2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

1、2020年全国高中数学联赛试题及详细解析、选择题(每小题6分，共36分)1. (2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1, 2, 3,中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是(A) 2046(B) 2047(C) 2048(D) 20492.设a, bCR, abw0,那么直线 ax y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是3.过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P,则线段PF的长等于(A) 136(B)33 34 .若 xe 52 , - 3 , 123(A)15/2(B)(

2、C)(D)8：3则 y=tan( x+g ) tan( x+6 )+cos( x+6 )的最大值是(C)(d)152v36.已知工尸辞在区间(一2, 2)内，且刀一 1,则演咛的最小值i4工yf.、林,、 12,、 12(A> -(B) (C) :(D)011I56-在四而体加中，没出1,丽底 直线愈与。的距离为幺夹角为$则四面 砧3?的体积等于(a>亭 ；(C)； m当Z£UV二.填空题(每小题9分，共54分)7.不等式|x| 32x2 4|x|+3<0的解集是.228 .设F1、F2是椭圆 W 的两个焦点，P是椭圆上一点，且| PF| ： |PE|=2 ： 1,

3、则4 9 4PF桎的面积等于.9 .已知 A=x| x2-4x+3<0, xCR,B=x|21 x+a<0, x2-2(a+7)x+5<0, xC R若A B,则实数a的取值范围是 .35 .一10 .已知 a, b,c,d均为正整数，且 log ab=2,log cdq，右 ac=9,则 b d=.11 .将八个半径都为 1的球分放两层放置在一个.圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 .12 .设 M=（十进制“位纯小数 0. -aia2 - an | a 只取 0或 1（i= 1, 2,，n- 1） , an=1,一

4、 , 一 , 一STn是M中兀素的个数，S是M中所有兀素的和，则nlim）oT=.三、（本题St分20分）13-设证明不等式四、（本露分凿分）14.设4双T分期是薪 名=统,名（其中盘西右都是募）对应的不共线的三点.证明= 螃Z-ZjCqs* 1+2Z cos' TsiiT rtSsin" f（氏 R）与说中平行于和的中位弱只有fa典点，并求出此悬五、（本题满分20分）15 . 一张纸上画有一个半径为 R的圆O和圆内一个定点 A,且OA=a折叠纸片，使圆周 上某一点A刚好与点A重合.这样的每一种折法，都留下一条折痕.当A取遍圆周上所有点 时，求所有折痕所在直线上点的集合.加试

5、题（10 月 12 日上午 10:00 12:00）一、（本题50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为 A B,所作割线交圆于 C D两点, C在P、D之间.在弦 CD上取一点 Q 使/ DAQ= PBC求证：/ DBQ = PAC二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l , mi n.且l>m>n>0.lmn已知13r = 13T = 13，其中x=x x,而x表示不超过x的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、（本题50分）1C由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形， 其中n=q2+q+1,l >q（q+1）2+1, q>2,q

6、CN.已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2条连 线段.证明：图中必存在一个空间四边形 （即由四点 A B、C D和四条连线段 AB BC CD DA组成的图形）.2020年全国高中数学联赛解答第一试、选择题(每小题6分，共36分)1 .删去正整数数列的第2020项是(A) 2046(B)【答案】C2【解析】45 =20251, 2, 3,中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个数列2047(C) 2048(D) 2049462=2116.在1至2025之间有完全平方数 45个，而2026至2115之间没有完全平方数.故 1至 2025 中共有新数列中的 20

7、25 45=1980 项.还缺 2020 1980=23 项.由 2025+23=2048.知 选C.2 ,设 a叱0,那么直盆,)K)和Ax+ar-at的图形是A【答案】H【解析】曲程石程庄4a直练方程为尸皿也 a b由直续图物可知A4中的 金图的95。图的与从心中由惬为椭圆矛盾.由直线图璐，可知反刀中的 的，出，则联为箧点在辄L的双故选也3.过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于两点，弦AB的中垂线与16(A)万(B)口 【答案】Ax轴交于点P,则线段PF的长等于83(C)(D) 83【解析】驰物线的焦点为原点(0,0),弦AB所在直线方程

