2018版高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必

1、3.4 基本不等式：ab2 4 = 2,1当且仅当t=-，即t= 1 或t= 1（舍）时，等号成立,y的最小值为一 2.xy= 12 x y13当且仅当 3=-=-，即x= -,y= 2 时，等号成立,34 22 xy 的最大值为 3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值（恰当变形，合理拆分项或配凑因 式是常用的解题技巧）；三是考虑等号成立的条件.21 1(1)已知x2,则f(x)=2 , -x 4x+ 52x- 4已知t 0，则函数y=2t 4t+ 1t的最小值为2(x 2) + 12 (x 2)

2、解析1 -=2 I(x2)53跟踪训练 1（1）设ab 0，则a2+ab+a（ab）的最小值是（）A. 1 B . 2C. 3 D . 411已知x,y为正数，且 2x+y= 1,则-+ -的最小值为 _ .x y421 1211 1(1) a+ab+a(a-b)=a-ab+ab+ab+a(a-b)=a(ab)+a(a-b)当且仅当a(a-b) = 1 且ab= 1,由 2x+y= 1,得X+ !=沁+x y xy2xy2x=3 + + 3 + 2 = 3+ 2 2,x y, x yy2x当且仅当,Ay即x=2,y= 2 1 时，等号成立.题型二基本不等式的综合应用11例 2 (1)已知x 1

3、,y 1,且匚 Inx,匚，Iny成等比数列，则xy(44A.有最大值 e B .有最大值eC.有最小值 e D .有最小值，e答案 C解析由题意得 4 =如xlny,1Inxlny= 4,/x 1,y 1 ,Inxlny 0,又 In(xy) = Inxlny 2 Inxlny= 1,二xy e,即xy有最小值为 e.x(2)若对任意x 0,x2+3x+wa恒成立，求a的取值范围./x 0,答案D (2)3 + 2 2卜ab+2x+yy设f(x)=x2 x+ 3x+ 1解析15 f(X)W5 即卩f(X)max= 5 ,55a5.反思与感悟 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，

4、其一般类型有:(1)f(x) a恒成立?avf(x)min.(2)f(x)va恒成立?af(x)max1 1跟踪训练 2(1)设a 0,b 0，若 3 是 3a与 3b的等比中项，贝 U - + -的最小值为()va bA. 2 B . 41C. 1 D.-2函数y=kx+ 2k 1 的图象恒过定点A,若点A又在直线mx ny+ 1 = 0 上，贝 Umn的最大值为_ 1答案(1)B(2) 8解析(1)由题意得，3 3 = (i.;3)2, 即卩a+b= 1,b a1当且仅当a=b即a=b=2 时，等号成立.y=k(x+ 2) 1 必经过(一 2, 1)，即点A( 2, 1),代入得2m-n+

5、 1 = 0, 2m+n= 1,11n1mn=2（2mn 2 + 26与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.解 设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,ab= 9 000.广告的高为a+ 20,宽为 2b+ 25,其中a0,b0.广告的面积S= (a+ 20)(2b+ 25) = 2ab+ 40b+ 25a+ 500=18 500+25a+40b18 500+2 25aX40b=18 500 + 2 1 000ab= 24 500.5当且仅当 25a= 40b时，等号成立，此时b=-a,代入式得a= 120，从而b= 75,即当a=120,b= 75 时，S取得最小值 24

6、500 ,故广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3) 在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值.(4) 正确写出答案.跟踪训练 3 一批货物随 17 列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长 400要_小时.答案 8解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则此时t= 8 小时.訂当堂检测自查自纠1下列函数中，最小值为4 的

7、函数是()千米，为了安全，两列货车的间距不得小于B市，最快需当且仅当400v16v而,即v= 100 时，等号成立,40016v匚+400R216vX400 =8（小时）74A.y=x+ -x428答案 C解析 A 中x= 1 时，y=5V4, B 中y= 4 时，sinx= 2, D 中x与 1 的关系不确定，选C.x2一x+ 12.函数y=(x 1)在x=t处取得最小值，则t等于()x IA. 1+2 B . 2C. 3 D . 4答案 B” - x (x1)+ 111解析y=x+=x 1 +1x 1x 1x 1 2 + 1= 3,1当且仅当x 1= 7，即x= 2 时，等号成立.x I3

8、 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A. 6.5 m B . 6.8 mC. 7 m D . 7.2 m答案 C1解析设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l，则ab= 2,二ab= 4,l=a+b+ .a2+b22ab+ _2ab= 4+ 2 2 6.828(m).v要求够用且浪费最少，故选C.4 .函数f(x) =x(4 2x)的最大值为 _ .答案 2解析当x(0 , 2)时，x, 4 2x 0,f(x)=x(42x)w厂+(4-B.y=sinx+亦 7(Vx2时，f(x)w0,10故f

9、(X)max= 2.515.当xv；时，函数y= 4x 2 + 的最大值为44x 5答案 15解析 xv 44x-5v0，-1 I=!(54x)+5xJ31.用基本不等式求最值(1) 利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”一一各项为正数；“二定”一一“和”或“积”为定值；“三相等”一一等 号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2) 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3) 在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往