10—直线单元复习(一)-教师版

1、专业引领共成长教师日期学生课程编号课型预习课课题直线单元复习教学目标1、掌握直线的四种表示方法；2、掌握直线的倾斜角、斜率、方向向量之间的关系及相互转化；3、会利用数学结合的思想解决平面几何问题；4、掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据方程判定两条直线的位置关系；5、会求两条相交直线的夹角和交点，掌握点到直线的距离公式；6、掌握对称问题的基本处理方法，能运用两条直线位置关系理论解决实际问题教学重点1、直线的倾斜角、斜率、方向向量之间的关系及相互转化；2、四种直线方程形式之间的转化；3、两条直线平行与垂直的条件求解及位置关系的判断；4、对称问题的基本处理方法 .教学安排版块时长1例题解析602

2、巩固训练303师生总结304课后练习30热身练习1 .直线ax by c 0(ab 0)的斜率是；倾斜角是.【难度】【答案】 a ；arctanabb22 .直线 l1：(m 1)x 5y 2m 0与 l?Xm 1)x (m 1) y 4 0平行，则 m 的值为.【难度】【答案】m 1或m 23 .已知点A( 2, 2), B(5, 3)和P( 4, 2),若过点P的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率 的取值范围是 ;倾斜角的取值范围是 .【难度】11【答案】 2 k ； 0,arctan - Uarctan 2,9,9,10一4 .已知点M 1,1 ,N 2,2 ,则与M、N两点距离均为的

3、直线有 条.2【难度】【答案】35 .光线x y 3 0射到2x y 2 0后反射，则反射光线所在直线方程为 .【难度】【答案】7x y 3 0直线方程七种形式：一般式(答案的标准)直线单元复习点法式：直线法向量n:任何直线均可写成 Ax By C 0 ( A, B不同日为0)的形式.(a,b),过点(Xo，yo),则直线方程 a(x x°) b(y y°) 0点方向式:方向向量n(a,b),过点(X0,y0),则直线方程 ' Xo) a(y y°)b两点式：已知直线经过P(xi, y)、P2 (X2, y)两点，则直线方程为yyiV2yixxi它不包括垂

4、直于x2xi坐标轴的直线.k(x x0)，它不包括垂直于 x轴y kx b ,它不包括垂直于 x轴点斜式：已知直线过点(xo,y0)斜率为k,则直线方程为y yo 的直线.斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为 的直线.1 ,它不包括垂直于坐标轴截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为x 士a b的直线和过原点的直线.提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式和斜截式不适用于斜率不存在的直线)直线方程ir方向向量dr法向量n斜率kx x y Vo uvu, va x x0b y y00a, byy°k x x°kax by c 0例题

5、解析【例1】(1)已知直线li： x 1 2 y 2 ,直线l2经过点A 1, 2且倾斜角比li的倾斜角大一，直4线l2的方程.(2)已知梯形ABCD, AD/BC,它的三个顶点为 A( 2,3), B( 2,1),C(6,5),求中位线所在直线的方程.(3)三角形的两条高所在的方程2x 3y 1 0,x y 0 ,点A(1,2)是它的一个顶点，求 BC边所在直线方程。(4)已知 ABC中，A(1,3), AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x 2y 1 0和y 1 0 ,求ABC各边所在直线方程.【难度】【答案】(1) 3x y 1 0 ； (2) x 2y 6 0 ; (3) 2x 3y

6、 7 0； (4) AB：x 2y 7 0 , BC ： x 4y 1 0, AC ： x y 2 0 .y轴的正半轴于点A, B ,若ABC的面积S最小，试【例2】过点M (2,1)作直线l ,分别交x轴、 求直线l的方程.【难度】 【答案】见解析【解析】【分析一】设出直线l的点斜式方程，分别求出它在x轴、y轴的正半轴上的截距， 将 ABC 的面积表示为k的函数，通过求该函数的最小值确定出相应k的值.(解法一)设直线l的方程为y 1 k(x 2),2k 1 2k 1令 x 0,得 y 1 2k,故 B(0,1 2k),令 y 0,得 x 2,故 A(2,0), kk，一一2k 1由题意知，1

