2018~2019学年扬州市高三上学期期末考试数学

1、2019届高三模拟考试试卷(九)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 x1 .已知集合 M = 2, 1, 0, N= x (-) >2 ,则 MAN =W.2 .若i是虚数单位，且复数 z满足(1 + i)z=2,则忆|=W.3 .底面半径为1,母线长为3的圆锥的体积是 W.4 .某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名.现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 W.5 .根据如图所示的伪代码，已知输出

2、值 y为3,则输入值x为 W.Read xIf x> 0 Then ysin xElseyx 1End IfPrint y6 .甲、乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1,2, 3,乙的卡片分别标有数字0, 1, 3.两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a,乙抽出卡片的数字记为b,则a与b的积为奇数的概率为 W.7 .若直线11： x2y+ 4=0与12： mx-4y+3 = 0平行，则两平行直线 h,卜间的距离为 W.8 .已知等比数列an的前n项和为Sn,若S3= 7, 4=63,则a=W.9 .已知双曲线 >*=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为

3、x 2y= 0,则该双曲线的离心 率为 W.10 .已知直线 1： y=-x+ 4 与圆 C： (x 2)2+(y1)2=1 相交于 P, Q 两点，则 CPCQ=W.11 .已知正实数x, y满足x+4yxy= 0,若x+ y >m恒成立，则实数 m的取值范围是 W.兀兀蚓叫+向叼 10兀b12 .设a, b是非零实数，且满足 -=tan-21,则£=W.acos7 bsin713 .已知函数f(x) = a+3+4|x+a|有且仅有三个零点， 且这三个零点构成等差数列，则x实数a的值为W.14.若存在正实数x, y, z 满足 3y2+3z2w I0yz,且 ln xIn

4、z = g，则 y的最小值为W.二、 解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.15 .(本小题满分14分)已知函数 f(x)= cos2x+ 25sin xcos x sin2x, xC R.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)求方程f(x)=0在(0,句内的所有解.16 .(本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABCAB1C1中，四边形 AA1B1B为矩形，平面 AABB，平面ABC,点E, F分别是侧面 AA1BB, BB1C1C对角线白交点 求证：(1) EF一面 ABC;(2) BB ± AC.Word文档17 .(本小题满分1

5、4分)为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中AB= 3百米，AD =、/5百米，且 BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角兀形拟修建两条小路 AC, BD(路的宽度忽略不计)，设/ BAD= & ee(2，兀).(1)当cos e= 当时,求小路 AC的长度；(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度.18 .(本小题满分16分)22在平面直角坐标系中，椭圆M：1(a>b>0)的离心率为左、右顶点分别为 A,B,线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点 A, B分别作lPA, SPB, 直线Is

6、 12交于点C.(1)若点C的横坐标为一1,求点P的坐标；(2)设直线1i与椭圆M的另一交点为 Q,且AC=汰Q,求入的取值范围.Word文档19 .(本小题满分16分)已知函数f(x)=(3 x)ex, g(x) = x+ a(aC R).(e是自然对数的底数，e= 2.718)(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y= f(x)g(x)在区间1 , 2上单调递增，求 a的取值范围；一f (x) + g (x) 一一一(3)若函数h(x)=在区间(0, +8 )上既存在极大值又存在极小值，并且xh(x)的极大值小于整数 b,求b的最小值.Word文档20 .(本小题满分16分)Mn + m

7、n记无穷数列an的前n项中最大值为Mn,最小值为mn,令bn = 2 ，数列an的前n 项和为An,数列bn的前n项和为Bn.(1)若数列an是首项为2,公比为2的等比数列，求 B；(2)若数列bn是等差数列，试问数列an是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；(3)若 bn=2n- 100n,求 An.2019届高三模拟考试试卷（九）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21 .（本小题满分10分）已知矩阵A= a 1 ，满足A 1 = 6 ,求矩阵A的特征值.b 23822 .（本小题满分10分）x= 2t,在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.在极坐标

