2020华师大版九年级数学上册一元二次方程知识点的总结

1、【文库独家】一元二次方程知识点的总结知识结构梳理1 (1)含有个未知数。I (2)未知数的最高次数是1、概念1 (3)是方程。I (4) 一元二次方程的一般形式是 。(1) 法，适用于能化为 x m)2 n n 0的一元。二次方程(2) 法，即把方程变形为 ab=0的形式，元2、解法天方程<(a, b为两个因式),则a=0或(3) 法(4) 法，其中求根公式是 r当时，方程有两个不相等的实数根。I (5) J当时，方程有两个相等的实数根。当 时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题(1)审题(已知.求？)(一元二次方程的应用(2) 设未知数(3)歹“方程、可用于解决实际问题的步骤 (4

2、)解方程(5) 检验(6) 作答知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是 2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于X的方程，哪些是一元二次方程？2三 3 ； x 6x 0 ; (3) G x 5 ; (4) x 0 ; (5) 2x(x 3) 2x 1x 5知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为 ax2 bx c 0 (a, b, c是已知数，a 0)。其中a, b

3、, c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a 0时是一元二次方程。例1将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。一、L 272（1） 5x x；（2） x 2 x 38 ；（3） 3x 4 x 3 x 222 批例2已知关于x的方程 m 1 xm 2 m 1 x 2 0是一元二次方程时，则 m 知识点三一元二次方程的解2使方程左、右两

4、边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时，x 3x 20所以x 2是2x 3x 20方程的解。一兀二次方程的解也叫一兀二次方程的根。知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图（1）,有一个面积为 150 itf的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长 18m）,另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少？鸡场（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）因式分解法、直接开平方法知识点一因式分解法解

5、一元二次方程如果两个因式的积等于 0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为 0; （2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为 0; （2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平 方差公式，完全平方公式）等。例用因式分解法解下列方程：222（1） 5x 4x；（2）（2x3） 25 0；（3） x 6x 95 2x 。知识点二直接开平方法解一元二次方程若

6、x2 a a 0 ,则x叫做a的平方根，表示为xJ7 ,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1 ） x2 a a 0 的解是 xVa- ； （ 2） x m 2 n n 0 的解是 x Vn m ；（ 3）2c nmx n cm 0,且c 0的解是x 。m例用直接开平方法解下列一元二次方程 、一 222 一 .(1) 9x 160 ；(2) x 5160 ；(3) x 5 3x 1知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程2形如ax b k 0 k 0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。22(1) 4 x 5

7、360 ； 1 2x 30pq=0出,即知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式(方程右边为0时)的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。2如：0.01t 2t 0, 将原方程变形为t0.01t20,由此可彳，t 0或 0.0t 2 0,即 t10,t2200注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。知识点五 形如“十字相乘法”的解法。通过整理，可将左边分解因式，方程变形为x a x b 0,则x a 0或x b 0xa, x2b。例解下列方程：(1)

8、 x2 5x 60 ；(2) x2 x 120配方法知识点一配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全 平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配 方法。注意：用配方法解一元二次方程 x2 px q 0 ,当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例用配方法解下列方程：(1) x26 x 50；(2) x27 x 202知识点二用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程的步骤：(1) 在方程的

9、左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；2(2) 把原万程变为 x m n的形式。(3) 若n 0,用直接开平方法求出 x的值，若n<0,原方程无解。例解下列方程：x24 x 30知识点三用配方法解二次项系数不是 1的一元二次方程当一元二次方程的形式为 ax2 bx c 0 a 0,a 1时，用配方法解一元二次方程的步骤：(1)先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；2(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为x m n的形式；(3)若n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例用配方法解下列方程：(1) 3x2 9x

10、 20 ； x2 4x 30公式法,2,b .b 4ac2a知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的求根公式是：x用求根公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式，确定的值a,b.c (注意符号)；(2)求出b24ac的值；(3)若b2 4ac 0,则a,b.把及b2 4ac的值代人求根公式 xb b2 4ac2a求出x1, x2。例用公式法解下列方程(1) 2x2 3x 1 0 ;(2) 2x x V2 10 ；(3) x2 x 25 0知识点二选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边

11、是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解 要求方程右边必须是 0,左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这 两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程：(1) 2 x 3 29 2x 3 2 ； (2) x2 8x 60 ； (3) x 2 (x 1)0知识点三一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0根的判别式4= 4ac运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次

12、方程的根的情况：(1) A = b2 4ac > 0 方程有两个不相等的实数根；2(2) A = b 4ac =0 方程有两个相等的实数根；2(3) A = b2 4ac <0 方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式;确定a,b.c的值；计算b2 4ac的值；根据b2 4ac的符号判定方程根的情况。例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：222(1) 2x 3x 50 ; (2) 9x 30 x 25 ; (3) x 6x 100例 m为何值时，方程22m 1 x 4mx 2m 3 0的根满足下列情况:(1)有两个不相等的实

13、数；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根;知识点五一元二次方程的根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的两个根，则有 x1 %根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：bb一,xx2aa,、22(1) x1x2x12X22x1 x21(2)一x11x2x1x2xx2(3) (x1a)(x2 a) x1x2 a x1 x2 a2；(4)x1 x2 = x1 x2 2 = V x1 x2 2 4x1x2例 已知方程2x2 5x 3 0的两根为x1,x2,不解方程，求下列各式的值。/ /、222(1) XiX2 ;(2)XiX2。一元二次方程的应用知识

14、点一列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a,增长率X为，则一次增长后的值为 a 1 X ,2两次增长后的值为 a 1 x ； （2）若基数为 a,降低率x为，则一次降低后的值为 a 1 x ,两次降低后的值为2a 1 x 。例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为X,列出关于X的方程为练习：某农场绿色食品的产量2000年为30吨，从2000年到2002年一共生产150吨，求这两年的年平均增长率是多少？列方程：知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价一进货价）+进货价X100%； （3）销售额=售价X销售量例某商店如果将进货价为 8元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方 法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10