2020-2021中考数学圆的综合的综合题试题附答案

1、2020-2021中考数学圆的综合的综合题试题附答案一、圆的综合1 .已知？ABCD的周长为26, /ABC=120, BD为一条对角线， 。内切于aABD, E, F, G 为切点，已知。的半径为 J3.求？ABCD的面积.【答案】20 3【解析】【分析】首先利用三边及。的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出 BD的长即可解答.【详解】设。分别切4ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F;平行四边形ABCD的面积为S;则 S=2Sabd=2 x1 (AB OE+BDOF+ADOG)=V3 ( AB+AD+BD); 平行四边形 ABCD的周长为26

2、,.AB+AD=13, S= 3(13+BD)；连接 OA；由题意得：/ OAE=30 , .AG=AE=3;同理可证 DF=DG BF=B . DF+BF=DG+BE=13 3-3=7,即 BD=7, .S= (13+7) =20 技即平行四边形 ABCD的面积为20 J3.2.如图，在锐角 4ABC中，AC是最短边.以 AC为直径的O O,交BC于D,过O作OE/ BC,交 OD 于 E,连接 AD AE、CE.(1)求证：/ACE=Z DCE;(2)若/B=45, / BAE=15,求/EAO的度数;S CDF 2一(3)若 AC=4, CD 一，求 CF的长.S COE 3【答案】(1

3、)证明见解析，(2) 60。； (3) W!3【解析】【分析】(1)易证 /OEG/OC耳 /OEG/ECR 从而可知 / OCE=/ECD,即 / ACE=/DCE；(2)延长 AE交BC于点G,易证Z AGG=Z B+Z BAG=60,由于 OE/ BC,所以/AEO=/AGC=60 :所以 /EAO=/AEO=60 -(3)易证S空匕工，由于。”土 2,所以包空=1,由圆周角定理可知SVCAE 2SVCOE 3SVCAE 3/AEO/FDO90 ；从而可证明 CDQ4CEA利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】(1) OC=OE,ZOEC=Z OCE1.OE/ BC, ./OEG/E

4、CQ/ OCE=/ECQ 即 / ACE=/DC(2)延长AE交BC于点G. / AGC是 ABG 的外角，Z AGC=ZB+Z BAG=60 :1. OE/ BC,/ AEO=Z AGC=60 :. OA=OE,/ EAO=Z AEO=60 :Svcoe 1(3) :。是 AC中点，C0 -SVCDFSVCOESvcAE2SVCDF1=-SVCAE3 AC是直径，/AEO/FDO90 :ACDFACE/CF .3 ,CA 3 / ACE=ZFCD,【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性 质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运

5、用所学知识.3.如图，在直角坐标系中，已知点A(-8, 0), B(0, 6),点M在线段AB上。(1)如图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线 0B与。M 的位置关系，并说明理由；(2)如图2, OM与x轴，y轴都相切，切点分别为 E, F,试求出点M的坐标；(3)如图3, OM与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为 E, F, G,试求出点M的 坐标(直接写出答案)【答案】(1) OB 与 OM 相切；(2) M ( 2,今)；(3) M ( 2, 2)【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可；

6、(2)求出过点A、B的一次函数关系式是 y= x+6,设M (a, - a),把x=a, y=-a代 4入y=3x+6得出关于a的方程，求出即可.4(3)连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,设 ME=MF=MG=r,根据S；aABC=1AO?ME+1BO?MF + 1AB?MG=1AO?BO求得 r=2,据此可得答案.2222详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,点M是线段AB的中点，所以 MD / AO, MD=4,，/AOB=/ MDB=90 ；，MD，OB,点 D 在。M 上.又.点D在直线OB上，直线OB与。M相切；(2)如图2,连接M

7、E, MF,8kb 0.A (8, 0) , B (0, 6) , 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,，解b 6得：k=3, b=6,即直线AB的函数关系式是y=-x+6.44 OM与x轴、y轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即 ME=MF,设M(a, a) ( 8vav0),把 x=a, y=a 代入 y=- x+6,得：a=- a+6,得：a=-44247.点M的坐标为(-24 24、一,一）77(3)如图 3,连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,OM 与 x 轴，y 轴，线段 AB 都相切，ME，A。MFBO MG LAB,设ME=MF=MG=r,则 S；aabc= 1