8、系中（与直角坐y = - 2 -t标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与 x轴的非负半轴重合），圆C的方程为 尸442cos（时4）,求直线l被圆C截得的弦长.23 .(本小题满分10分)如图，将边长为 2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面 ABD，平面CBD,已知 AEL平面 ABD.(1)若AE= 陋 求直线DE与直线BC所成角；兀(2)若二面角ABED的大小为3,求AE的长度.24 .(本小题满分10分)已知直线x=- 2上有一动点 Q,过点Q作直线11垂直于y轴，动点P在11上，且满足OPOQ= 0(0为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；11(2

9、)已知定点M(-2, 0), N(2, 0),点A为曲线C上一点，直线 AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D,求 MBD的内切圆半径r的取值 范围.2019届高三模拟考试试卷（九）（扬州）数学参考答案及评分标准1. 2 2.招 3. 2 4. 10 5. -246 . 97 .孩 8. 19.10. 0 11. m<9 12. J3 13.二或-1- 63.32214. e15.解：f（x）= cos2x+ 23sin xcos xsin2x=镉sin 2x+ cos 2x= 2sin（2x+-）.（4 分）兀兀 兀兀兀（1）由一金+ 2k 兀 <

10、2 兀 +-<2+ 2k 兀，ke Z,解得一3+ k 兀 <x<g+ k 兀，ke Z,兀兀函数f（x）的单调增区间为3+卜兀，g+k兀,kC Z.（8分）（2）由 f（x）= 0 得 2sin（2x+，）= 0,解得 2x+= ku ,即 x= - 12+ 当，k Z.5 兀，11 71、- xC （0, Tt,x= 12或 x=2-.（14 分）16.证明：（1） ;三棱柱 ABCA1B1C1,四边形 AA1B1B,四边形 BBOC均为平行四边形. E, F分别是侧面 AA1B1B, BBCiC对角线的交点，E, F分别是AB% CBi的中点，EF/ AC."

11、）EF?平面 ABC, AC?平面 ABC,，EF/平面 ABC（8 分）（2） 四边形 AA1B1B 为矩形， BBXAB. 平面 AAiB-平面 ABC, BB?平面 ABBA,平面 ABBA n平面 ABC= AB, BB，平面 ABC.（12 分） AC?平面 ABC,BB，AC.（14 分）17 .解：（1）在 ABD 中,由 BD =AB2 + AD2-2AB ADcos 0,彳导 BD2= 14 6t/5cos 0.又 cos 0=兴BD=2亚.（2 分）兀），sin 0= 1 1 cos 0=/5、21-BD AB 2 533由一/ c八c=一/得管=/ am，解得 sin/A

12、DB = .sin Z BAD sin/ADB_2_ sin/ADB55 BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，/CDB=2且CD=BD=2V5,7tcos / ADC= cos(/ ADB+ 万)=sin/ ADB= - -.(5 分)在AACD 中，AC2 = AD2 + DC2- 2AD DCcos Z ADC= (5)2+ (25)2- 2x5 X25 x( -3) = 37,解得AC=用.(7分)(2)由得 BD2=146小cos 0,1.12S 四边形 ABCD = SxABD + $ BCD= 2X3X5 xsin 0+ 2xBD3 53 515兀当。一4= 2"时，

13、四边形ABCD的面积最大,即0=叶，此时sin 0=j5, cos 8= 1 j5,= 26, 即 BD= 426.(13 分)BD2= 14 645cos e= 14-= 7 + 2- Xsin 0- 345cos 9= 7 + 2(sin 8 2cos 8) = 7 +2sin( 0昉，此时 sin 6= 金,cos 6=*，且 / (0, 2).(10 分)5答：当cos e=1-时，小路AC的长度为 4百米；草坪 ABCD的面积最大时，小路BD的长度为426百米.（14分）c= 1' . b2 = a2c2=3, a= 2,c 118 .解：由题意得 a 2 解得2a= 4,2

