高等数学同济版下册期末考四套试题及答案

1、试卷 (一)高等数学同济版(下册)期末考试一、填空题(每小题 3分,共计24分)1、z=、;loga(x2 y2)(a 0)的定义域为 d二。一 4.222、二重积分ln(x y)dxdy的符号为。|x| |y| 1其值为。3、由曲线y lnx及直线x y e 1, y 1所围图形的面积用二重积分表示为,x (t)一 一 一4、设曲线L的参数方程表示为( x ),则弧长兀素dS 。y (t)1)ds 。5、设曲面上为x2 y2 9介于z 0及z 3间的部分的外侧，则(x2 y26、微分方程dyy tan y的通解为。dxx x7、方程y(4) 4y 0的通解为。18、级数一1一的和为。n 1

2、n(n 1)二、选择题(每小题 2分，共计16分) 1、二元函数z f(x, y)在(x0, y0)处可微的充分条件是()(A) f (x, y)在(x0,y0)处连续;(B) fx(x, y) , fy(x, y)在(x0,y0)的某邻域内存在;(C) zfx(x0,y°) xfy(x0,y0)丫当(x)2(y)20时，是无穷小;(D)limxfx(x0, y°) x fy(x0, y°) y (x)2 ( y)20。2、设ux yf(-)yxf (y),其中xf具有二阶连续导数,2 u xx2y2等于() y(A) x3、设zdV等于()y； (B) x； (

3、C)y； (D)0O222x y z 1,z 0,则三重积分I(A) 4 02d02d1 3.r sin 0cos dr ； (B)02d0d2r sin dr ；2(C) d0一1223 2 d r sin cos oo21 3.dr ； (D) d d r sin cos dr。，oo o4、球面x222, 222y z 4a与枉面x y2ax所围成的立体体积 V=()2a cos04a2 r2dr ；(B) 402 d2a cos0r 4a2 r 2dr ；_ 2a cos99(C) 8 2dr，4ar dr ； (D)2 d00_22a cos0r. 4a2 r2dr。5、设有界闭区域

4、D由分段光滑曲线L所围成,L取正向，函数 P(x, y), Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则 l Pdx Qdy ()-PQ(A)( )dxdy ； (B)dyx,、，PQ、，(C)(一 )dxdy ； (D)dxy6、下列说法中错误的是()(A)方程xy/ Qp、z z()dxdy ；d yxQ p ()dxdy。 d x y2y x2y 0是三阶微分方程;(B) 方程y y x y sin x是一阶微分方程；dx dx(C) 方程(x2 2xy3)dx (y2 3x2y2)dy 。是全微分方程;(D)dy 12y - -方程 x 是伯努利方程。dx 2x7、已知曲线y y(x)经过

5、原点，且在原点处的切线与直线2x y 6 0平行，而y(x)满足微分方程y 2y 5y 0,则曲线的方程为 y () xx ，(A)e sin 2x ；(B)e (sin 2x cos2x)；(C) ex(cos 2x sin2x)；( d) ex sin 2x o8、设 lim nun 0,则 Un () nn 1(A)收敛；(B)发散；(C)不一定；(D)绝对收敛。、求解下列问题(共计 15分)1、（ 7分）设f , g均为连续可微函数。f (x, xy ), v g ( x xy ),2、（ 8 分）设 u（x,t）四、求解下列问题（共计x tx t f (z)dz ,求15 分)。22

6、22、计算I(x2 y2)dV ，其中是由x2 y22z, z 1及z 2所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计算Ixdy ydx22，x y其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程 f(x y)fx-L(y ,且 f (0)存在，求 f(x)。1 f(x)f(y)七、（8分）求级数（v 9）2n1（1）n登且一的收敛区间。12n 1高等数学同济版（下册）期末考试试卷（二）z z1、设 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z,则一 一。 x y2、9 xy xy2 2x3、设I0dx * f (

