2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算理

1、第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算理基础知识自主学习基础知识自主学习n知识梳理-i 集合与元素（i）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性_元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或?表示.集合的表示法：列举法、描述法、图示法.（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN（或 N+）ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言付号语言Venn 图子集集合A中所有兀素都在集合B中（即右xAxB）A?B（或B?A（）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至 少有一个元素不在集合A中A B（或B A集合相等集合A,B中的兀素相冋或集合A, B互 为子集A=BG3

2、.集合的基本运算运算自然语言付号语言Venn 图交集由属于集合A且属于集合B的所有兀素组成的集合AnB=x|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合AUB=x|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有兀素组成的集合?UA=x|xU且x?AH【知识拓展】1 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为真子集的个数为 2n- 1.22.A?B?AHB= A?AUB=旦3.AH?UA=?;AU?UA= U;?U(?UA)=A【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1) 任何一个集合都至少有两个子集.(X)2 2 2(2) x|y=x+1=y|y=x+1=(

3、x,y)|y=x+1.(x)若x2,1 = 0,1，则x= 0,1.(x)(4) x|xw1=t|tw1.(V)(5) 对于任意两个集合A, B,关系(AHB)? (AUB)恒成立.(V)若AHB=AHC,贝UB= C.(x)考点自测1 .(教材改编)若集合A=x N|xw10 ,a= 2 .2 则下列结论正确的是()A. a?AB.a?AC.a AD. a?A答案 D解析由题意知A= 0,123，由a=2 2，知a?A2. (2016 江西重点中学联考)已知集合A= x|x2-6x+ 5w0,B= x|y=x- 3，贝UAHB等于()A. 1,3 B . 1,5 C . 3,5 D . 1

4、,+答案 C2解析根据题意，得A=x|x 6x+ 53,所以AHB= x|3wxw5 = 3,5.3 .已知集合A=x|x2-x-2w0，集合B为整数集，则AHB等于()A. - 1,0,1,2B. - 2,- 1,0,1C. 0,1D. - 1,0答案 A解析 因为A=x|x2x-2w0 = x| - 1wxw2，又因为集合B为整数集，所以集合AHB= - 1,0,1,2，故选 A.4. (2016 天津)已知集合A=1,2,3,4,B=y|y= 3x- 2,xA，则AHB等于()A. 1B. 43c. 1,3D. 1,4答案 D解析因为集合B中，xA,所以当x= 1 时，y= 3-2 =

5、1;当x= 2 时，y= 3X2- 2= 4;当x= 3 时，y= 3X3- 2= 7;当x= 4 时，y= 3X4- 2= 10;即B= 1,4,7,10.又因为A= 123,4，所以AHB= 1,4.故选 D.5.（2016 云南名校联考）集合Ax|x 20，B=x|x 2.题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一集合的含义例 1 (1)(2017 济南调研)设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+ Q= a+b|aP,bQ, 若P=0,2,5 , Q= 1,2,6，则P+Q中元素的个数是()A. 9 B . 8 C . 7 D . 62(2)若集合A= x Rax 3x+ 2= 0中只有一

6、个元素，则a=_.9答案 (1)B(2)0 或石解析(1)当a= 0 时，a+b= 1,2,6 ;当a=2 时，a+b= 3,4,8 ；当a= 5 时，a+b= 6,7,11.由集合中元素的互异性知P+Q中有 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个元素.若a= 0,则A=i,符合题意；9若a0,则由题意得 = 9 8a= 0，解得a=94综上，a的值为 0 或.8思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；（2）集合中元素的互异性常常容易 忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问

7、题.（1）（2016 临沂模拟）已知A= x|x= 3k 1,k Z，则下列表示正确的是（）A. 1?AB. 11 A2C. 3k 1 A（k Z）D. 34?Af b1设a,b R,集合1 ,a+b,a = 0,a，b人则ba=_.答案（1）C（2）2解析（1） k Z,.k2 Z,.3k2 1 A.fb、（2）因为1 ,a+b,a = 10,吕,b , a*0,所以a+b= 0，得b= 1,a所以a= 1,b= 1，所以ba=2.题型二集合的基本关系例 2 （1）（2016 唐山一模）设A B是全集1=1,2,3,4的子集，A= 1,2，则满足A?B的B的个数是（）A. 5 B . 4 C