14、2椭圆 M 的方程是 x+y=1 且 A( 2, 0), B(2, 0).(3 分)43y0X。+ 2(解法 1)(1)设 Rx。，yo), kpA=X2,lPA,，直线 AC 的方程为 y=-y7(x+ 2),xo 2同理，直线 BC的方程为y=- -(x- 2).xo+ 2y=- (x+2) ,x= - xo,y。2联立方程一解得 xo- 4x。- 2y=y=- qr(x2),丫 yo4 2X0-4" 3y-44y0y03y。，点 C 的坐标为（一X0, §y0）.（6 分）点C的横坐标为-1,xo= 1. P为椭圆M上第一象限内一点，3 y0=2.点P的坐标为（1,3

15、2).(8 分) X0+2=入(xq+2),(2)设 Q(xq, yQ),.AC= 2AQ,XQ=-1+ 2- 2,43y0= Wq,解得二点 Q 在椭圆 M 上，4( 2)2 + 3(-3-y0)2=1.22X0又 y0 = 3(1-4),236 A 50整理得 7X036(入一1)xo+72 卜 100=0,解得 xo=2 或 Xo=7一.(14 分) P为椭圆M上第一象限内一点,（解法2）（1）设直线AP的斜率为k,0<36 ； 50<2 ,解得 25< «枭16 分）7189P（X0, y0）, P为椭圆M上第一象限内一点，,3 0< k<&qu

16、ot;2".kAP kBP=2y0y0y0X0 + 2 X0 22X0 434,直线BP的斜率为一总y=k (x+ 2)6-8k2x= r-24k +3'联立方程y=3 “(x-2),解得12ky=4k2+3 3.26 8k12kP(4k2+ 33 4k2+3). lPA,1kAC=一口则直线1AC的方程为y= - -(x+ 2). kl2±PBJ,4 kBC=3k,4则直线BC的方程为y= -k（x-2）.31y=-; (x+2), k由4y="k (x2),2 28k 6X24k +3'-16k y=4k273,28k 6- 16kCM, E)

17、.(6 分)点C的横坐标为一1,28k -64k2+3 = 1'30<k<, ,联立方程1y= -k (x+2),227+3=1得(3k2+4)x2+ 16x+ 16 12k2=0,216 12k2 Xq= 3k2+ 4 ,解得 Xq=26k 823k +4.AC= AQ,xc+ 2Xq+ 2,28k 64k2+3 +2 16k2 (3k2 + 4)26k -8-23k +4= 12k (4k +3) + 27= 1 + 12k2+9 .(14 分)0<k<T25 16芯(诟§).(16分)1一 3k=2，点P的坐标为（1, 2）.（8分）(2)设 Q

18、(xq, yQ), C(xc, yc),又直线 AC 的方程为 y=-(x+ 2). k19.解：(1) f(x)= (3-x)ex, f'(X)= (2 x)ex,令 f'(x)=0,解得 x=2,列表:x(一oo,2)2(2, +00 )f(X)十0一f(x)极大值当x=2时，函数f(x)取得极大值f(2)=e；无极小值.(3分)(2)由 y= f(x)g (x) = (3- x)(x+ a)ex,得 y'= ex x2 + (3 a)x+ 3a 2x+ (3 a)= ex x2 + (1 a)x+ 2a+ 3.ex>0,令 m(x)= x2 + (1 a)x

19、+ 2a+ 3,函数y= f(x)g(x)在区间1 , 2上单调递增等价于对任意的xC1, 2,函数m(x)>0恒成立，m (1) > 0,解得 a>3.(8 分)m (2) > 0,f (x) + g (x)(3 x) ex+ x+ aex (- x2 + 3x-3) a(3) h(x) =""， h '(x) =Z2.xxx令 r(x) = ex(-x2 + 3x-3)-a,h(X)在(0, + 00 )上既存在极大值又存在极小值，h(x)=0在(0, +8)上有两个不等实根，即 r(x) = ex( x2+3x3)a= 0 在(0, 十

20、°°)上有两个不等实根 xi, X2(xiv X2).(10 分)r (x) = ex( x2 + 3x 3 2x+ 3)= ex( x2 + x) = x(1 x)ex.当 xC(0, 1)时，r'(x)>0, r(x)单调递增，当 xC (1,十8 )时，r(x)v0, r(x)单调递减,r (0) < 0,33 33 -则 0vxi1,，(1)0 解得一3vave,，r(2)= e2 a< e2+3v 0.r(x)在(0, +8)上连续且 r(0)r(i)0, r(i)r(|)v0,3r(x) = 0在(0, 1)和(1, 2)上各有一个实根