7、x, y)dy ,交换积分次序后,4、设f(u)为可微函数，且f(0) 0,则limyf(Jx2 y2)dt 0 t x2 y2 t25、设L为取正向的圆周x2y24,则曲线积分1、计算 I dx e y dy。( 7 分) 0 xxx"y(ye 1)dx (2ye x)dy 。 9-6、设 A (x2 yz) i (y2 xz) j (z2 xy) k ,贝U div A 。x2 x7、通解为y aex C2e的微分方程是。8、if f(x) 1, 1,x 0，则它的Fourier展开式中的an二、选择题(每小题2分，共计16 分)。1、设函数f (x, y)2xy2x0,22x

8、y 0，则在点(0，0)处()22x y 0(A)连续且偏导数存在；(B)连续但偏导数不存在；(C)不连续但偏导数存在；(D)不连续且偏导数不存在。2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足2u2y0，则() (A) (B) (C) (D)最大值点和最小值点必定都在最大值点和最小值点必定都在D的内部；D的边界上;最大值点在D的内部,最小值点在D的内部,、一_. . 23、设平面区域 D： (x 2)最小值点在最大值点在(y 1)2D的边界上;D的边界上。21，若 11 (x y) dD(x y)3dD则有()(A) I1 I2； (B) I1 I2； (C) I1 I2 ；

9、 (D)不能比较。4、设 是由曲面z xy, y x,x 1及z 0所围成的空间区域，则2 3 .xy z dxdydz=()1111(A)，； (B)，； (C)，； (D)361362363364x5、设f (x, y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为y(t;( t)，其中(t), (t)在, 上具有一阶连续导数，且2(t)2(t) 0，则曲线积分 if(x,y)ds ()(A) f( (t), )dt； (B) f( (t), (t)v(t)2t)dt;(C) f( (t), (t)V(t)2(t)dt; (D) f( (t), (t)dt。2226、设是取外侧的单位球面 x y

10、 z 1，则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy=()0 x(A)0; (B) 2 ; (C) ; (D)47、下列方程中，设 %，丫2是它的解，可以推知 yi y?也是它的解的方程是()(A) yp(x)y q(x) 0；(B)y p(x)y q(x)y 0；(C) yp(x)yq(x)y f(x); (D) y p(x)y q(x) 0。8、设级数an为一交错级数，则()n 1(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若an0 (n 0),则必收敛。三、求解下列问题(共计15分)221、(8 分)求函数 u ln(x Jy z )在点 A (0,1

11、, 0)沿 A 指向点 B (3, -2, 2) 的方向的方向导数。22、(7分)求函数f (x, y) x y(4 x y)在由直线x y 6, y 0, x 0所围成的闭区域 D上的最大值和最小值。四、求解下列问题(共计15分)1、(7分)计算I dv3，其中是由x 0, y 0,z 0及x y z 1所围成的立体(1 x y z)域。222、.2、(8分)设f(x)为连续函数，定乂 F z f (x y )dv,其中 (x,y,z)|0 z h,x2 y2 t2，求 dF。 dt五、求解下列问题(15分)xx2 一，1、 ( 8分)求 I L(e sin y my)dx (e cosy

12、m)dy ,其中 l 是从 A (a, 0)经 y Vax x 至ij O(0, 0)的弧。2、( 7 分)计算 Ix2dydz y2dzdx z2dxdy,其中 是 x2 y2 z2(0 z a)的外侧。六、(15分)设函数 (x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分L3 (x) 2 (x) xe2xydx(x)dy 与路径无关，求函数 (x)。高等数学同济版(下册)期末考试试卷(三)一、填空题(每小题 3分，共计24分)yz t2u1、设u e dt,则 。xz2、函数f(x,y) xy sin(x 2y)在点(0, 0)处沿l (1,2)的方向导数f(0,0) 一°223、设为曲面

13、z 1 x y ,z 0所围成的立体，如果将三重积分I f(x,y,z)dv化为先对z再对y最后对x三次积分，则i=o12224、设 f(x, y)为连续函数，则 Ilim 2-f (x, y)d ,其中 D : x y t。t 0 t D222225、：(xy )ds ，其中 L:x y a。6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y,z),Q(x, y, z), R(x, y,z)在 上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：，该 关系式称为公式。7、微分方程y 6y 9y x2 6x 9的特解可设为y 。(1)n 1 ,8、