8、为y=V3x,弦的中点在P 4y=k=-3上，即AB中点为(4与)，中垂线方程为y=申(x 4)+4，令y=0,得点P的坐标为3333.3316 PF 3选A.4.若 xC 一",一可,贝U y=tan( x+2-) tan( x+/)+cos( x+)的最大值是 123366（A）152#161v2（c）1143（d）152V3L答案】c增，从而y单调递增.于是u=百时，y取得最大值 93,故选C.填空题（每小题9分，共54分）7.不等式|x| 32x24|x|+3<0的解集是 .J5-1J5-1【答案】（3, -） U（-2, 3）.【解析】即 |x|3-2|x|2- 4|

9、 x|+3<0 ,（| x| 3）（| x| - ）（| x|+1+1）<0 .| x|<【解析】令 x+6=u,则 x+23=u+2-,当 xe §时，ue 一 6，y=- （cot u+tan u）+cos u=- . + +cosu.在 u C 一:，一力 时，sin2 u 与 cosu 都单调递 sin2 u465-已知4通在瓯r 2讷,且kL则球看与鹤H叫1答案】D1解析】由 H（露 2）1 JjV-1 如n（一露一） U工），当上（一2, 3口白，力时，4）,喇，94>12,做且砥 f制钙 上 24J-J原立）.此时函数的晨小值为:，血几6,在四面

10、年飙出中，设止1,底 直线即与m的距离为2,夹角祎则四面把四面体补成平行六面体.则此平行六面体的体本脑曲的体积等于李【答案】B【解析】如图，ftxVaXsiirxa-s,而四面体 次的体机3乂平行六面体体积 J uU-亨，或与<| x|<3 .解为（一3,一吗二1）U （与1, 3）.8.设区芭是推畴4口的两个塞点，子是椭国上一息 且|呼I ： |芽|W：L WJA 麽具的面槐等于-【答案】4【解析】五（一弱，。）,五（京，O）i出再|小限I庭"际I名=|法|至 庇In由于手吆=1侦尸.故取法是直角三角形立 瓜 /. 54.9.已知 A=x| x2 4x+3<0,

11、xCR,B=x|21 x+a<0, x2-2（a+7）x+5<0, xC R若A B,则实数a的取值范围是 .【答案】4w aw 1.【解析】A=（1 , 3）;又，a<-21 x(-1, -4),当 xC (1 , 3)时，a>x2+5 -7 h/5-7, 4).35 .一10 .已知 a, b,c,d均为正整数，且 log abqjog cd=4，右 ac=9,则 b d=【答案】93【解析】 a3=b： c5=d4,设 a=x： b=x3; c=y： d=y5, x2y4=9. (x+y2)( x y2) =9.x+y2=9, x-y2=1, x=5, y2=4.

12、 bd=5325=125 32=9.3.11 .将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每 个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则 此圆柱的高等于.【答案】2+48【解析】如图，ABCD是下层四个球的球心， EFGH是上层的四个球 心.每个球心与其相切的球的球心距离 =2. EFGH&平面ABCDk的射影 是一个正方形.是把正方形 ABC虚其中心、旋转45而得.设E的射影为 N,则MN=21. EM=3,故 eN=3(心一1)2=2/.EN=y8,所求圆柱的高 =2+78.12 .设 M=(十进制)n 位纯小数 0. aaan | a 只取 0 或

13、1( i= 1, 2, , n- 1) , an=1, s丁是m中兀素的个数，&是m中所有兀素的和，则nimT=18【解析】由于ai, &,，an1中的每一个都可以取 0与1两个数，Tn=2n 1.在每一位(从第一位到第n-1位)小数上，数字0与1各出现2n一2次.第n位则1出现 2n一次.&=2n 2 0.11 1+2n 2 10 n.$ 1 1 1 lim = = n Tn 2 9 18三I C本题满分如分)13 .设:K5,证明不等式3Lr<2 代.t 好析】Z13>0, 153x0-二五WMl由平均不等六：-St.: 2J15ar=Vrn+'

