2020-2021初中数学二次函数知识点总复习含解析(2)

1、2020-2021初中数学二次函数知识点总复习含解析 一、选择题1 .如图， ABC为等边三角形，点 P从A出发，沿A B C A作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（）【答案】B【解析】 【分析】根据题意可知点 P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选 项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意.【详解】根据题意得，点 P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项 C 与选项D不合题意；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，选项B符合题意，选项 A不合题

2、意.故选B.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.2 . 一列自然数0, 1, 2, 3, , 100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是（）A.原数与对应新数的差不可能等于零B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C.当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解.【详解】12解：设原数为m,则新数为m2 , 100设新数与原数的差为

3、y12m 10012m m , 100易得，当m=0时，y = 0,则A错误1100b1,m 当 2a 9 _ 1210050时，y有最大值.则B错误，D正确.12当 y=21 时， m m = 21100解得m1=30, m2 = 70,则C错误.故答案选：D.【点睛】 本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字 规律转化为数学符号.3.如图是函数y x2 2x 3（0 x 4）的图象，直线l /x轴且过点（0,m）,将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m

4、的取值范围是（）B. m 0C. 0 m 1D. m 1或 m 0【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知【详解】解：如图1所示，当t等于0时，2 y (x 1)2 4,，顶点坐标为（1, 4）,当x 0时，y 3,A（0, 3）,当x 4时，y 5, C（4,5）,当m 0时,D（4, 5）,，此时最大值为0,最小值为 5 ;如图2所示，当m 1时，此时最小值为 4 ,最大值为1.综上所述：0 m 1 ,此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键.4.如图，抛物线y=ax2+bx+c （awQ过点（1,0）和点（0, - 2）

5、,且顶点在第三象限,设P=a- b+c,则P的取值范围是（）D. - 1 < P< 0A. - 4<P<0B. 4VPV 2C. 2VPV 0【分析】【详解】解：,二次函数的图象开口向上，a>0. 对称轴在y轴的左边，<0.b>0.2a 图象与y轴的交点坐标是（0, - 2）,过（1, 0）点，代入得：a+b-2=0. - a=2 _ b, b=2-a.y=ax2+ （2-a） x- 2.把 x=-1 代入得：y=a- （2-a） - 2=2a- 4,b >0,b=2 - a> 0.av 2. - a>0, .0vav2. /. 0&

6、lt;2a<4,- 4< 2a-4< 0,即一4vPv 0.故选A.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.21,5.对于二次函数 y ax 2 2a x a 0 ,下列说法正确的个数是（对于任何满足条件的a,该二次函数的图象都经过点2,1和0,0两点;若该函数图象的对称轴为直线xxO,则必有0x01 ；当x 0时,y随x的增大而增大;若P 4, y1Q 4 m, y2 m0是函数图象上的两点，如果y y2总成立，则1a 一12A. 1个【答案】B【解析】【分析】B. 2个C. 3个D. 4个根据二次函数的图象与性质（对称性、【详解】增

7、减性）逐个判断即可.对于2y ax2时,4a12（2 2a）1 ,则二次函数的图象都经过点2,10时,0,则二次函数的图象都经过点0,0则说法正确此二次函数的对称轴为2a4a 111 14ax01 ,则说法错误由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当 x1x 1时，y随x的增大而减小4a1因1 1 04a 一 1则当0 x 1时，y随x的增大而增大；当 x 4a即说法错误Q m 04 m 4, 1由y y2总成立得，其对称轴 x 1 44a一 1C解得a 一，则说法正确12综上，说法正确的个数是 2个故选：B.11时，y随x的增大而增大；当 4a1,一 1时，y随x的增大而减小 4a本题考查

8、了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质 是解题关键.6.如图是抛物线y=ax2+bx+c （aw。的部分图象，其顶点坐标为（1, n）,且与x轴的一 个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论： 4 a- 2b+c>0;3 a+b>0;b2 =4a （c-n）;一元二次方程 ax2+bx+c= n-1有两个互异实根.其中正确结论的个数是C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】a<0,对称轴x=1,利用顶点坐标，图象与 x轴根据二次函数图象和性质，开口向下，可得 的交点情况，对照选项逐一分析即可.【详解】二抛物线与x轴的一个交点在

9、点（30）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1, 抛物线与X轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间， 1当 x= - 2 时，yv 0,即4a-2b+c< 0,所以 不符合题意；二.抛物线的对称轴为直线x= - - = 1,即b=- 2a,2a3a+b= 3a - 2a= a<0,所以 不符合题意；二抛物线的顶点坐标为（1, n）, 2.4ac b - =n,4ab2= 4ac- 4an=4a （ c- n）,所以 符合题意；抛物线与直线y=n有一个公共点， 抛物线与直线y = n - 1有2个公共点， 一元二次方程ax2+bx+c=n - 1有两个不相等

