(线性代数)矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系

1、矩阵秩的8大性质: 0&R( Xminl tm , n I ; R") = R(A);若 A B，则 R(A) = J?(B);若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A).下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质： max R( A),K(5) I&R( A,B)<R( A) + R(B), 特别地，当B = b为非零列向量时，有R(A)<R(A,b)WR(A) + L K(A + H)WK(A) + R(B). R(AB)(min|R(A),R(B)|.(见下节定理 7)若AiB",二。，则R(A) + R(B)(k.(见下章例13)设43=0,

2、若A为列满秩矩阵，则B = 0.线性方程组的解:定理3 n元线性方程组Ax =b(i)无解的充分必要条件是R(A)<K(A5)；(ii)有惟一解的充分必要条件是K(A) = R(A,b)=打；(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)<*定理4 n元齐次线性方程组阻=0有等零解的充分必要条件是R(A)心05线性方解!Ux辅解的充分由更斜MR(A)=R(AM.定理6短降方程43=8有解的充分必要条件是R(A)= R(A,B)定理7 设 AB=C,则 R(C)Wmin|R(A),R(B)|.欢迎下载6向量组的线性相关性:定理1向量8能由耀组A：仆&线域示的充

3、分的要条件是用降A = (。”方严,)的铁等于随降B =的先,%线性表示的定理2向曷组B；瓦，与，瓦能由向量组A：/,。充分必要条件是矩阵A=(即，的,)的秩等于矩阵(A,B)=(即， , 瓦，曲)的秩，即R(A) = R(A,B)推论向量组A：5,的,国坤与向垃组B；瓦，也等价的充分必要条件是R(A)= R(B)= R(A,B), 其中A和B是向盘组A和B所构成的矩阵.定理3设向懿B通也产,M能由耀组A：小皿,心线性表示.则 R（“,匕,"）R（0i，maJ定理4艇4匹,。，外线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A = (%,&,*)的秩小于螭个数叫向盘嬲性无关的充分必要

4、条件是R(A)二阴.定理5 (1)若向所组A：/,，线性相关，则向量组B：/,%,也线性相关，反喜之港向盘组B线性无关物响量组A也线性无关.机个。维耀组成的向量组，当嬲«小于向隅个ilLt时一定线性相关的别地 + 1个管维向量一定线性相关.(3)设向鱼组A：% ,力，%线性无关,而向量组E：/,吨,匕线性相关,则向盘b必能由向盘组A线性表示,且表示式是惟一的.对比:定理I向量b能由向量组A：/吗，心线性表示的充分必要条件是 矩,A二(口皿，,%)的秧等于蛆阵B = (C,曲的机|定理5线性方程组4xb有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)|定理2内一期5：即,瓦，也能由向量组A：

5、册，即，,%线性表示的 充分必要条件是矩阵A =(a，的株等于矩阵(A 1) = (%,，%,瓦，,M)的秩，即R(A)=R(A,B)推论向量组A ：即t组B：瓦，灰，体等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A,B), 其中A和B是向母组A和B所构成的矩降.定理6策作方程AX = B有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B).定理3设向盘组B出也，也能由向坦组A必必,线性表示则R(瓦也n定理 7 设 AB = C，则 R(C)&min|K(A),K(B)|.趣4向坦组。"。2,4线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A = (y,%)的我小于腼个数恒幅组线性无关的充分必要条件是R(A) 二抑.定理4 n元*次胴t方整瓦西有,