8、 AO?ME+1 BO?MF+1 AB?MG=1 AO?BO. 2222. A (-8, 0) , B (0, 6) ,AO=8 BO=6, AB= 7AO后=1。，. 1r?8+1r?6+Nr?10=1 X 6内8解彳导:r=2,即 ME=MF=2, .点 M 的坐标为(2,22222) .21卸量3点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的 解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有 三种位置关系：已知 。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直线l和。O 相切.4.如图，4ABC内接于OO, AB是直径，

9、O O的切线PC交BA的延长线于点P, OF/ BC 交AC于点E,交PC于点F,连结AF.判断AF与。O的位置关系并说明理由；3【答案】（1） AF与。相切 理由见解析；（2）5【解析】试题分析：（1）连接OC,先证/OCF=90,再证明OAF0 4OCF,得出Z OAF=Z OCF=90 即可；OA AE（2）先求出AE、EF,再证明OAEAFE,得出比例式 ，可求出半径，进而AF EF求出直径，由三角函数的定义即可得出结论.试题解析：解：（1） AF与。相切.理由如下：连接 OC.如图所示.PC 是。的切线，OCX PC,ZOCF=90. .OF/ BC,，/B=/AOF, /OCB=/

10、COE / OB=OC, . . / B=/OCB, . / AOF=/COF.在 OAF 和 OCF 中，. OA=OC, /AOF=/COF, OF=OF, . . OAF OCF （SAS ,，/OAF=/ OCF=90 ；，AF 与。相切；(2) .OAFOCR，/OAE=/COEOEAC, AE=1 ac=12OA AEOA 12 ,即 -AF EF15 92， EF=7T52i? 9 1 /OAF=90,AOAEAAFE,AC24 3.OA=20,AB=40, sinB=AB40 5点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与 性质；熟练掌握切线的

11、证法和三角形相似是解题的关键.15 .如图1,延长。的直径AB至点C,使得BC=AB,点P是。上半部分的一个动点2（点P不与A、B重合），连结OP, CP.（1） /C的最大度数为;（2）当。的半径为3时，4OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值； 若没有，请说明理由；（3）如图2,延长PO交。于点D,连结DB,当CP=DB时，求证：CP是。的切线.图1图？【答案】（1） 30。； （2）有最大值为9,理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与。相切时，/OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由4OPC的边OC是定值，得到当 OC边上的高为最大值时，

12、 4OPC的面积最大，当PO OC时，取得最大值，即此时 OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB,根据等腰三角形的性质得到 /A=/C,得到CO=OB+OB=AB推出AP4CPQ根据全等三角形的性质得到 / CPO=/ APB,根据圆周 角定理得到/APB=90,即可得到结论.试题解析：（1）当PC与。相切时，/OCP最大.如图1,所示：. sinZOCP=OP-=-=- , Z OCP=30OC 4 2 / OCP的最大度数为30 ,故答案为：30。；(2)有最大值，理由： OPC的边OC是定值，当OC边上的高为最大值时， OPC的面积最大，而点P在。上半圆

13、上运动，当 POXOC时，取得最大值，即此时 OC边上的高最大,也就是高为半径长，最大值Saopc=1OC?OP=1 X 6X 3=922(3)连结AP, BP,如图2,OA OD在AOAP与OBD 中，AOP BOD ,AOAP AOBD), . AP=DB,OP OB PC=DB,，AP=PC , PA=PC/ A=Z C,.BC=1AB=OB,，CO=OB+OB=AB2AP CP在 AAPB 和 ACPO 中，A C, AAPBACPO, . / CPO=/APB,AB CO. AB 为直径，/ APB=90 ,/ CPO=90 ;PC切。O于点P,即CP是。的切线.6.阅读下列材料：如

14、图1,。1和。O2外切于点C, AB是。Oi和。O2外公切线，A、B为切点, 求证：AC BC证明：过点C作OOi和。O2的内公切线交AB于D,.DA、DC是。Oi的切线 . DA=DCZ DAC=Z DCA.同理 / DCB之 DBC.又 / DAC+Z DCA+Z DCB+Z DBC=180 , / DCA+Z DCB=90 .即 AC BC.根据上述材料，解答下列问题：（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；（2）以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系（如图2）,已知A、B两点的坐标为（-4, 0） , （1,0）,求经过 A、B、

