16-动点产生的面积问题-学生版

1、动点产生的面积问题内容分析运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或 者保持不变的几何题，它揭示了 “运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的 内在联系.解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径， 注意在运动过程 中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分 类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及 三角形、特殊的四边形的面积问题.本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题,“割补”的思想构造较简单的图形进行求解.较复杂的题目可以采取例题解析【例1】 如图，已知直线l: y 2x 2与X轴、y轴分别交于点B、C,将直线y=

2、x向上平移1个单位长度得到直线PA,点Q是直线PA与y轴的交点，求四边形PQOB的面积.【难度】【答案】【解析】【例2】 如图，已知直线AB: y x 2与直线OA: y1x交于点A,与直线OB： y 3x 3交于点B两点.求 AOB的面积.【难度】【答案】【解析】(2)如图2,当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求 GFC的面积.(用含代数式表示)图2【例3】 如图，已知直线 y x 3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l经过原点，与线段 AB交于点C,把9OB的面积分为2: 1两部分，求直线l的解析式.【难度】【答案】【解析】【例4】 如图，已知，在矩形ABCD中，AB=10,

3、BC=12,四边形EFGH的三个顶点E、F、 H分另1J在矩形 ABCD边AB、 BC、 DA上，AE=2.(1)如图1,当四边形EFGH为正方形时，求 GFC的面积;【难度】【答案】【解析】【例5】 如图1,正方形ABCD的边长为2,点A(0, 1)和点D在y轴正半轴上，点B、C在第一象限，一次函数 y=kx+2的图像l交AD、CD分别于E、F.(1)若 DEF与 BCF的面积比为1 ： 2,求k的值;(2)联结BE,当BE平分/ FBA时，求k的值.【难度】【答案】【解析】【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点

4、 M,且点M为线段OB的中点.(1)求直线AM的表达式；(2)试在直线AM上找一点P,使得S；aabp=&aob,请求出点P的坐标;(3)若点H为坐标平面内任意一点，是否存在点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点 H的坐标；若不存在，请说明理由.【难度】【答案】【解析】本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出【例7】 如图1,已知直角坐标平面内点 A(2, 0), P是函数y= x (x>0)图像上一点,PQ，AP交y轴正半轴于点 Q.(1)试证明：AP=PQ;(2)设点P的横坐标为a,点Q的纵坐标为b,2(3)当Sa

5、AOQ= S APQ时，求点 P的坐标.3决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大.例题解析【例8】 如图，矩形ABCD中，AB=1 , AD=2, M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A B C M运动，试写出 APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像.【难度】【答案】【解析】【例9】 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB= CD = AD = 5cm, BC= 11cm,点 P 从点D出发沿DA边以每秒1cm的速度移动，点 Q从点B出发沿BC边以每秒2cm的速度移动(当点 P到达点A时，点P与点Q同时停止移动)，假设点

6、P移动的 时间为x (秒)，四边形ABQP的面积为y (cm2).(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2)在移动的过程中，求四边形ABQP的面积与四边形 QCDP的面积相等时x的值；(3)在移动过程中，是否存在 x使得PQ = AB,若存在，求出所有的 x的值；若不存在，请说明理由.【难度】【答案】【解析】【例10】已知：如图1,在线段AE的同侧作正方形 ABCD和正方形BEFG (BEvAB), 连结EG并延长交 DC于点M,作MNLAB,垂足为N, MN交BD于P.设正方形ABCD的边长为1.(1)证明： CMGA NBP;(2)设BE = x,四边形MGBN的面积为y,求y

7、关于x的函数解析式，并写出定义域；BGMP是菱形，求 BE的长.F(3)如果按照题设方法作出的四边形【难度】【答案】【解析】【例11】 已知：在梯形 ABCD中，AD/BC, /B = 90° , AB=BC=4,点E在边AB上，CE=CD.(1)如图1,当/ BCD为锐角时，设 AD = x, CDE的面积为y,求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)当CD=5时，求 CDE的面积.【难度】【答案】【解析】【例12如图1,四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0), (0,1),点D1是线段BC上的动点(与端点 B、C不重合)，过点D作直线y x m交折线2O

8、AB于点E.(1)当点E恰为AB中点时，求m的值；(2)当点E在线段OA上，记ODE的面积为V,求y与m的函数关系式并写出 定义域；(3)当点E在线段OA上时，若矩形 OABC关于直线 DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试判断四边形 O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于m的函数关系式.【难度】【答案】【解析】【例13如图1,在正方形ABCD中，点E在边AB上(点E与点A、B不重合)，过 点E作FG，DE , FG与边BC相交于点F ,与边DA的延长线相交于点 G .(1)当E是AB中点时，求证AG = B

9、F;(2)当E在边AB上移动时，观察 BF、AG、AE之间具有怎样的数量关系 ？并证 明你所得到的结论；(3)联结DF,如果正方形的边长为 2,设AE= x , ADFG的面积为y ,求y与Gx之间的函数解析式，并写出函数的定义域.【难度】【答案】【解析】【例14 如图 1,梯形 ABCD 中，AD/BC, /B=90° , AD=18, BC = 21.点 P 从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点 D匀速运动，点 Q从点C沿CB以每秒 2个单位的速度向点 B匀速运动.点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点 停止运动，设运动的时间为t秒.(1)当AB=10时，设A、B、Q、P

