直角坐标系、伸缩变换

1、课刖案知识梳理：（一）、直角坐标系：1直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设P（x,y）是平面直角坐标系中任意一点，在变换X'X（0）：y'y（0）的作用下，点P（x,y）对应P' （x '，称 ）.为平面直角坐标系中的伸缩变换2、 注（1）0,0（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。课中案例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：X 3x（1）、已知点（x,y

2、）经过伸缩变换后的点的坐标是（3,4），则x=，y=.y' 2y.1x x（2）、已知点（x,y）经过伸缩变换2 后的点的坐标是（-2，6）,则x=，y=y' 3y例2、在同一平面直角坐标系中,求曲线C的方程。.1x' x曲线C经过伸缩变换3 后的曲线方程是4x'2 9y'236，.1y px' 3x例3.（ 1 ）在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是y' y2 2x' 9y9，求曲线C的方程。（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线 x-2y=2变成直线2x' y '4的伸缩变换,1x'

3、 x例4.曲线C经过伸缩变换3 后的曲线方程是4x'2 9y'2 36，求曲线C的方程。,1y - yx'2xx'3xA.3B.232y'yy'y23课后案1将点（2, 3）变成点（3, 2）的伸缩变换是（）2.将点p（x, y）的横坐标伸长到原来的C.x' yD.X' X 1y' xy' y 12倍，纵坐标压缩为原来的1，得到点 P的坐标为3()A.(3y) b.(2x,舟)c.(3x,-y)D.(3,2y)A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐

4、标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6x' 3x9.曲线y sin（x -）经过伸缩变换后的曲线方程是6y' 2y倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）10.曲线x22x220变成曲线x' 16y'4x'0的伸缩变换是x3.曲线C经过伸缩变换y后得到曲线Cy的方程为y log2（x2）,则曲线C的方程为（)1A. y 3 log 2( x2)B.y3 log 2(x2)C. y log 2(3 x2)D.yIog2(3

5、x2)4.把函数ysin 2x的图像作怎样的变换能得到y si n(2x-）的图像( )3D .向右平移一3A.向左平移-6.向左平移一3B.向右平移5将yf （x）的图像横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标缩短到原来的1-，则所得函数的解析式为36.A.占八、y 3 f (3x) B. y1lf(3x)C.y 3 f (1 x) D.31 1y 3f(ax)11.曲线9x2 4y236经过伸缩变换,1x' x2后的曲线方程是.1y 3y12.将直线x 2y13.函数y2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是1 2 cos x2.3 .sin xcosx1,xR.（1）当函数y

6、取得最大值时，求自变量 x的集合;（2）该函数的图像可由y sin x（xR）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到x'（x, y）经过伸缩变换y'12 x后的点的坐标是（-2, 6），贝U x3y7.将直线x 2y2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是x&为了得到函数y 2sin（x -） x R的图像，只需将函数 y 2sinx,x R的图像上所有的点x' 2xx' 2x3 在伸缩变换与的作用下，单位圆x2 y2 1分别变成什么图形?y' yy' 2yx14.函数y，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y ?3x 1x

7、x' 3x1.点（x,y）经过伸缩变换后的点的坐标是（3,4），则x ， y .y' 2y2 将直线x 2y 2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是 _3为得到函数y 2sin（上 ）x R的图像，需将y 2sin x, x R的图像上所有的点（1倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）36 'A. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横

8、坐标伸长到原来的6x' 3x4曲线y sin（x -）经过伸缩变换后的曲线方程是6y' 2y5将曲线x2 y2 2x 0变成曲线x'2 16y'2 4x' 0的伸缩变换是16.函数f （x）的图像是将函数|og2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的?，纵坐标变为原来1的-而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。2x' 2x1点（一,1）经过伸缩变换后的点的坐标是问题一：（1）点（2, -3 ）经过伸缩变换x2后的点的坐标是13yx14.函数y ，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y ?3x 1x解：分析：可考虑先伸缩