10、的实数根，所以 符合题意. 故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次 函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.7,将抛物线y=x2-4x+1向左平移至顶点落在 y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y = 3和x轴围成的图形的面积 S （图中阴影部分）是（B. 6C. 7D. 8B, C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接 OC, AB,阴影部分的面积就是平 行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y=x2-4x+1=（x-2）2-3的顶点坐标C（2.-3）,向左平移至顶点落在 y轴上，此时顶点B

11、（0,-3),点A是抛物线与x轴的一个交点，连接 OC, AB, 如图，阴影部分的面积就是 ABCO的面积，S=2X 3=6 故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键.8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论： a+b+c0； a - b+c> 1； abc>0；9 a - 3b+c< 0； c- a>1.其中所有正确结A.B,C.D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出a的符号，再由抛物线与 y轴的交点可得出C的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1、 x 1、x 3时的

12、情况进一步综合判断即可.【详解】由图象可知，a<0, c=1,对称轴：x= 1 ,2ab=2a, 由图可知：当 x=1时，y<0,a+b+cv 0,正确；由图可知：当x=-1时，y> 1,a- b+c>1,正确;abc=2a2>0,正确； 由图可知：当x=-3时，y<0, .9a-3b+cv0,正确； c-a=1-a >1,正确； 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.9.若二次函数y=ax2+bx+c (aQ的图象于x轴的交点坐标分别为(xi, 0) , ( x2, 0),且xivx2,图象

13、上有一点M(xo,yo)在x轴下方，对于以下说法：b2- 4ac>0x= x0是方程ax2+bx+c= y0的解xix0x2a (x。-xi) (x0-x2) v 0其中正确的是 ( )A.B,C.D.【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数图象与 x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出=b2-4ac>0, 正确；由点M (x°, y°)在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可 得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解， 正确；分a> 0和a< 0考虑，当a>0时得出xi vx0x2；当a< 0时得出xovxi或x0

14、>x2, 错误； 将二次函数的解析式由一般式转化 为交点式，再由点M(x°,y°)在x轴下方即可得出y0=a(x0-xi)(x0-x2)v 0, 正确.【详解】;二次函数y=ax2+bx+c (awQ的图象于x轴的交点坐标分别为(xi, 0) , ( x2, 0), 且 xi < x2 , 方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， =b2-4ac> 0, 正确；二,图象上有一点 M (x0, y0), 2a-1 +bx0+c=y0,，x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解， 正确；当a>0时，= M (x0, y0)在x轴下方， -xk x0

15、< x2；当av0时，= M (x0, y0)在x轴下方， -x0< xi 或 x0>x2, 错误；;二次函数y=ax2+bx+c (awQ的图象于x轴的交点坐标分别为(xi, 0) , ( x2, 0), 1- y=ax2+bx+c=a (x-xi) ( x-x?), 图象上有一点 M (刈，y°)在x轴下方，y0=a (xo-xi) (xo-x2)v 0, 正确；故选B.【点睛】本题考查了抛物线与 x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数 的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键.10.已知抛物线y=x2+2x-m -

16、 1与x轴没有交点，则函数 y=9的大致图象是()x由题意可求 m< - 2,即可求解.【详解】,抛物线y = x2+2x- m-1与x轴没有交点，.=4-4 ( - m - 1) <0 . m< - 2函数y = 2i的图象在第二、第四象限，X故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键.，一，一工，11，11.在平面直角坐标系内，已知点 A( - 1, 0),点B (1, 1)都在直线y - x 一上,22若抛物线y=ax2-x+1 (awQ与线段AB有两个不同的交点，则 a的取值范围是()A aR 2B a< -8【答案】C

17、【解析】【分析】C 1或 a 2 D. - 24< 88a的取值范围.分a>0, a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求【详解】,抛物线y=ax2-x+1 (awQ与线段AB有两个不同的交点, 11Ci C，令一x =ax2- x+1,贝U 2ax2 - 3x+1= 022 = 9 8a >09 . a v 8当a<0时,解得：a<- 2.a W 2a 1 1 0当a>0时，a 1 1 1解得：a>l综上所述：1Qv9一或 aw 28故选：C.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的 坐标特征

18、，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.12.如图，已知 A 4, 1 ,线段AB与x轴平行，且 AB 2,抛物线y x2 mx 经过点C 0,3和D 3,0 ,若线段AB以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t (秒).若抛物线与线段 AB有公共点，则t的取值范围是(A. 0 t 10B. 2 t 10C. 2 t 8D. 2 t 10【答案】B【解析】【分析】直接利用待定系数法求出二次函数，得出B点坐标，分别得出当抛物线 l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；【详解】解：(1)把点C (。，3)和D(3, 0)的坐标代入y=-x2+mx+n中，n

19、3得， 232 3m n 0解得 ，抛物线l解析式为y=-x2+2x+3,设点B的坐标为(-2, -1-2t),点A的坐标为(-4, -1-2t),当抛物线l经过点B时，有y=- (-2) 2+2 X (-2) +3=-5,当抛物线l经过点A时，有y=- (-4) 2+2X (-4) +3=-21,当抛物线l与线段AB总有公共点时，有-21W1-2tV5,解得：2WtW10故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关 于t的不等式是解题关键.13.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c (aw夕的图象与x轴交于点A ( - 1, 0),与y轴