14、若级数(一口发散,则p。n 1 n p、选择题(每小题 2分，共计16分)f (x a,b) f (a x, b)1、设 fx(a, b)存在，则 lim=()x 0x1 一 一(A) fx(a,b)； ( B) 0； (C) 2 fx(a,b)； (D) - fx(a,b)。222、设z xy ,结论正确的是()2x y2 z(C)222z0; (B) zz0；y xx y y x222z 0; (D) z-0。y xx y y xD1，D2, f (x,y)在 D 上连续,3、若f (x, y)为关于x的奇函数，积分域 D关于y轴对称，对称部分记为则 f (x, y)d ()D(A) 0;

15、 ( B) 2 f (x, y)d ； (C) 4 f(x,y)d ； (D)2 f(x, y)dD1D1D24、设：x2y2 z2R2 ,则(x2 y2)dxdydz=()_8_54_58_516_5(A)-R； (B) -R; (C) R； ( D) R o5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L,在点(x, y)处的线密度为(x, y),则曲线弧L的重心的x坐标*为(), “、二11(A) x = 一 x (x, y)ds； ( B) x = 一 x (x,y)dx； M LM L(C) x =1,x (x, y)ds； ( D) x = LML xds淇中M为曲线弧L的质量。6、设为柱

16、面x2 y21和x 0, yQz 1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分22oy zdxdy xzdydz x ydxdz=( )5(A)0;(d (cos x) ； (C) ； (D) o7、方程y 2yf(x)的特解可设为()(A) A,若f(x)1;( B) Aex,若f (x)ex;(C) Ax五、(8分)求圆柱面 x2 y22y被锥面z Jx2 y2和平面z 0割下部分的面积A。 六、(12分)计算I xyzdxdy,其中 为球面x2 y2 z2 1的x 0, y 0部分 的外侧。 七、(10 分)设 fco2 1 sin2x,求 f(x)。 Bx四、(8分)在椭圆x 4y 4上求

17、一点，使其到直线 2x 3y 6 0的距离最短。Cx2Dx E,若 f(x)x22x；(D) x(Asin 5x Bcos5x),若 f (x) sin5x。、1,x 0 r8、设f(x)，则匕的Fourier展开式中的an等于()1 0 x2 4(A) 一1 ( 1)n; (B) 0; (C)工；(D) 一。 nnn三、(12分)设 y f (x,t), t为由方程F(x,y,t) 0确定的x, y的函数，其中f ,F具有一阶连续偏 导数，求dy/。dx八、（10分）将函数f（x） ln（1 x x2 x3）展开成x的哥级数。高等数学同济版（下册）期末考试试卷（四）、填空题：（本题共5小题，

18、每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） r , 一 rTrr一r一一 r .r1、已知向量a、b满足ab0 ,a2,b2,则ab .32、设 z xln（xy）,贝U z2.x y223、曲面x y z 9在点（1,2, 4）处的切平面万程为 .4、设f（x）是周期为2 的周期函数，它在,）上的表达式为f（x） x,则f（x）的傅里叶级数在x 3处收敛于在x处收敛于.5、设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则 L（x y）ds以下各题在答题纸上作答 ，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

19、222 2x 3y z 9 .，八 ,、1、求曲线222 在点M。（1, 1,2）处的切线及法平面方程.z 3x y2- 2_22 2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n n 1 一3、判定级数（1） ln是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1n2xz z4、设z f （xy,-） sin y ,其中f具有二阶连续偏导数，求 一，yx x ydS22225、计算曲面积分 ,其中 球面x y z a被平面z h （0 h a）截出的顶 z部.三、（本题满分9分）22抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.