21、，3vave,并且在区间函数h(x)在(0, +8 )上既存在极大值又存在极小值时，有一3(0, 1)上存在极小值f(X1),在区间(1,万)上存在极大值f(X2).(3 x2) ex2 + x2+ a -，h(X2)=, 且 h (X2) =X22ex2 ( x2+ 3x2- 3)2X2一a=0,/、/2、, 2 .a = ex2( x2+ 3x2 3), h(x2) = ex2(2 x2)+1.(13X2(3 X2)ex2+X2+ex2 (X2+3X23)分)令 H(x)= ex(2-x), H'(x)= ex(1 x),当 xC (1, +oo )时,H'(x)v0, H

22、(x)单调递减.X2 (1, |), /. h(x2)v h(1)= e+1 v 4. h(x)的极大值小于整数b, 满足题意的整数b的最小值为4.(16分)20.解：(1) 数列an是首项为2,公比为2的等比数列，an=2n,mn=2, Mn=an= 2 ,2 2n2n则 bn = -=1 + 20 ,Bn= n + - X1 = 2n- 1 + n.(4 分)21 - 2(2)(解法1)若数列bn是等差数列，设其公差为d',Mn+mn Mn 1+ mn 1 Mn Mn 1 mn - mn 1- bn- bn 1 =22=2+2= d '根据Mn, mn的定义，有以下结论：M

23、n >Mn 1, mnWmn1,且两个不等式中至少有一个取等号.(6分)* 若 d >0,则必有 Mn>Mn 1,an=Mn>Mn 1>an 1,即对 n>2, nCN ,都有 anMn+mn Mn 1+ mn 1 Rn + a1 Rn 1 + a1 Rn Rn 1Mn= an, mn=a1, bn bn 1=2-2= -2-2=2= d 1anan 1= 2d ',即an为等差数列； * 当d<0时，则必有 mn< mn 1,所以an= mn< mn 1< an 1,即对n>2, nCN,都有anV an- 1 ,Mn

24、+mn Mn 1+ mln 1 H + Hn 21 + Hn 1 Hn Hn 1Mn=a1，2an，bn-bn 1 = - -2=丁 =d'an an 1 = 2d ,即an为等差数列；Mn+mn Mn-1+mn-1 M n一 M n 1 m n一 mn 1当 d '= 0 时，bn bn 1 =2-2=2+2= 0. Mn- Mn 1 , mn mn-1中必有一个为0, /.根据上式，一个为 0,则另一个亦为 0,即Mn=Mn-1, mn=mn-1, 斜为常数数列，.引为等差数列.综上，数列an也一定是等差数列.(10分)(解法2)若数列bn是等差数列，设通项公式为 bn=p

25、n+q(p, qC R),则bn+1 bn=p.对于数列an： a, a2,，a,增加an+1时,有下列情况：若 an+1>Mn,则 Mn+1=an + 1, mn+1=mn,此时 An+1 = Mn + 1 > Mn > an ,an+1>an对 nCN 恒成立，则 Mn= an, mn+1=mn = a1,Mn +1+ mn +1Mn+mn3n+1 + 313n + 31 3n + 1 Rnbn +1 bn=2 2 -=2- 2-=2= P,即an+1 an = 2p为常数，则数列an是等差数列.(7分) 若 mnWan+1WMn,则 Mn+1=Mn, mn+1 =

26、 mn, . bn1 = bn.数列bn是等差数列且bn=pn + q,. p = 0, bn = q,M n+1= Mn = Mn 1 = " , , = M1 = a = q, mn+1 = mn= mn 1 = " , , = m 1= a1= q, qwan+1wq,即 an = q,即an为常数数列，.数列an是公差为0的等差数列. 右 an+ 1V mn,则 Mn + 1= Mn, m n+ 1 = Ri+ 1 ,此时 Hn+ 1 = m n+ 1 V m n W an , an+1 van 对 nCN 恒成立，则 Mn1 = Mn= a1 , mn = an