15、C三点的抛物线 y=ax2+bx+c的函数解析式；（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上，并说明理由.1 23【答案】（1）见解析；（2） y x x 2 ； （3）见解析 22【解析】试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180。，可知用了三角形内角和定理；（2）先根据勾股定理求出 C点坐标，再用待定系数法即可求出经过A B、C三点的抛物线的函数解析式；（3）过C作两圆的公切线，交 AB于点D,由切线长定理可求出 D点坐标，根据C,D 两点的坐标可求出过 C,D两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的

16、关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适 合即可.试题解析：（1）DA、DC是e O1的切线，. DA=DC应用的是切线长定理；DAC DCA DCB DBC 180,应用的是三角形内角和定理（2）设 C点坐标为（0,y）,则 AB2 AC2 BC2,即 4 1 24 2 y2 12 y2,即25 17 2y2，解得y=2（舍去）或y=-2.故C点坐标为（0,-2）, 2 22设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y ax2 bx c,a16a 4b c 0则a b c 0 解得bc 2,c3-x 2.2，一, ,，1 2故所求二次函数的解析式为y -

17、x22（3）过C作两圆的公切线 CD交AB于D,则 AD=BD=CD,由 A(-4,0), B(1,0)可知 D(设过CD两点的直线为y=kx+b,贝 U432,3kb 02解得b 2,故此一次函数的解析式为2,过Oi ,。2的直线必过C点且与直线32,故过Q,O2的直线的解析式为 y -x4由（2）中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（-,空）,28QO2 上. 33代入直线解析式得3324225一,故这条抛物线的顶点落在两圆的连心8DS 2.0,O.7.已知。中，弦AB=AC,点P是/ BAC所对弧上一动点，连接 PA, PB. （1）如图，把4ABP绕点A逆时针旋转到 AACQ连接

18、PC,求证：/ACP+/ ACQ=180（2）如图，若/BAC=60,试探究PA PR PC之间的关系.（3）若/BAC=120时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC理由见解析；（3）若/BAC=120时，（2）中的结论不成立，.3 PA=PB+PC【解析】试题分析：（1）如图，连接PC.根据 内接四边形的对角互补的性质 ”即可证得结论；（2）如图，通过作辅助线BC、PECE（连接BC,延长BP至E,使PE=PC连接C日构建等边PCE和全等三角形BE4APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间 的和差关系可以求得 PA

19、=PB+PC（3）如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PR过点A作AG，PC于点G.利用全等三 角形ABPAQP （SAS的对应边相等推知 AB=AQ, PB=PG 将PA PR PC的数量关系 转化到4APC中来求即可.试题解析：（1）如图，连接PC.ACQ是由4ABP绕点A逆时针旋转得到的，/ ABP=Z ACQ由图知，点A、B、P、C四点共圆，/ACP+/ ABP=180 （圆内接四边形的对角互补），丁./ACP+/ ACQ=180。（等量代换）；（2） PA=PB+PC理由如下：如图，连接BC,延长BP至E,使PE=PC连接CE.弦 人8=弦人& /BAC=60, .ABC是等边三角形

20、（有一内角为60的等腰三角形是等边三角形）. A、B、P、C四点共圆，/BAC+/ BPC=180 （圆内接四边形的对角互补）， / BPC+Z EPC=180, Z BAC=Z CPE=60,. PE=PC .,.PCE是等边三角形，CE=PC / E=/ECP4 EPC=60;又./BCE=60 + /BCP, Z ACP=60 +/BCP, . / BCE玄 ACP （等量代换）,CE PC在ABEC和AAPC中，BCE ACP , . BECAPC（SAS , ，BE=PAAC BCPA=BE=PB+PC（3）若/ BAC=120时，（2）中的结论不成立，J3 PA=PB+PC理由如下

21、：如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PB,过点A作AG, PC于点G. / BAC=120 , / BAC+Z BPC=180/ BPC=60 . 弦人8=弦 AC,/ APB=Z APQ=30 :PB PQ在 4ABP 和 4AQP 中，APB APQ ,AABPAAQP （ SA9 ,AP AP .AB=AQ, PB=PQ （全等三角形的对应边相等），AQ=AC （等量代换）.在等腰4AQC中，QG=CG在 RtAPG 中，/ APG=30 ,贝U AP=2AG, PG=V3 AG,PB+PC=PG QG+PG+CG=PG QG+PG+QG=2PG=2. 3 AG, ：3PA=2,3 A