20、四、(本题满分10分)计算曲线积分 l(exsin y m)dx (ex cosy mx)dy ,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2ax (a 0).五、(本题满分10分)n求哥级数_x_的收敛域及和函数.ni3n n六、(本题满分10分)计算曲面积分 I2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,其中 为曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.七、(本题满分6分)设 f(x)为连续函数，f (0) a, F(t) z f(x2tz . x2 y2与z , t2 x2 y2所围成的闭区域，求高等数学同济版(下册)考试试卷(一)2222一、1、当

21、 0 a 1时，0 x y 1 ；当 a 1 时，x y 1 ；1 e 1 y222、负号；3、d 0dy ey dx; 32 ; 4、弋 (t) (t)dt ；D5、180 ； 6、sin Cx ； x7、y C1cosT2x C2 sin V2x C3e"2x C4e "2x ； 8、1；二、1、D; 2、D; 3、C; 4、B; 5、D; 6、B; 7、A; 8、C;一 “ u . u二、1、f1 yf2 ；xg (x xy)； x2、-u f (x t) f (x x222四、1、 dx e y dy 0 x柱面坐标 222、 Id dr00t);20dy2r3dz

22、1f (xy dxt)0ye2-dr2f (xt);y dy2(14);r3dz 史z )dv ,其中t是由曲面 F(t) lim 3 t 0 t3参考答案322二2J(x, y) (0,0)；(x2 y2)2 x人yxP五、令 P -L_,Q -一r 则一 x y x y y当L所围成的区域DI=0;为于是当L所围成的区域 D中不含O (0, 0)一P p中含O (0, 0)时， y一、 P Q时，在D内连续。所以由 Green公式得: y xQ ,在D内除O (0, 0)外都连续，此时作曲线l x222 x y (01),逆时针方向，并假设*D为L及l所围成区域，则六、由所给条件易得:f(

23、x)f( x)pf (x又 f (x) lim x 0x) f (x)=lim x I1 f(x)f( x)f(x)(0)arctanf(x)f (0) x c 即 f (x)tan f (0)x c又 f (0)k ,k Z f(x)tan( f (0)x)七、令x(1)nn 1t 2n 12n 11即t 1时，亦即1 x 3时所给级数绝对收敛;3或x 1时,原级数发散;1时,级数1(1)n1 收敛;n 12n 13时，级数c 1(1)n 收敛;n 1 2n 1级数的半径为 R=1,收敛区间为1, 3。高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案2 y4、1、1； 2、-1/6； 3、°

24、dy 丫/2 f (x, y)dx2dyy/2、,2、f (x, y)dx ； 4、- f (0)； 35、8 ; 6、2(x y z) ; 7、y y 2y 0 ; 8、0；1、C; 2、B; 3、A; 4、D; 5、C; 6、D; 7、B; 8、C;函数u ln(xyI 22、Z )在点A (1, 0, 1)处可微，且1x y2 z2(1,0,1)1/2；(i,0,i)0 ；AB (2, 2,1)，所以 l2 1、一,一)，故在A点沿l 3 3AB方向导数为:2、由fxfyA cos2xy(4 x x2 (4 xy)2y)cosxy(0a cos1) 0,r ,、一得D内的驻点为Mo(2,

25、1)，且 f(2,1) 4,又 f(0,y)0, f(x,0)6,x 0, y0 时，f(x, y) 2x3 12x2(0 x 6)令(2x3 12x2)0得x10, x24于是相应 y16, y22 且 f(Q6) 0, f (4,2)64.f (x, y)在D上的最大值为f (2,1)4,最小值为f (4,2)64.0 x 1四、1、的联立不等式组为：0 y x 10 z 1 x y11 x0dx 0 dy1 x y0(1dzJ x y z)2、在柱面坐标系中所以 五、1、连接OA,由Green公式得:z a2、作辅助曲面i :222，上侧，则由Gauss公式得:x y a2(x y z)

26、dxdydzy2 z2,0 z aa2dxdya2a4二2dz zdxdy a0222x y z六、由题意得：3(x) 2(x)2xxe(x)(x) 3 (x)(x)2xxe特征方程r2 3r0 ,特征根ri1,对应齐次方程白通解为：y c(ex c2e2x又因为2是特征根。故其特解可设为：y* x(Ax B)e2x代入方程并整理得：A 1, B 1212y即 y x(x 2)e21”故所求函数为：(x) cc2e x(x 2)e2高等数学同济版y2z2_x2z2、1、ye xe ； 2、* 5 ； 3、,3P4、 f (0,0)；5、2 a ; 6、(x2Gauss公式；7、Ax Bx C8