14、jj+i+Jax- 3-15 arf 2/14+j.但2而匚在时单调噌.即2/n匚4入/i石缶同. £故证.四、(本题满分20分)114.设A、B、C分别是复数Z0=ai,Z1=2+bi,Z2=1+ci(其中a,b, c都是实数)对应的不共线的三点.证明：曲线Z=Zcos4t +2Z1Cos2t sin 2t +Z2sin 4t( t C R)与ABCf平彳r于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.【解 析 】 曲 线 方 程 为：Z=acos 4t +(1+2 bi)cos 2t sin 2t +r (1 + ci)sin 4t= (cos 2t sin 2t +sin 4t )

15、+i( acos4t +2bcos2t sin 2t +cs .4 in t)x=cos2t sin 2t +sin 4t= sin 2t (cos 2t +sin 2t) =sin 2t . (0wxw1)y=acos4t +2bcos2t sin 2t +csin 4t=a (1 x) 2+2b(1 x) x+cx2即 y=( a - 2b+c) x2+2( b - a) x+a (0 <x< 1).若a-2b+c=0,则Z。、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a-2b+c 0.于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线.AB中点 Ml ；+2(a+b)i , BC中点 N： 4+2(

16、b+c)i . 113 1与AC平仃的中位线经过 M4，2(a+b)及N(4，2(b+c)两点，其方程为134( ac) x+4y 3a 2b+c=0. qw xw/.令 4( a - 2b+c) x2+8( b-a)x+4a=4( c- a)x+3a+2b-c.即 4(a2b+c)x2+4(2bac)x+a2b+c=0.由 a 2b+c 0,得 4x2+4x+1=0,此方程在1,3内有惟一解：x=1.4 42以 x=2弋入得，y=4(a+2b+c). 111所求公共点坐标为(2, 4( a+2b+c).五、（本题满分20分）is- -OLL画有f 半径为鬣的园）和廓i定点&且 竹外析

17、琏片，隹房 周上某一点/刚好与点/重合.这样的每一种折法,都届下TfflT当，甲蛔周上月 有点时，聿所有折痕所在直堆上点的集合.匕,M?析】对于0上任意一点一,连m 作姐的垂直平分线JK 连04.交期于点P.显然研由于点在O源.故丽将5从 而当点/取追圆周上所有点时,怠了的轨迹是以队A为患点，QA=a 为建距，出於为长轴的幅 £国C外.耳断痕上所有的点都在崛 下上及C外.而加上任一异干尸的点0都有e5ys痴 在幡反之，对于椭圆r上斜卜的一点5以金大圆环 以为半径作圆 交于，则£在"的垂直平分煲上，从而£在某条折杠最后证明所作®，与。势相交.1口

18、当r在日白夕阳，由于/在。?内，故。5与0#超相交：2*当5在。枇（例如在白内.但在幅 C外或其上的应4L取过4的半径破则由点5f在幅。外.故汇十6后W楠圆的长轴）.即£后包千是1?在即 S*与门必有交煮.于是上述证明成立.综上可知，折痛I的点的集合为幅。上及。外的所有点的集合.加试题(10 月 12 日上午 10:00 12:00)一、（本题50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为 A B,所作割线交圆于 C D两点，C在P、D之间.在弦 CD上取一点 Q 使/ DAQ= PBC求证：/ DBQg PAC分析：由 / PBC=CDB 若 / DBQg PACN ADQ

19、贝U BDa DAQ 反之，若 BDQ DAQ 则本题成立.而要证BDQ DAQ只要证 需票口可.D Q【解析】证明：连题同理,AD PDACPjfAABCAABQ._ SC DQ .通 3/.证毕.二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l , mi n.且l>的n>0.lmn已知急=*=1q，其中x=x x,而x表示不超过x的最大整数.求这种三角 形周长的最小值.lmn【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，磊=去=去.即求满足 3l 3m三3n( mod IOJI、m n. 1- 3/(3l n- 1) = 0 (mod 10 4). (ln>0) 但(3