20、的 交点B在(0, - 2)和(0, - 1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1.下列结论：abc >0;4a+2b+c >0;1v av 2 ；b >c,其中含所有正确结论的选项是 33A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对称a、b、c之间可以根据对称轴为直线 x=1及图象开口向下可判断出 a、b、c的符号，从而判断 ； 性得到函数图象经过（3, 0）,则得的判断；根据图象经过（-1,0）可得到 之间的关系，从而对 作判断；从图象与 y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1） 判断c的大小得出的正误.【详解】 二.函数开口方向向上，. . a > 0;

21、对称轴在y轴右侧 .ab异号， .抛物线与y轴交点在y轴负半轴, ,.c<0,abc> 0,故正确；二图象与x轴交于点A （-1, 0）,对称轴为直线 x=1, ，图象与x轴的另一个交点为（3, 0）, 当 x=2 时，y<0,.4a+2b+cv0,故错误；二图象与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间， -2 v cv -1b . -12a ' . b=-2a,;函数图象经过（-1,0）, a-b+c=0,-2 v -3av -1 - 1 < a< 2 ;故正确 33二,函数图象经过（-1,0）,/. a-b+c=0, " bc=a, ,

22、.a>0,b-c>0,即 b>c;故正确；故选B.【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.14.已知抛物线y=x2+ （2a+1） x+a2- a,则抛物线的顶点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得.【详解】2a 11抛物线y= x2+（2a+1） x+a2 - a的顶点的横坐标为：x= - = - a -,224 a a 2a 11纵坐标为： y= _ 2a -,，抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y= 2x+,4抛物线的

23、顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.15.在抛物线y= a （x- m-1） 2+c （awq和直线y=-1x的图象上有三点（x，m）、2（x2, m）、 （ x3, m）,则 x1+x2+x3 的结果是（）31A. -m -B, 0C. 1D. 222【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果.【详解】 解：如图，在抛物线 y=a (x-m-1) 2+c (awQ和直线y=-二x的图象上有三点 A2(xi, m)、B(x2, m)、C(X3, m),- y = a

24、(x- m - 1) 2+c (awQ,抛物线的对称轴为直线 x=m+1 ,x9 x.1-3 = m+1,2 -x2+x3= 2m+2, A (xi, m)在直线 y= - xx 上,21 .m=x12 ， x1 = 2m , -x1+x2+x3= - 2m+2m+2 = 2, 故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结 合思想画出函数图形.16,已知二次函数y (x h)2 (h为常数)，当自变量x的值满足2 x 5时，与其对应的 函数值y的最大值为-1,则h的值为()A. 3 或 6B, 1 或 6C, 1 或 3D. 4 或 6【答案

25、】B【解析】分析：分h<2、2Whw和h>5三种情况考虑：当h<2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2Whw时，由此时函数的最大值为 0与题意不符，可得出该情况不存在；当h>5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论.综上即可得出结论.详解：如图,当 hv2 时，有-(2-h) 2=-i, 解得：hi=i, h2=3 (舍去)； 当2Whw时，y=-(x-h) 2的最大值为0,不符合题意；当 h>5 时，有-(5-h) 2=-1,解得：h3=4 (舍去)，h4=6.综上所述：h的值为1或6.故选B.h&

26、lt;2、2Whw和h>5三种情点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 况求出h值是解题的关键.17.下列函数(1) y=x (2) y=2x- 1 (3) y= (4) y=2 - 3x (5) y=x2- 1 中，是一次x函数的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可.【详解】解：(1) y=x是一次函数，符合题意；(2) y=2x- 1是一'次函数，符合题意；1(3) y=-是反比例函数，不符合题意；x(4) y=2 - 3x是一次函数，符合题意；(5) y=x2- 1是二

27、次函数，不符合题意；故是一次函数的有 3个.故选：B.【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键.18.如图1,在 "BC中，/ B= 90°, /C= 30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以 恒定的速度移动，动点 Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点 C,设4BPQ的面积为y (cm2) .运动时间为x ( s) , y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（)图1图2A. 2B. 4C. 2/3D. 4M【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3： J3,根据x= 2, y=6，3,确定P、Q运动的速度，即可求解. 【详解】解：设 AB= a, / C= 30°,则 AC= 2a, BC= J3a,设P、Q同时到达的时间为 T,则点P的速度为3a，点Q的速度为逅，故点P、Q的速度比为3: 33,TT故设点P、Q的速度分别为：3v、J3v,由图2知，当x=2时，y=66,此时点P到达点A的位置，即AB= 2XV=6v,BQ=2x73v= 2 73v,1 1-y= AB><BQ= - 6vX2%T3v= 6,解得：v=1,2 21故点P、Q的速度分别为：3, J