22、G,即 3PA=PB+PC【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等8. （1）问题背景如图，BC是。的直径，点 A在。O上，AB=AC, P为BmC上一动点（不与 B, C重合）,求证：2 PA=PB+PC小明同学观察到图中自点 A出发有三条线段 AB, AP, AC,且AB=AQ这就为旋转作了铺 垫.于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将APAC绕着点A顺时针旋转90。至4QAB （如图）；第二步：证明Q, B, P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.（2）类比迁移如图，。的半

23、径为3,点A, B在。上，A,求OC的最小值.（3）拓展延伸如图，。的半径为3,点A, B在。上，为A,则OC的最小值为.图置【答案】（1）证明见解析；（2） OC最小值是【解析】试题分析：（1）将 PAC绕着点A顺时针旋转 是等腰直角三角形即可解决问题；C为。内一点，AB=AC, AB AC,垂足为4C 为 OO 内一点，AB=- AC, ABXAC,垂足）e）图3 V2 - 3; （3）.290至AQAB （如图），只要证明 4APQ(2)如图中，连接 OA,将4OAC绕点O顺时针旋转90AQAB,连接OB, OQ,在 BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；(3)如图构造相似三角形即可解

24、决问题.作AQXOA,使得AQ=4OA,连接OQ,3BQ, OB.由QABsOAC,推出 BQ=4OC,当 BQ最小时，OC最小；3试题解析：(1)将PAC绕着点A顺时针旋转90。至4QAB (如图)；图 BC是直径，/ BAC=90 , AB=AC,/ ACB玄 ABC=45 ,由旋转可得 / QBA=Z PCA, / ACB=Z APB=45 , PC=QB . /PCA+/ PBA=180 , / QBA+/PBA=180 , . Q, B, P三点共线， / QAB+Z BAP=Z BAP+Z PAC=90 , QP2=AP2+AQ2=2AP2, .QP= 2 AP=QB+BP=PC+

25、PB . 2 AP=PC+PB(2)如图中，连接 OA,将4OAC绕点A顺时针旋转90AQAB,连接OB, OQ,图.ABIAC/. / BAC=90 , 由旋转可得QB=OC, AQ=OA, / QAB=Z OAC,/ QAB+Z BAO=Z BAO+Z OAC=90 ,在 RtOAQ 中，OQ=372，AO=3, .在 OaB 中，BO OQ- OB=3& - 3 ,即OC最小彳t是3J2-3；(3)如图中，作AQOA,使得AQ=WoA,连接OQ, BQ, OB.3图 / QAO=/ BAC=90 , / QAB=/ OAC, QA AB =4 , OA AC 34 QABsOAC,BQ=

26、-OC,3当 BQ最小时，OC最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BOOQ- OB, .-.002,二.BQ的最小值为2, OC的最小值为一X 2=-,423故答案为3.2【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的 关键.9.如图，4ABC内接于。O, /BAC的平分线交。于点D,交BC于点E ( BE EQ ,且 BD= 2M.过点D作DF/ BC,交AB的延长线于点 F.(1)求证：DF为。的切线；(2)若/BAC= 60。，DE=,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2) 9石-2兀.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理

27、得到 ODLBC,根据平行线的性质得到 ODLDF,根据切线的 判定定理证明；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BHLDF于H,证明OBD为等边三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2j3,根据勾股定理求出 PE,证明AB&4AFD,根据相似三角形 的性质求出AE,根据阴影部分的面积 =4BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结OD, AD 平分 / BAC交。于 D,Z BAD=Z CAD,bd = Cd ,ODXBC,1. BC/ DF, ODXDF, .DF为。O的切线；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BHXDFT H, / BAC=60 ； AD 平

28、分 / BAC,/ BAD=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 , .OBD为等边三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=2T3 ,/ BDF=30 ；1. BC/ DF,/ DBP=30 ；在 RtDBP 中，PD=1 BD=73 , PB=V3PD=3,在 RtDEP中， PD=73 , DE=77,PE=.(7)2 (3)2=2,.OPXBC,BP=CP=3 .CE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEC, .,.BDEAACE, .AE: BE=CE DE,即 AE: 5=1 : V7 ,5、. 7AE=757_7=12 571. BE/ DF, .A

29、BEAAFD,BE AE5一 一，即一DFADDF解得DF=12,在 RtBDH 中，BH=- BD=73 ,2，阴影部分的面积= BDF的面积-弓形 BD的面积=4BDF的面积-(扇形 BOD的面积- BOD的面积)=1 12如 60(2场23(2庖=9k2.23604【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等 边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键.10.如图，4ABC中，/ACB= 90, /A=30, AB=6. D是线段AC上一个动点(不与点A重合)，OD与AB相切，切点为E, OD交射线,DC于点F,过F作FG

