高中数学必修4平面向量知识点总结

1、Xix2yiy22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法高中数学必修4知识点总结平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 i向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法 aB , a；坐标表示法a xi yj (x, y).向量的大小即向量的模(长度)，记作| AB|.即向量的大小，记作I a I .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行.零向量a= 0iia I = 0.由于0的方向是任意的，且规定 0平行于任何向量，故在有关向量平行

2、(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)单位向量：模为1个单位长度的向量.向量a0为单位向量I a0 I = 1平行向量(共线向量) ：方向相同或相反的非零向量 .任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a / b,由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的 “共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的 “平 行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量：长度相等

3、且方向相同的向量,相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b.大小相等，方向相同(x1, y1) (x2,y2)(1) 0 a a 0 a； (2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则.

4、向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：aB bC cD | pQ qR aR，但这时必须“首尾相连”3向量的减法相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 记作 a,零向量的相反向量仍是零向量a的相反向量.关于相反向量有:(i)( a) = a； (ii) a+(a)=( a)+a = 0;a + b =0(111) 若a、b是互为相反向量，则 a= b,b= a ,向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向

5、量，记作入 a ,它的长度与方向规定如下：(1) a a ；(n)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0,方向是任意的.数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数，使得b = a-6平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 1, 2使：a e2e2，其中不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算 .(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件.(3

6、)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例i给出下列命题：若 a = b ,则 a=b ；若A B, C, D是不共线的四点，则是四边形 ABC师平行四边形

7、的充要条件;a = b的充要条件是1=1 b | 且ababbcacAB dCiABiiDcaB/dC7B/dCi7BiiDCi7B dCitabbcbcacacababababababb 0 aB bC Cd B aC bdOA oC OB cO (DB BD) aC 0(AB BC) cD aC CD AD(OB OA) ( OC Co) ab (oCcO) aB 力 tBabcabdabcdcdcdabababoab k 0i k 0ki面向量的坐标表小i平面向量的坐标表本:在直角坐标系中,分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示

8、成a Xi yj,由于a与 III数对(X,y)是一一对应白因此把(X,y)叫做向量a的坐标，记作a=(X,y),其中x叫作,在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(i)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：小廿3Ji $才(i)右 aXi,yi,bX2,y2，则 a bxX2,yy2)17 )3 4/.k /(A 4a JraXi, yi , B X2, V2 ,rnu 贝/1k4aXi, yiX2,y2tabHu 贝X2X1y2Jrb-Jra- Hu 贝Xi X2yi y2解：

9、国为 a (1,2), b (x,1),u，贝U X x2y y20运 算 类 型几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法1 ,平行四边形法则2 .三角形法则a b (x hy y)abba(a b) c a (b c)AB bCaC向 量 的 减 法三角形法则a b (x x2,y 心a b a ( b)ABbAoB oA ab向 量 的 乘 法a是,个向重,满足：0时，a与a同向；0时，a与a异向；=0 时，a = 0 *a ( x, y)(a) ( )a()aaa(a b)aba / b a b向 量 的 数 量 积a?b是一个数a 0或b 0日,a?b=0a 0且b 0时，a?b |

10、a|b|cos a,b=4Ja?b %为 vy2J J_ J_ Ja?(a(a2 a1 a Jb b?a)?b a?( b) (a?b)b) ?c a ?c b ?c1a|2, |a|、x2 y2?b| |a|b|1,求实数x的值知向量(1,2),2u3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示 和性质1 2a b ,且所以u)2(x,1) (2x 1,4), v 2(1,2) (x,1) (2 x,3)又因为u/v 所以 3(2x 1) 4(2 x) 0 ,即 10x 5解得x2例2已知点A(4,0), B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和

11、OB ( O为坐标原点)交点P的坐标.LL(x 4,y)解：设 P(x, y),则 OP (x, y), AP因为P是AC与OB的交点所以即得AC上 vOB, AP/在直线OB上由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得,AC ( 2,6), OB(4,4)得方程组6(x 4) 2y 04x 4y 0解之得故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)、 三.平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为，则a . b= a b cos叫做a与b的数量积(或内积)规定0 a 0,2向量的投影：I b | cos =cr,称为向量b在a方向上的投影，投影的绝对值称为射

12、 |a|影. 3数量积的几彳s意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.4向量的模与平方的关系：a a a21；5乘法公式成立：，a b a b a2 b2 ia,2 ,b,2；6平面向量数量积的运算律:交换律成立：a b ba1对实数的结合律成立:分配律成立:特别注意：(1)结合律不成立:a b（2）消去律不成立aa c不能得到(3)不能得到7两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量（X,y1），b （X2,y2），则=取2丫也8,向量的夹角：已知两个非零向量a与b ,作,贝U / AOB=(00cos =cos1800）叫做向量a与b的夹角.X1X2y1y2222y1. X2y2

13、当且仅当两个非零向量与b同方向时，。=0,当且仅当与b反方向时0 =1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a b.10两个非零向量垂直的充要条件：a -L b a - b =o x1x2 y1y2。+平面向量数量积的性质例1判断下列各命题正确与否：（D 0 a 0； 0 a 0；I（3）若 a 0,a b a C,则 b c ；若a b a c,则b c当且仅当a 0时成立；iII（a b） c a （: c）对任意a,b,c向量都成立；（6）对任意向量a,有a2解：错；对；错；错；错；对例2已知两单位向量a与b的夹角为1200 ,若c 2a b,d 3b a,试求c与d的夹角.解：由题意，a 口 1,且a与b的夹角为1200,b cos120013，b) 4a2c币,同理可得d|加而 c d * 4（3b 目）7a b 3b2 2a217,设为c与d的夹角，制1717、. 9117,91c