7、 2k 0, 0,所以k 0,k22 I 2/C I - J 2)ABC 的面积 S 12(1 2k)(2k 1)2 ( 2k ),2 k2k2k11k 0 , 2k (2k)()2,从而 S 4,2k2k111八当且仅当2k即k (k 舍去)时，Smin 4,2k221所以，直线l的万程为y 1 (x 2),即x 2y 4 0.2【分析二】由于 ABC的面积可以表示为在 x轴、y轴上的截距的绝对值的一半，所以可以用直线的截距式设出直线l的方程.(解法二)设直线l的方程为-a-1 (a 0,b 0), b,一八，21r点 M (2,1)在直线 l 上，. 2 1 1 ,即 a a ba 0,b

8、 0, . a 2, ABC 的面积 S2b ab, b ,a 211 a21 (a 2)2 4(a 2) 4-ab 22 a 2 2 a 212(a 2)，1,、4 2(4 4) 4一一.4当且仅当a 2 ，即a 4,b 2 (a 0舍去)时，Smin 4, a 2所以，直线l的方程为二 Y 1 ,即x 2y 4 0. 4 2【例3】P是直线l : y 3x上位于第一象限的点，M (3,2)为一定点，直线PM交x轴正半轴于Q ,求 POQ面积最小时，此时直线 PQ方程。【难度】【答案】6x 5y 28 0【例4】如图，一列载着危重病人的火车从。地出发，沿射线 OA的方向行驶，其中sin 亚1

9、0在距离。地5a (a为正常数)千米、北偏东 角的N处住有一位医学专家，其中 sin 35现120指挥中心紧急调离 O地正东p千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往乘有 危重病人的火车，并在 C处相遇。经测算，当两车行驶的路线与OB所围成的 OBC面积S最小时，抢救最及时.(1)在以。为原点，正北方向为 y轴的平面直角坐标系中，求射线 OA所在的直线方程；(2)求S关于p的函数关系式S f(p);(3)当p为何值时，抢救最及时？【难度】【答案】见解析【解析】(1)由sin工得tan 10(2)设 N(x0,y0),则 x0 5asin1 L ，、土所以直线OA的方程为y 3x.33

10、a, y0 5acos 4a ,所以 N(3a,4a).4a又B(p,0),所以直线BC的方程为y (x p).3a py 3x由 4a得C的纵坐标ycJ2ap-(p -a).y (x p)3p 5a 33a p所以 OBC 的面积 S 1|OBgyc 36ap$ (p 5a).一 1,一 一，一一， ,10(3)取s的倒数，构成一个关于的一元二次函数，当函数值最大时，面积最小，此时p 20a.p3【例5】已知两条直线11： mx y 1 0和l2： x my 1 0相交于点P, 11和y轴交于点A,I2和x轴交于点B.当m满足什么条件时，PAB的面积有最大值，并求出最大值【难度】【答案】见解

11、析2.m 1【解析】P到AB的距离为d -=一-，当1 m 1,时, .2(m2 1)1,一一1m 0时，取大值 S(0) 一；当 m 1orm 1 时，S(m) 一221 m 1,时，面积有最大值 -.2、1S(m) 21 m1 ，一 ， 一,减函数，当 21，一，一一 ，2不能达到最大值.所以当1 muuir . uur【例6】过点P(2, 1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于 A、B两点.(1)求OA gOB取得最小值时直线的方程；(2)求|PA| |PB取得最小值时直线的方程.【难度】【答案】见解析【解析】(1)设直线的方程为 -y 1,(a 0,b 0), - 1 1.a ba b

12、ab 2b a 272ab于是 ab 8,OA ? OB| ab 8,即 |OA OB 的最小值为 8.当且仅当a=2b,即a=4, b=2时取得等号.故所求直线的方程为：x+2y-4=0.1(2)显然直线的斜率存在，设其万程为：y-1 = k(x-2)，则A(2 - ,0), B(0,1 2k)k由 2 1 0及1 2k 0得k 0, . |PA |PB =(J 1)(4 4k2)小8 4(k2 42) 4.1当且仅当k2 即k1时取等号， PA PB的最小值为4时直线的方程为 x+y-3=0.k2【巩固练习】1 .下列说法中，正确的一个是(A) 2_y1 k表示过点P x1,y1且斜率为k