30、，EF交直线BC于 点G,设OD的半径为r.(1)求证 AE= EF;(2)当。D与直线BC相切时，求r的值；(3)当点G落在。D内部时，直接写出r的取值范围.【答案】见解析，(2)r= 3 ,(3) . 3 r6-5(1)连接 DE,贝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFE 贝U / DEF=Z DFE=30 = /A, 即可求解；(2)如图2所示，连接 DE,当圆与BC相切时，切点为 F, /A=30, AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可.【详解】解：设圆的半径为

31、r；(1)连接 DE,则 / ADE=60 =/ DEF+Z DFE,而 / DEF=Z DFE,贝U / DEF=Z DFE=30 = / A,.AE=ER（2）如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为 F/A=30 ； AB=6,则 BF=3, AD=2r, 由勾股定理得：（3r） 2+9=36, 解得：r=芯；（3） 当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG当点F在线段AC的延长线上时，如图 4所示，连接DE、DG,FC 3.3 3r, GC 3FC 3.3r 9 两种情况下GC符号相反，GC2相同， 由勾股定理得：dg2=cc2+cc2, 点G在圆的内部，故： DG2vr

32、2, 即：（3:3 2r）2 （3、3r 9）2 r2 整理得：5r2 11、3r 18 0解得：.3 r 6旦【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长.11.如图1,等腰直角 ABC中，/ACB=90, AC=BQ过点A, C的圆交 AB于点D,交BC 于点E,连结DE(1)若AD=7, BD=1,分别求 DE, CE的长(2)如图2,连结CD,若CE=3, 4ACD的面积为10,求tan / BCD(3)如图3,在圆上取点 P使得/PCD=Z BCD (点P与点E不重合)，连结 PD,且点D是4CPF的内心请你画出CPR说明画图过程并求 /CDF的

33、度数 设PC=a, PF由 PD=c,若(a-J2c) (b-J2c) =8,求 CPF的内切圆半径长.E102图 3【答案】(1) DE=1, CE=372； (2) tanZ BCD=- ； (3) 135。；2.4【解析】【分析】(1)由A、G E、D四点共圆对角互补为突破口求解；(2)找/ BDF与/ ODA为对顶角，在 0O中，Z COD=2Z CAD,证明OCD为等腰直角三角形，从而得到 Z EDC-+Z ODA=45 ,即可证明/CDF=135;(3)过点D做DH CB于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点 P做e D切线PF交CB的延长线于点F,结合圆周角定理得出 / CPD

34、=Z CAD=45 ,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出 /CPF=90,然后根据角平分线性质得出11DCF CFD PCF PFC 45 ,最后再根据三角形内角和定理即可求 22解；证明/DCF+/ CFD=45,从而证明/CPF是直角，再求证四边形 PKDN是正方形，最后 以4PCF面积不变性建立等量关系，结合已知(a-J2c) (b-J2c) =8,消去字母a, b求出c值，即求出4CPF的内切圆半径长为2c.2【详解】(1)由图可知:设BC=x在RtABC中，AC=BC由勾股定理得: AC2+BC?=AB2,. AB=AD+BD, AD=7, BD=1, .x2+x2=

35、82, 解得：x=4 2 .OO内接四边形，Z ACD=90 ,/ ADE=90 ；/ EDB=90 , / B=45 ；.BDE是等腰直角三形.DE=DB,又DB=1,.DE=1,又 CE=BC-BECE=4A/2 %/2 3x/2 人,1V,在ADCB中过点D作DMBE,设BE=y,则DM=-2y., CE=v3, ，BC=3+y,Sa acBfSAcd+Sdcb,1一一11-4,24.210-3 y y,222解得：y=2或y=-11 （舍去）.EM=1,CM=CE+ME=1+3=4 又 / BCD=Z MCDtan Z BCD=tanZ MOD,在 RtDCM 中，tanZ MCD=-