27、,Mn +1+ mn +1Mn+mna1 +an+1a1 +an an + 1anbn+1bn=22=2一2-=2=p，即an+1 an = 2p为常数，则数列an是等差数列.(10分)(3)bn+1 bn=2n+1100(n+1) (2n100n)=2n100,当 nv7 时，bn+1- bn<0,即 b1 >b2>- >b6>b7,当 n>7 时，bn+1 - bn >0,即 b7Vb8Vb9以下证明： a1 >a100n2n 4,nW7,* A 2n+2100n2+ 946n6 640 , n>8, n'N.(16 小)>

28、;a6>a7, a7va8a9<e当nv 7时，右 m nW an+ 1WMn,则 Mn+1=Mn, mn+ 1 = mn , - bn+1=bn,不合题息；Mn+mn Mn+1+mn+1若 an1 >Mn,则 Mn+1=an+1, mn+1=mn,则 2<2，得 bnVbn+J 与 bn >bn+1矛盾，不合题意；an+1mnWa,即 a1 >a2>a6>a7；同理可证：a7<a8<a9<，即当 n>7, nCN 时，anVan+1.a1 + an 当 nw7 时)Mn = a1, mn = an) . bn = 2 )

29、an = 2bn a1, a1 = b1 = 98.; bn=2n-100n,an = 2n+1-200n + 98,An = 4-2p 200xn(n： 1)+98n=2n+2- 100n22n 4.(13 分) 1 22 当 n>7 时，21>22>->26>27,且2728<29<一mn=a7= 28 200X7+ 98= 1 046,则 Mn为 a 或 an.若 Mn为 a,则 bn为常数，与题意不符，Mn= an,an+ a7 bn=,2 ，an=2bn-a7=2n+1-200n + 1 046,An = A7 +a8 + a9 + + an

30、 = 29 4 900 14 429 (1 2 7)+1-2200 X(n+8)2n - 7)+ 1 046(n7)= 2n+2100n2+ 946n 6 640,a= 3,b=2. （5 分）2019届高三模拟考试试卷（九）（扬州）数学附加题参考答案及评分标准21 .解：A 1= a11= a+3= 63 b23 b+68入一3 12矩阵A的特征多项式为 f（4=（入一3）（ X- 2）-2=入5入+ 4=0,-2 卜2令f（4=0,解得矩阵A的特征值为1或4.（10分）x= 2t,22 .解：将直线l的参数方程（t为参数）化为方程得x+2y+4=0.（2分）y= - 2 -t圆C的方程为

31、尸4，2cos（4）化为直角坐标系方程，得 p = 4 p（cos 0- sin队|2-4+4|235#即 x2 + y24x+4y= 0, （x2）2+（y+2）2 = 8,其圆心（2, 2）,半径为 242.（5 分）圆心C到直线l的距离为d =直线l被圆C截得的弦长为2（2小）2-（金）2 =耳5.（10分）23 .解：. 正方形 ABCD边长为 2, . ABXAD, CB±CD, AB= AD=CD= BC= 2. 又AEL平面ABD,以点A为原点，AB, AD, AE所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系 作CF, BD,垂足为F,平面ABDL平面 CBD, CF?

32、平面CBD,平面ABDA平面CBD= BD, CF，平面 ABD. CB= CD=2,点 F为 BD 的中点，CF=小.(2 分) AE=尊 E(0, 0, ® B(2, 0, 0), D(0, 2, 0), R1, 1, 0), C(1, 1,昭, DE=(0, -2,的,Bc=(-1, 1,木，. DEBC= 0,DE± BC, .直线DE与直线BC所成角为2.(5分)(2)设 AE的长度为 a(a>0),则 E(0, 0, a). AD,平面 ABE,，平面 ABE的一个法向量为 m=(0, 1, 0).(6分)设平面 BDE的法向量为 巾=供，y1, z> 又BE= ( 2, 0, a), BD=(-2, 2, 0),an 2 BE= - 2X1 + az1 = 0,x1 = - z1,s,BE n21BD,.解得 2 取 Z1 = 2,则 X1 =