13、的直线方程； x X1(B)直线y kx b与y轴交于一点B 0,b ,其中b OB(C)若直线在x轴和y轴上的截距分别为 a,b,则直线方程为 2 y 1 a b(D)方程(X2xj(yyj(V2yi)(xx1)表示过两点Hx1，必，P2X2,y2的一条直线【难度】【答案】D2 .过点A(0,3)、B(1,5)的直线l的点方向式方程 为。【难度】3 .在直线l上的射影是(4,2),则直线l的直线方程是 。【难度】【答案】2x y 10 04 .已知两点A (-2, 0), B (0, 4),则线段AB的垂直平分线方程是 【难度】【答案】x 2y 3 05 .过点P (3,0)作一直线，使它夹

14、在两直线2x y 2 0和x y 3 0之间的线段恰被点 P平分，求此直线的方程.【难度】【答案】8x y 24 06 . ABC的顶点B (3, 4), AB边上的高CE所在直线方程为 2x+3y-16=0 , BC边上的中线 AD所在 直线方程为2x-3y+1=0 ,求AC的长.【难度】【答案】172 27.已知直线l1 : ax 2y 2a 4 0,l2: 2x a y 2a 4 0,其中0 a 2,当l1,l2与两坐标轴围成一个四边形，且该四边形的面积最小时，求l1与l2的方程.【答案】整理后知li,l2过同一定点P (2,2), li与12的方程为X 4y 6 0,8x y 18 0

15、.、倾斜角与斜率【例71直线bx ayab(a 0, b 0)的倾斜角是(A. arctan(b) aa、B. arctan( ) bC.arctanb aaD. arctan b例8已知点 值范围.A(2,3)B( 3, 2),若直线1过点P(1,1),且与线段AB相交，求直线1的斜率k的取U2,4例9已知矩形 ABCD中，A( 4, 4), D(5, 7),中心E在第一象限内，且与 y轴的距离为一个单位,动点P(x, y)沿矩形一边BC运动，求义的取值范围.x【难度】【答案】见解析【解析】y 2或？x 3 x1,当点P与y轴的交点时，-不存在.【例10】如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，

16、再沿y轴正方向平移1个单位后，与原直线重合,那么直线l的斜率是(A. 13【难度】B. 31 C.3D. 3【巩固练习】1.若直线l的倾斜角为1 一arctan -,且过点(1,0),则直线l的万程为2【答案】x 2y 12 .直线4x 3y 8 0的倾斜角的平分线所在直线的方程是 .【难度】 【答案】k tan cos -,x 2y 2 0 21 cos 2 S.3 .已知an是等差数列，d是公差且不为零，它的前 n项和为设集合A=( an,)|nCN,若以 nA中的元素作为点的坐标，这些点都在同一直线上，求这条直线的斜率【难度】-1【答案】k -2三、两直线位置关系【例11】已知直线h(m

17、 2)x (m2 3m)y 4 0和直线l2:2mx 2(m 3)y m 2 0,分别求出使得L与l2重合及平行的m的值.【难度】 【答案】m 3或m 1时，平行；当 m 2时，重合.【例12若三条直线x y 1 0, 2x y 8 0和ax 3y 5 0只有两个不同的交点，则实数a的值为【难度】【答案】-3或6【例13】等腰三角形两腰所在直线方程分别是l1：7x y 9 0,l2： x y 7 0 ,它的底边所在直线经过点A(3, 8),则底边所在直线方程是 .【难度】【答案】两底角夹角相等.3x y 1 0或x 3y 27 0.【例14】过两条直线ljx y 1 0和l2：2x 3y 22