10、四点构成的图形的面积为 S,求S关于t的 函数关系式，并写出定义域；(2)设E、F为AB、CD的中点，求四边形 PEQF是平行四边形时t的值.【难度】【答案】【解析】【例15如图1,在菱形ABCD中，/ B=45,AB=4.左右作平行移动的正方形BF GCEFGH的两个顶点F、G始终在边BC上.当点G到边BC中点时，点E恰好在边AB上.(1)如图1,求正方形EFGH的边长；(2)设点B与点F的距离为x,在正方形EFGH作平行移动的过程中，正方形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为 y,求y与x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)联结FH、HC,当 FHC是等腰三角形时，求【难度】【答案】【

11、解析】【例16如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形.A(0, 4), C(5, 0),点D是y轴正半轴上一点，将四边形 OABC沿着过点D的直线翻折， 使得点。落在线段AB上的点E处.过点E作y轴的平行线与x轴交于点N.折 痕与直线 EN交于点 M,联结 DE、OM.设OD = t, MN = s.(1)试判断四边形 EDOM的形状，并证明；(2)当点D在线段OA上时，求s关于t的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)用含t的代数式表示四边形EDOM与矩形OABC重叠部分的面积.【答案】【例17】已知：如图1,梯形 ABCD中，AD/BC, ZA=90°

12、, / C=45AB = AD = 4. E是直线 AD上一点，联结 BE,过点E作EF，BE交直线CD于点 F.联结BF.(1)若点E是线段AD上一点(与点 A、D不重合)，(如图1所示)求证：BE=EF;设DE = x, ABEF的面积为V,求y关于x的函数解析式， 并写出此函数的定义 域；(2)直线AD上是否存在一点 E,使 BEF是4ABE面积的3倍，若存在，直接 写出DE的长，若不存在，请说明理由.【难度】【答案】【解析】【例18如图，已知正方形 ABCD的边长为3,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边 AB、CD、DA上，AH=1,联结CF.(1)当DG = 1时，求证

13、菱形 EFGH为正方形;(2)设DG=x, AFCG的面积为y,写出y关于x的函数解析式，并指出 x的取值范围；(3)当DG=4押时，求/ GHE的度数.3，【难度】【答案】【解析】x【例19已知：如图，四边形 OABC的四个顶点坐标分别为0(0, 0), A(8, 0),B(4, 4), C(0, 4),直线l: y=x+m保持与四边形 0ABC的边交于点 M、N (M在折线AOC上，N在折线ABC上).设四边形OABC在l右下方部分的面积为 Si,在l左上方部分的面积为记$= S1-S2 (S>0).(1)求/ OAB的大小;(2)当M、N重合时，求l的解析式；(3)当mW0时，线段

14、AB上是否存在点N,使得S=0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；(4)求S与m的函数关系式.【难度】【答案】【解析】随堂检测【例20】在边长为4的正方形ABCD中，点。是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点 P作PFXCD于点F ,作PEXPB交直线CD于点E,设PA= x ,(1)求证：DF=EF;(2)当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系式及自变量 x的取值范围;(3)点P在运动过程中能否使 PEC为等腰三角形？如果能，请直接写出 PA的长；如果不能，请简单说明理由.【难度】【答案】【解析】【习题1】如图，直线y 4x3线y 4x 4与x轴交于点 55【难度】【答案

15、】44 、4与y轴交于点 A,与直线y -x 一交于点B,且直【解析】【习题2】已知直线y x 2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线y kx b(k 0)经过点C (1, 0),且把9OB分成两部分.若 9OB被分成的两 部分面积比为1: 5,求k和b的值.【难度】【答案】【解析】3【习题3】直线y -X 6与坐标轴分别交与点 A、B两点，点P、Q同时从。点出 4发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标;(2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系;0、P、Q为顶点的平行四

16、(3)当s 二时，求出点P的坐标，并直接写出以点 5边形的第四个顶点 M的坐标.【难度】【答案】【解析】【习题4】如图，已知：过点 A (8, 0)、B (0, 8J3)两点的直线与直线 y J3x交于点C,平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 x轴 向右平移，至IJ C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧 作等边 DEF ,设 DEF与 BCO重叠部分的面积为 S (平方单位)，直线l的运动时间为t (秒).(1)写出点C的坐标和t的取值范围;(2)求s与t的函数关系式.【难度】【答案】课后作业【解析】2x m(m n)交于点【作业1】如图，已知

17、直线 PA： y x n(n 0)与直线PB ： yP.(1)用m、n表示出A、B、P点的坐标；(2)若点Q是直线PA与y轴的交点，且四边形点P的坐标，并写出直线 PA与PB的解析式.【难度】【答案】PQOB的面积5 , AB=2,试求【解析】【作业2】如图所示，直线 y kx b的截距为6,该直线分别交x轴、y轴于E、F,点E的坐标为(一4, 0).(1)求直线y kx b的表达式;(2)若点P (x, y)是该直线第二象限上的一个动点，PA，x轴，PB，y轴，垂足分别为点A、B,试求四边形 OAPB的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.【难度】【答案】【解析】【作业3】 如图，已知：直角梯形 ABCD中，AB/CD, / A=90° , AB =6 , AD=4, DC=3 , 点P从点A出发，沿ADCB方向移动，动点 Q从点A出发，在AB边上移动，设 点P移动的路程为x,点Q移动的路程为V,线段P