36、 = l ,CM 41 tan / BCD=.4(3)如下图所示：过点D做DH CB于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点 P做eD切线PF交CB 的延长线于点F. Z CAD=45 ,Z CPD=Z CAD=45 又二点D是CPF的内心， .PD、CU DF都是角平分线，Z FPD=Z CPD =45，/ PCD叱 DCF, Z PFD=Z CFDZ CPF=90Z PCF吆 PFC=90 11DCF CFD - PCF - PFC 45 22Z CDF=180-Z DCF-Z CFD F=90+45 =135 , 即/CDF的度数为135.过点D分别作DKLPC, DM CF, DNLP

37、F于直线PC, CF和PF于点K, M , N三点, 设 PCF内切圆的半径为 m,则DN=m, 点D是4PCF的内心,.DM=DN=DK,又/ DCF-+Z CFD+Z FDC=180 , / FDC=45 , / DCF+Z CFD=45 ,又 DC, DF分别是/ PCF和/ PFC的角平分线，/ PCF=2Z DCF, / PFC=2Z DFC, / PCF吆 PFC=90, / CPF=90.在四边形 PKDN 中，Z PND=Z NPK=Z PKD=90 ,四边形PKDN是矩形，又 KD=ND,四边形PKDN是正方形.又 / MBD=Z BDM=45 ,/ BDM= / KDP,/

38、 KDP=45 . . PC=a, PF=b, PD=c,PN=PK=：1c2.3.2 八.2 NF=b c, CK=a c ,22又,. CK=CM, FM=FN, CF=CM+FM, CF=a b &c，又: S PCF=Sx PDF-S PDC-Sx DCF, 1 h121 h 21 /h一一abacb c(ab222222化简彳导:ab=V2 a b c c2(I ),又若(a-拒 c) ( b- 72 c) =8化简彳导:ab 72c a b 2c2 8 ( n ),将（i ）代入（n ）得：c2=8,解得：c 2拒，或c 2拒（舍去），,22 -二 - m= c 2v2 2,22即

39、 CPF的内切圆半径长为 2.【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求4CPF的内切圆半径长.12.对于平面直角坐标系 xoy中的图形P, Q,给出如下定义：M为图形P上任意一点，N 为图形Q上任意一点，如果 M, N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P,Q间的 非常距离”，记作d (P,Q) .已知点A (4,0) , B (0,4),连接AB.(1) d (点 O, AB) = ;(2)。半

40、径为r,若d (OO, AB) =0,求r的取值范围；(3)点 C( 3, -2),连接 AC, BC, OT 的圆心为 T (t, 0),半径为 2, d (OT, ABC),且0Vd 2,求t的取值范围.【答案】(1) 2J2 .， ( 2)2J2r 4；(3)2屈 2 t 屈 2或 6r8.【解析】【分析】(1)如下图所示，由题意得：过点 。作AB的垂线，则垂线段即为所求;OB=2, OE=2j2 ,即可求解；(3)分。T在 ABC左侧、OT在4ABC右侧两种情况，求解即可.【详解】(1)过点。作ODLAB交AB于点D,根据非常距离”的定义可知,(2)如下图所示，当 d (。0, AB)

41、 =0时，过点。作OELAB,交AB于点E,则:八 AB , 42 42d (点 O, AB) =OD= = 44 =272 ；(2)如图,当 d (OO, AB) =0 时，过点 O 作 OE AB则 OE=2五,OB=OA=4, O O与线段AB的 非常距离”为0,2 五 r 4；(3)当OT在4ABC左侧时，如图，当。T与BC相切时，d=0,BC=3262 =3x5,过点C作CE! y轴，过点T作TF, BC则 TFHA BEC,TF TH be bc ,2 TH即 6=3.5,. HO/ CE,.BHOABEC,.HO=2,此时T（-而-2, 0）;当d=2时，如图，同理可得，此时T

42、( 2 J5 2 );,0d 2,2 捉 2 t 匹 2;当。T在4ABC右侧时，如图，.0d 2,，6r8；综上，2J5 2 t 有 2 或 6r8.【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用.13.如图，在 4ABC中，AB= AC,以AC为直径作。交BC于点D,过点D作F已AB于 点E,交AC的延长线于点F.(1)求证：EF与。相切；(2)若 AE= 6, sin/CFD= 3 ,求 EB的长.5【解析】【分析】1如图，欲证明EF与e O相切，只需证得OD EF.2通过解直角VAEF可以求得AF 10.设e O的半径为r,由已知可得 FODAFA继而得到OFAFOD10 r10r-15小，则易求AB AC 2r 万，所以153EB AB AE 6 .22【详解】(1)如图，连接OD,