18、 0的交点作直线l ,使得被两平行直线 4.10 l3：x 2y 7 0和L：x 2y 3 0所截得的线段长为，求l的万程.5【难度】【答案】l与l3,l4成45度角.x 3y 17 0or3x y 11 0.【巩固练习】1 .已知O为坐标原点，点 A的坐标为(4,2), P为线段OA的垂直平分线l上一点，若OPA为钝角，求点P的横坐标的取值范围.【难度】【答案】x (1,2) (2,3),注意去除P为OA中点的情况.2 .对任意满足k , k Z的实数 ，直线l1 :xsin y(cos 1) 1 0与直线l2：xsin y(cos 1) 1 0 的夹角是【难度】【答案】90°3

19、. m为何值时，三条直线lex y 4 012： mx y 0,%：2x 3my 4 0不能构成三角形?【答案】三条直线交于一点或者有两条平行,2一 一 一 1m 一或m 1或m 4或m 一36224 .已知二次万程x xy 6y 20x 20 yk 0表示两条直线，求出这两条直线的夹角和交点的坐标，并求k的值.【难度】【答案】见解析【解析】x2 xy 6y2 (x 3y)(x 2y),设 x2 xy 6y2 20x 20y k (x 3y a)(x 2y b)得 a 8,b12, k 96.524、两条直线分别为x 3y 8 0,x 2y 12 0,夹角为一，交点坐标(52, 4). 455

20、四、距离问题【例15】已知实数x, y满足5x 12y 60 0,贝U ,x2 y2的最小值是 .【难度】13【例16】点P a,b在直线x y 1 0上，求q'a2 b2 2a 2b 2的最小值.【难度】【答案】见解析【解析】J(a 1)2 (b 1)2的最小值为点(1,1)到直线x y 1 0的距离，.33/2-23,2而 d 工，(Ya2 b2 2a 2b 2%所.、222【例17】经过点A( 3,0), B(0, 2)分别作两条平行直线11和12,如果11和12之间的距离为3,求这两条直线的方程.【难度】【答案】11 ：x 3 0,12：x 0或 11 :5x 12y 15 0

21、,12 : 5x 12y 24 0.【巩固练习】1 .若点A (2, 0)和点B(8, 8)到直线m的距离都等于5,求直线m的方程.【难度】【答案】4x 3y 17 0,4x 3y 33 0 ,三条.2 .点P0(m n, m)到直线X y 1的距离是().m nA. -m2n2B. m2n2C. .m2n2D. m2n2【难度】【答案】A【解析】先将直线换成一般式:nx my mn 0由点到直线间的距离公式得d 1n （m 叱 m （一m） mn| Jm2 n2 ,答案选a.m2 n23 .已知点P（ 2,3）到直线y ax 1的距离为V2 ,求a的值.【难度】【答案】a 23【解析】先将直

22、线换成一般式：ax y 1 0,在由点到直线距离公式 d | 2a 3 1| 我，解 a2 1得 a 23.4 .已知点 A(1,3),B(3,1),C( 1,0),求 ABC 的面积.【难度】【答案】5【解析】设AB边上的高为h,则S ABC = 1 |AB| h , AB J 3 1 2_1 3 2 2 J2 ,2YAB边上的高h就是点C至ij AB的距离.AB边所在直线方程为x即x y 4 0,点C到x y 4 0的距离为h,133 11 0451 l5h=-22，因此，Sabc=27225.11222五、对称问题1、点关于点对称点（x, y）关于点（a,b）的对称点为（2a x,2b

23、y）;点（x, y）关于x轴、y轴、原点、直线y x、直线yx的对称点分别为（x, y）, （ x, y）,(x, y) , (y, x), ( y, x)；2、点关于直线对称y b点(xo, yo)关于直线y kx b(k1)的对称点为(20 -,kx0 b)；k k点(x0, y0)关于直线l：ax by c 0 (a,b不全为0)的对称点p(x,y)满足:a_ bgyo_y(x xo,yyo)/(a,b)3、直线关于点对称设对称直线上一点坐标，根据点关于点对称性质求出这点关于已知点对称的点，再将坐标代入 已知直线方程即可得到.4、直线关于直线对称平行，平行线距离公式做；相交，求出交点，转