27、、P二、1、C; 2、B; 3、A; 4、C; 5、A;三、由于 dyfx(x,t)dx ft(x,t)dt,由上两式消去dt,即得：dyfx FtdxFt(下册)考试试卷(三)参考答案2221 目1 x1 x y1dx jdy 0 f(x, y,z)dz；Q R一 一)dv o Pdydz Qdzdx Rdxdy, y z0。6、D; 7、B; 8、BFxdx Fydy Ftdt 0ftFx:tFy四、设(x, y)为椭圆x2 4y24上任一点，则该点到直线 2x 3y 6 0的距离为6 2x 3y|-13一 - 一 2(6 2x 3y),2.2(x 4y 4),于是由:8383、3M1(3

28、,5),M2( 5,5),M3(得条件驻点:, ),M 4(, )5555依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin6 2x 3y五、曲线z2 xx22 y2y在yoz面上的2y2投影为zx2y 0(0 y z)于是所割下部分在yoz面上的投影域为:由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。六、将分为上半部分 1 ： z .1 x2 y2和下半部分.13y ，2 : Z工3即为所求。132在面xoy上的投影域都为：Dxy : x2y2 1,x0,y 0,xyzdxdy122.x y dxdy极坐标2d0Dxy2 . sincos,115xyzdxdy2xy( 1)(dxdy)Dxy

29、115_2-152七、因为df (cosx)d(cos x)2 sinx,f (cos x) 12sin x(x)2 x2f(x)2x又 ln(1f (x)ln(1x)(1x2)ln(1 x) ln(1x2)u)1,1高等数学同济版（下册）期末考试试卷（四）八、填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上)r r rrrr rr r1、已知向量a、b满足a b 0 , a 2, b 2,则ab .32、设 z xln(xy),贝U0 .x y223、曲面x y z 9在点(1,2, 4)处的切平面万程为 .4、设f(x)是周期为2 的周期函数，它在,)上的表达式为f

30、(x) x,则f(x)的傅里叶级数在x 3处收敛于在x处收敛于.5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 L(x y)ds以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓 ata : ( ( m n n 名、学号、班级.1、求曲线2 o 222x 3y z2 o 22z 3x y九、解下列各题：(本题共5小题，每小题7分，满分35分)9心上八，十、仙在点M0(1, 1,2)处的切线及法平面方程.2、求由曲面z2x2 2y2及z 6 x2 y2所围成的立体体积.n 1 一3、判定级数(1)nln是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1n2-

31、x . z z4、设z f(xy,) sin y ,其中f具有二阶连续偏导数，求 一, -yx x y5、计算曲面积分dS,其中是球面x2 y2 z2 a2被平面z h (0 h a)截出的顶z部.十、(本题满分9分)抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.H一、(本题满分10分)计算曲线积分 Jexsin y m)dx (ex cosy mx)dy ,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2y2 ax (a 0).(本题满分10分)n X 求哥级数-一的收敛域及和函数.n i3 n(本题满分10分)计算曲面积分

32、 I 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,其中 为曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.十四、(本题满分6分)t是由曲面设 f(x)为连续函数，f (0) a, F(t) z f(x2 y2 z2)dv ,其中 tz J7y2与z tpx2y2所围成的闭区域，求 lim -Fpt) .高等数学同济版(下册)期末考试试卷(四)1、填仝题【每小题4分，共20分】1、 4； 2、 ； 3> 2x 4y z 14; 4、3, 0; 5、 y立.二、试解下列各题【每小题7分，共35分】c dy dz3y z dx dx1、解：方程两边对x求导，得uxuxdy dzy z - dx dx【4】ur 5 7该曲线在1, 1,2处的切向量为T (1-,-)4 82x,从而3x1 -(8,10,7).8故所求的切线方程为7_J。107法平面方程为8 x 12、解:z 2x2 2y2z 6 x2 y2dydx5x dz 7x一，4y dx 4z.【5】.【6】10 y 17 z 20即 8x 10y 7z 1222x y 2,该立体 在xOy面上的投影区域为【7】20(6 3 2)d 62故所求的体积为Vdvdz【7】3、解：由 lim n Unn【3】又 |un| ln(1收敛.1714、解:(fifiyfiifi