8、 . 3 D . 22已知集合A=x|x 2 017x+ 2 0160 ,B= x|xa，若A?B,则实数a的取值范围是答案(1)B(2)2 016,+s)解析(1)T1,2 ? B,I= 1,2,3,4,满足条件的集合B有1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4，共 4 个.2(2)由x 2 017x+ 2 0160 ,解得 1x2 016 ,故A= x|1x2 016,又B= x|x 2 016.引申探究本例(2)中，若将集合B改为x|xa,其他条件不变，则实数a的取值范围是 _答案(,15解析A= x|1xa,A?B,如图所示,1 .I2016 x6可得aw1.思维升华

9、（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.弓谅训 2（1）已知集合A= x R|x2+x 6 = 0 ,B= x R|ax- 1 = 0，若B?A则实数a的值为（）A.3 4或一-321 1D.3 或 2 或 o已知集合A=x| 2xw7,B= x|m 1x 2,则2m 1w乙解得 2mW4.JI卄 12m 1,综上，m的取值范围为（一a,4.题型三集合的基本运算 命题点 1 集合的运算 例 3 (1)

10、(2016 全国乙卷)设集合A= x|x2 4x+ 30，贝U An B等于答案(1)D(2)(a,4解析由题意知A= 2 , 3. 当a= 0 时，B= ?，满足B?A;1当心时，ax-1=0的解为x=a，11由B?A,可得a= 3 或a= 2,aa4 、 1a=3 或a=综上，a的值为-1 或扌或 0.当B= ?时，有12m 1，贝 UmW2；当BM?时，若 B?A,如图，-2 jrr+12m7r1 、 1 、C. 3 或2 或 o7B.-3,22(2016 浙江)已知集合P= x R1wxw3,Q=x R|x4，贝UPU(?Q 等于()A. 2,3B. ( 2,3C. 1,2)D. (

11、f 2U1,+s)答案(1)D(2)B解析 (1)由 2 x|x4 4x+ 30 = x|1x0 = x|x,得AnB= x|5x3 = I，3，故选 D.由已知得 Q= x|x或xw2. ?riQ=( 2,2).又P= 1,3, PU(?RQ=1,3U(2,2)=(2,3.命题点 2 利用集合的运算求参数例 4 (1)设集合A=x| 1wx2,B= x|xa，若AnBM?，贝Ua的取值范围是()A. 12C.a一 1D.a 12集合A= 0,2 ,a,B=1 ,a，若AUB=0,1,2,4,16，则a的值为()A. 0 B . 1 C . 2 D . 4答案(1)D(2)D解析 因为AnBM

12、 ?，所以集合 A,B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a 1.4(2)由题意可得a,a = 4,16 ,a= 4.思维升华(1) 一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关 系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化. mill.(1)(2016 山东)设集合A= y|y= 2x,x R,B= x|x2 10，贝UAUB等于 ( )A. ( 1,1)B. (0,1)C. (1,+s)D. (0，+m)已知集合 A= x|xx 12w0,B= x|2m 1x0,B= x| 1x1,

13、 AUB= ( 1,+s)，故选 C.(2)由xx 12W0,得(x+ 3)(x 4)w0,即一 3x4,所以A= x| 3x4.又AnB=B，所以B?A1当 B= ?时，有 12 m- 1，解得 2.2m 1m+ 1,综上，m的取值范围为1,).题型四集合的新定义问题例 5 已知集合A= (x,y)|x2+y2w1,x,y Z,B= (x,y)|x|w2, |y|w2,x,y Z, 定义集合A B=(X1+X2,0+y2)|(X1,yJA,(X2,y2)E，则A B中元素的个数为()A. 77 B . 49 C . 45 D . 30答案 C解析 如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合

14、B表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“ ”，集合AB显然是集合(x,y)|x|w3, |y|w3,x,y Z中除去四个点( 3, 3) , ( 3,3) , (3 , 3) , (3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“” +所有圆点“ ” +所有圆点“”，共 45 个.故AB中元素的个数为 45.故选 C.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题

15、中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.跟踪训练 4 定义一种新的集合运算:AB= x|xA,且x?B.若集合A=x|x2 4x+围为(A. 1,2)B. 1,3C. 2,+s)解得1930 ,B= x|2wxw4，则按运算,BAA等于()A.x|3xw4B. x|3wxw4C. x|3x4答案 BD. x|2wxw4解析A= x|1x3,B= x|2wxw4，由题意知BAA= x|x B,且x?A = x|3wxw4.现场纠错系列1 集合关系及运算典例已知集合A=1,3 ,_ m,B= 1 ,m,AUB=A,则m等于()A. 0 或 3B.0 或 3C.1 或 3D