24、化为点关于直线对称.相交，求出交点，利用直线的夹角公式求出斜率题型一点对称问题【例18】(1)求点P(3,4)关于x轴、y轴以及直线y x的对称点.(2)求点A(4,0)关于直线5x 4y 21 0的对称点.【难度】【答案】(1) 3, 4 , 3 4 , 4,3,6, 8 ,【例19】已知点A的坐标为(一4, 4),直线l的方程为3x+ y -2=0,求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l的方程.【难度】【答案】见解析【解析】(1)设点A'的坐标为(x'，y ),因为点A与A关于直线l对称，所以AA',1且AA'的中点在l上

25、，而直线l的斜率是一3,所以kAA =-.3又因为kAA=匕/，所以24 1 .x 4 x 4 3再因为直线l的方程为3x+ y2=0, AA的中点坐标是()一4,-y一4),22所以 3 x4 y一42=0.22由和，解得x = 2, y '=6.所以A点的坐标为(2, 6).(2)关于点A对称的两直线l与l互相平行，于是可设l的方程为3x+ y +c= 0.在直线l上任取一点 M(0, 2),其关于点A对称的点为 M' ( x y ),于是“点在l上，且MM'的中点为点 A,由此得 -一04<y- 4,即：x = 8, y = 6.22于是有M' (

26、8, 6) .因为M点在l上，所以3( 8) +6+ 0 = 0,c = 18.故直线l的方程为3x+ y + 18=0.题型二：轴对称问题【例20(1)如果直线l与直线x y 1 0关于y轴对称，求直线 l的方程.(2)求直线x 7y 6 0关于直线x y 2 0对称的直线方程.【难度】【答案】(1) x y 1 0 ； (2) 7x y 10 0 .题型三：对称问题应用【例21】已知直线l ： x y 0和点A(4,2) , B(0,2)。(1) 点C在l上，求AC BC的最小值，且求C;(2) 点D在l上，求AD BD的最大值，且求D.【难度】【答案】(1) C为 2,0 "A

27、C BC最小值为2屈;(2) D为 2,2 , AD BD最大值为4.【例22】已知定点 A (3, 1),在直线y x和y 0上分别求点M和点N ,使 AMN的周长最短，并求出最短周长.【难度】【答案】见解析0的对称点分别为【解析】如图，设点 A关于直线y x和yB 1,3 , C 3, 1 |AM AN| MN BM| CN |MN又 BM CN MN| |BC周长最小值是：BC 2 5由两点式可得BC方程为：2x y 5 0 .5 5.5而且易求得:M ( 一 , ), N ( ,0),此时，周长取短，周长为 2*,5 -3 32【例23】已知 ABC的点A(3, 1), AB边上的中线

28、所在的直线方程 6x 10y 59 0, B的平分线所在直线方程：x 4y 10 0,求BC边所在直线的方程。【难度】【答案】2x 9y 65 0【巩固练习】1 .求与直线y4x 1关于点M (2,3)中心对称的直线的方程.【难度】【答案】4x y 21 02 .求点P(4,0)关于直线5x 4y 21 0的对称点巳的坐标.【难度】【答案】(6, 8)3 .求直线mi: x y 1 0关于直线 m : 3x 4y 5 0对称的直线 m2的方程.【难度】【答案】31x 17y 35 04 . ABC中，A( 1 1),B(1,2),直线l :2x y 1 0是 ABC的内角平分线，求 ABC的面

29、积。【难度】48【答案】竺5直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系在实际解题中容易出现错误，要数形结合找出倾斜角的范围或者斜率的取值范围；直线的截距相等问题要注意截距为0的特殊情况；直线的对称问题根据 垂直和平分两个条件求出点的坐标，进而解决问题；角平分线方程和直线与线段相交这两个问题可 以用直线的点方向式和直线的斜率变化解决，在后期可以结合其他方法做一比较和总结，让学生理 解其中的等价转化的数学思想.本次课的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方 法.课后练习1.已知直线m过点(2,4),且在两坐标轴上截距相等，求直线 m的方程.【难度】【答案】x y 6 00r 2x y 042 .已知直线m过点P (2,1),倾斜角 满足sin ,求直线m的万程.5【难度】【答案】4x 3y 5 0或4x 3y 11 03