，可以

21、得到，因此，,是的根。所以我们可以得到 。又因为当时，所以就有。设，另一方面，如果把按照最后一列进行展开，我们可以得到：是的次多项式，并且项的系数是阶的范德蒙行列式。，与进行比较系数可得，因此有：。同理可得：依次类推，进而我们可以得到： 又因为，所以3.3范德蒙行列式性质由上述行列式的相关性质，可以得出以下范德蒙行列式的相关性质：性质1.将Vandermonde行列式逆时针旋转，可得性质2.将Vandermonde行列式顺时针旋转，可得性质3.将Vandermonde行列式旋转，可得3.4 范德蒙行列式的应用3.4.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用在进行行列式计算时，经常会遇到一些形式特殊的

22、行列式，这个时候就需要我们考虑用特殊的方法来计算此类特殊的行列式，下面我们来说明如何利用范德蒙行列式及其性质来简化计算过程。由（3.1.1）式，每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由递增至，这是范德蒙行列式存在的特殊结构特点，那么我们可以将所给行列式化为范德蒙行列式之后，再利用其结果进行行列式计算。常见的化为范德蒙行列式的方法：所求的行列式的各行或者各列都是某个元素的不同幂次，但是其幂次的排列顺序与范德蒙行列式不全都相同， 需利用行列式的相关性质，如提取公因式、调换各列或各行的顺序、拆行或者拆列等等，把所求行列式化为范德蒙行列式，在利用上述范德蒙行列式的计算结果进行进一步的计算。例3

23、.4.1. 解：由范德蒙行列式的性质3可得：例3.4.2. 分析：所求行列式中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右幂次依次递增，幂次是由递增至，而不是从变化到，从而我们想到利用提取公因式的方法来计算行列式，如果提取各行的公因数，此时方幂次数便从0变到n-1解：提取公因式之后，上式右端的行列式就变成了n阶的范德蒙行列式，因此 例3.4.3. 分析：此题可以用拆行（列）的方法来计算此行列式，也就是第行（列）由两个分行（列）所组成，其中它的任意相邻两行（列）都含有相同分行（列）；并且中含有由个分行（列）组成的范德蒙行列式，这时就可以把的第行（列）乘以加到第行（列），消去一些分行（列

24、），这样就可化为范德蒙行列式了。解：将第一行乘以，加到第二行可得然后把上述行列式的第二行乘以，加到第三行可得：再将新得到的行列式第三行乘以，加到第四行可得： （3.4.1）从而（3.4.1）为4阶范德蒙行列式，则有： 3.4.2 范德蒙行列式在多项式中的应用例3.4.4：如果n次多项式有个不同的根，那么。证明：设是的个不同的根，此时就有： （3.4.2）它可以看成为个未知量，个方程的齐次线性方程组。其系数行列式可以表示为：，从而我们就可以得到（3.4.2）式只有零解。即，也就是说。证毕.例3.4.5：设是n个两两互异的数证明对任意n个数，存在惟一的次数小于n的多项式：，使得，证明：从定义容易看

25、出的次数小于n，且，故只需证明唯一性即可设满足，即这个关于的线性方程组的系数行列式，故是唯一的，必须 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式3.4.3 范德蒙行列式在解线性方程组中的应用设线性方程组： （3.4.3）其中， 。这个方程组的系数行列式可有如下表示： 所以我们可以采用克兰姆法则来进行求解，但是计算过程很麻烦，计算量也很大，因此，我们可以考虑用根与系数的关系来进行求解。设多项式 （3.4.4）有n个根，这n个根为：将代入（3.4.4）式，此时就可以得到方程组（3.4.3）式。这样由多项式的根与系数的关系我们可以得到：3.4.4 范德蒙行列式在连续函数中的应用例3.4.6：设在上连续，在内

26、存在2阶导数，证明在上有，这里特别地，存在，使证 在上构造函数，则在上连续，在内存在2阶导数因，由中值定理存在，使，故再运用一次中值定理，存在，使，即，展开行列式即得特别地，取，则有相应的，使上式成立，即，化简即得4 范德蒙行列式的推广范德蒙行列式和范德蒙行列式的推广形式与函数插值、线性泛函逼近、数字信号等自然科学与工程技术领域中需要解决的问题密切相关，所以，我们有必要对其性质进行讨论，以便我们更好的利用范德蒙行列式及其推广形式的性质和结果来解决相应的问题。4.1 跳行范德蒙行列式跳行范德蒙行列式是范德蒙行列式的一种推广形式。下面我们给出跳行范德蒙行列式的具体定义。定义4.1.1跳行范德蒙行列

27、式为如下形式：，其中. （4.1.1）定理4.1.1：，其中证明：为了计算该行列式，不妨构造多项式如下所示： （4.1.2）此行列式中第 行、第 列元素的代数余子式为：由（4.1.2）式可得：的系数可以表示为，其中，并且有是中个数的一个排列。表示所有阶排列的和。比较的系数可得，其中。特别需要我们注意的，当时，取，即可得到范德蒙行列式。这样就方便我们利用范德蒙的行列式的计算结果进行相应的计算、证明或者应用。4.2 范德蒙行列式的另一种推广形式我们知道，范德蒙行列式可以表示为如下形式： （4.2.1）其中，为互不相等的数。在数学、力学等很多其他学科中，范德蒙行列式都有着重要的应用，在自动控制理论中

28、，我们经常会遇到范德蒙行列式的一种推广形式，为便于叙述，现引进如下记号：记为维列向量，它对的一阶导数定义为：，易见，它是各分量对求一阶导数所组成的m维列向量。同样可定义为对的阶导数，当时，可分别记之为和，显然，当时，是零向量。令，它是一个矩阵，下面考虑阶范德蒙型矩阵：，当 时，是m阶方阵（m可省略不写），通常约定，当式中不出现时，就相当于，此时仍可写为可见，行列式是通常的范德蒙行列式（4.2.1）式的一种推广，即当时，结 论行列式在数学的各个领域及其其他学科中都有着广泛的应用，但是行列式却有着悠久的历史。自1545年，卡当给出了两个一次方程组的解法，到1683年日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念开始，再到1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，人们逐渐对行列式进行更深的研究，第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。而范德蒙行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，范德蒙行列式不仅在行列式理论中有着重要的应用，而且在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中都有广泛的应用。本文先介绍了行列式的性质及其在计算中的应用，进而给出了范德蒙行列式的证明过程、性质、以及在行列式计算的应用，比如在我们运用范德蒙行