16、. 1 或 3 或 02 2设集合A= 0，- 4,B= x|x+ 2(a+ 1)x+a- 1 = 0,x R.若B?A,则实数a的取值范围是_.错解展示解析由AUB=A得B? A,Am= 3 或m=m,故m= 3 或m= 0 或n= 1.I E? A,讨论如下：=4 a+1a2-I XJ,1当B= A= 0， 4时，*：?a+1= 4,a6=0,解得a= 1.2当B A时，由 = 0 得a= 1,此时 B= 0满足题意，综上，实数a的取值范围是1 , 1.答案(1)D(2)1 , 1现场纠错解析 (1)A= 1,3 , . n , B= 1 ,m,AUB=A,故B?代所以m= 3 或n=n即

17、m= 3 或m= 0 或m= 1,其中m= 1 不符合题意，所以m= 0 或 m= 3,故选 B.因为A= 0， 4，所以B?A分以下三种情况：2 2当B=A时，B= 0， 4，由此知 0 和一 4 是方程x+ 2(a+ 1)x+a 1 = 0 的两个根，由 根与系610数的关系，得= 4 a+1 - 4a- I ?0，*7a+1=- 4,解得a= 1；a1 7- 1= 0,2当 歹？且B A时，B= 0或B= 4,2 2并且= 4(a+1) 4(a 1) = 0,解得a= 1，此时B= 0满足题意；3当 B= ?时，= 4(a+1) 4(a 1)0 ,解得a 1.综上所述，所求实数a的取值范

18、围是(R,1U1.答案(1)B(2)(31U1纠错心得(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验.(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况课时作业课时作业1.(2016 四川)设集合A=x| 2x 2 ,Z 为整数集，贝U集合AAZ 中元素的个数是()A. 3 B . 4 C . 5 D . 6答案 C解析由题意可知，AAZ= 2, 1,0,1,2，贝UAAZ 中的元素的个数为5.故选 C.2.已知集合M= 1,2,3,4，则集合P= x|xM且 2x?M的子集的个数为()A. 8 B . 4 C . 3 D . 2答案 B解析由题意得P= 3,4 ,集合P有 4 个子集.

19、3. 已知集合A= x|1x3,B= x|2mx1 n,若AAB= ?,则实数m的取值范围是()1 1A.,+3)B. 0,3)C. (3,0D. 0,+8)答案 D解析/AAB= ?,12若 2m1 m,即m 1m即m 3 时，B= ?，符合题意；12需满足m1，或m 3,解得 Owm3 或？，即 Owm 2，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. 0,1C. 1,2答案 B解析 因为AnB= 2,3,4,5，而图中阴影部分为A去掉AnB,所以阴影部分所表示的集合 为.5.已知集合A=x| 1x0.6.（2016 河北衡水中学模拟）已知U为全集，集合A= x|x2 2x 30 ,B= x|2

20、x4,那么集合Bn（?UA）等于（）A.x|1wxw4C. x|2wx3答案 B解析TA= x3, ?UA= x|1wxw3,B= x|2x4,Bn(?iA)=x|2xw3.7. (2016 宁夏银川二中考试)已知集合A= x|y= lg(xx2) ,B= x|x2cx0，若A? B,则实数c的取值范围是（）A.(0,1B. 1,+a)B. x|2xw3D. x|1x0 = (0,1) ,B= x|xcx0 = (0 ,c).由A? B,画出数轴，如图所示，得c 1.0I亡 JC8. (2015 浙江)已知集合P= x|x2 2x0,Q= x|1 x2，贝U(?RP)n Q等于()A. 0,1

21、) B . (0,2 C . (1,2) D . 1,2答案 C解析Tx|x或x 0, ?RP=X|0 x 2,(?RP)nQ=x|1 x 2，故选 C.9 .已知集合A=x|x2 3x+ 2 = 0,x R ,B=x|0 x5,x N，则满足条件A?C?B的集 合C的个数为()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4答案 D2解析 由x 3x+ 2 = 0，得x= 1 或x= 2,.A= 1,2 由题意知B= 1,2,3,4.满足条件的C可为1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4，共 4 个.x N=，x|ngw x且M,N都是集合x|0wxw1的子集,如果把ba叫作集合x|awxwb的“长度”，那么集合 MnN的“长度”的最小值是（）11.已知集合A= m 2,2mi+ n，若 3A,贝 Um的值为答案一 I解析 /3A,.2 = 3 或 2 吊+m= 3.*10.设集合M=欣|1 2 1込B. 3 C.徨 D.12答案解析由已知，可得0,m3w1,1即 0wmw4;n卜0i3nw1,1即w