20、n, 104)=1,故必有 31n三 1(mod 10 4);同理 3出n三 1(mod 104).下面先求满足3x= 1(mod 104)的最小正整数x.(10 4)=104 1 4=4000.故 x|4000 .用 4000 的约数试验：、，2 5x=1, 2,时 3x争 1(mod 10),而 34= 1(mod 10) , x 必须是 4 的倍数；x=4, 8, 12, 16 时 3x $ 1(mod 10 2),而 320三 1(mod 10 2),，x 必须是 20 的倍数；x=20, 40, 60, 80 时 3x差 1(mod 10 3),而 3100三 1(mod 10 3)

21、 ,. x 必须是 100 的倍 数；x=100, 200, 300, 400 时 3x$ 1(mod 104),而 35°°三 1(mod 10 4).即，使3x= 1(mod 10 4)成立的最小正整数 x=500,从而l n、m- n都是500的倍数，设 l n=500k, m- n=500h, (k, hCN*, k>h).由 m+n>l ,即 n+500h+n>n+500k,n>500(kh) >500,故 n>501.取n=501, m=iooi, 1= 1501,即为满足题意的最小三个值.所求周长的最小值=3003.三、（本

22、题50分）1O由n个点和这些点之间的1条连线段组成一个仝间图形，其中n=q+q+1,1 >/q（q+1） +1,q>2,qCN.已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2条连 线段.证明：图中必存在一个空间四边形 （即由四点A、B、G D和四条连线段 AR BC CD DA组成的图形）.【解析】证明：设点集为仁此儿，与建连桀的点巢为心且I历|=应一于n-1是14人又显然有Z的彳W庐口1）二+2.若存在一点与其余点都连续，不妨役 后bl-则及卬Ji1个点的隹线数了一品未加（。1）计1tn1）（注意1 4（才1）=3+产g4-1） Ur1）tnl）41=3

23、三GtU岂于 g Cel1）+L （由 02）但若莅区L1个点内，没有点同时与其余两点连线，则这L1个点内至多连线F1r& 故在B中存在:煮与两点A.- & （最jk J图1不相且1WE J9蛇建了线，T是M通、同连成四边形-现设任一点连的线数w n-2.且设bc=q+2<n-2.且设图中没有四边形.于是当 i wj时，B与B没有公共的点对，即|BnB|W1（0wi , j <n- 1）.记B0 = VR,则由|BnR|W1,，I_一得| Bn B0I >bi-1(i =1, 2,无公共点对.从而一 、一一一 r_，_一,n1),且当1w i , j w n

24、1 且 i 刊时，B nB0与Bj 门B0n 1B0中点对个数E （Bn B0中点对个数）.即i = 1Qn-1Cn b- i=C2B n B|n-1 n检1cbi11 n _ 111 n _ 1n_ 1$1(b2-3bi+2)为Kw3检1bi+2( 由平均不等式)= 1-1-(2 1 - be) 2-3(2 1 -bc)+2( n-1) =.1 .(2 1 - be) 2-3(n-1)(2 1 2 n i2( n i)b)+2( n-1)21.2=-(2 1 - b0- n+1)(2 1 -b)-2n+2)(2 1 > q( q+1) +2=(n1)( q+1)+2)2( n 1)1c

25、 八(n-1)( q+1)+2-b0-n+1( n1)( q+1)+2 b。一2n+2 2( n 1)1=-(n- 1)q+2- bo( n1)( q1)+2 bo.(两边同乘以 2(n 1)即2( n 1)（得 比较）n 1)( n- bo)( n- bo- 1) > (nq- q+2- bo)( nq-q- n+3-bo). (n- 1 >q( q+1)代入) q( q+1)( n- bo)( n bo 1) > (nq q+2 bo)( nq-q- n+3- bo).(各取一部分因数但(nq q- n+3 bo) - q(n- bo- 1) = (q- 1) bo- n+3(bo> q+2) >(q- 1)( q+2) n+3 = q2+q+1 n= C).( nq q+2 )一 (q+1)( n bo) = qbo q n+2