9、，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。 方法一、（先伸缩，再平移）解：变式 i. （i,-i）；（2）点（x, y）经过伸缩变换2后的点的坐标是y' 3y（-2 ， 6），则 x解：变式2. x 4, y 2问题二：（1）.曲线9x2 4y2x'36经过伸缩变换y'1x2后的曲线方程是13yx'2y'2 1（2）曲线C经过伸缩变换2 2x' y' 1x'1.点（一,1）经过伸缩变换21x3 后的曲线方程是 4x'21尹9y'236，则曲线C的方程是y伸长到原来的3 倍:x伸长到原来的3倍：y1

10、 x3y 3T3(3x)1%x) 1向左平移方法二、向左平移1个单位，再向下平移（先平移，再伸缩）1个单位:(y3x3x 11)1再向下平移-个单位:3x伸长到原来的9倍:(y(x 1) 12x后的点的坐标是y' 3y(,3)x' 2xx' 2x3.在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆y' yy' 2yx21分别变成什么图形?x' 2xx解：在的作用下，单位圆变成椭圆 y'2y' y4,21 ;在y'2x的作用下，单位圆变成圆2y1卫13（x 31才19（翻 方法三、（平移与伸缩的交替运用）x3x伸长到原来的3倍：y丄9x

11、1得y9x 9x1x) 11xS得3y11向左平移1个单位：3y 1-（x 1） 1y伸长到原来的3倍：3（- y）3向下平移1个单位：y 111 -得x1 得y x评注：这是一道培养发散思维能力的好题。，五，作业x' 3x1点(x, y)经过伸缩变换后的点的坐标是(3,4)，则xxy' 2yy y 2.2将直线x 2y 2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是x' xy' 4y3为了得到函数y 2sin(彳-),x R的图像，只需将函数y(C )A. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，再把所得各点

12、的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的62 sin x, x R的图像上所有的点1倍(纵坐标不变)31倍(纵坐标不变)33倍(纵坐标不变)3倍(纵坐标不变)6x'后的曲线方程是4曲线 y sin(x)经过伸缩变换6y'2yD. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的x'y'2 si n()36x' 2x22225将曲线x y 2x 0变成曲线x' 16y' 4x' 0的伸缩变换是1 _y' 2y11的丄而得到的，则与f (x)的图像关于原点对称的图像的解析式是。2

13、解：* y log2(x 1) 以 3x,2 y 分别代 x, y 得 2y log 2(3x 1)11ylog2(3x 1) 有f(x) log2(3x 1)，它的图像关于原点对称的图像的解析式是221y - log2(1 3x)21典例剖析【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3倍后的点的坐标:(1) (1, 2);(2)(-2 , -1 ).【例 1 】解：(1) (2, 6); ( 2) (-4 , -3 ).【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x'y'2x后的图形3y(1)2x 3y 0 ； (2) x2y2 1.,

14、2,2【例2】解：(1) x' y' 0；(2) x149【变式与拓展1】分析：设变换为x,(0),可将其代入第二个方程，得2 x y 4，与x 2yy y,(0),较，将其变成2x 4y 4,比较系数得1,4.x x【解】(1)，直线x 2y 2图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的y 4y可得到直线2x y 4。坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到1x x2点P' (x ' ,y坐标对应关系为：y y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。思考2：怎样由正弦曲线 y=sinx得到

15、曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标 y伸长为原来3倍,得到点P' (x ' ,y坐标对应关系为:x xy 3y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。思考3：怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。xx (0)定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 ：，'的作用下，点P(x,y)yy, (y 0)对应P' (x ' ,y ').称为平面直角坐标系中的伸缩变换。【典型例题】在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。将直线

16、x 2y 2变成直线2x y 4，达标检测A2 .点(x, y)经过伸缩变换1x' x2后的点的坐标是(-2, 6),则xy' 3y，yA4将直线x 2y 2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换(1) 2x 3y 0;(2) x2 y21 .老城高中高二数学选修 4-4导学案 编号：1.2.1极坐标系的的概念情境2:如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。(1) 他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗?(2) 如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1

17、:为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢?问题2:如何刻画这些点的位置?、新课导学x 2x后的图形:y' 3y探究新知（预习教材P8P10,找出疑惑之处）1、 如右图，在平面内取一个 O，叫做 ；-自极点0引一条射线 Ox，叫做；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通常取 方向），这样就建立了一个 。2、设M是平面内一点，极点0与M的距离|0M I叫做点M的，记为；以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角xOM叫做点M 的，记为 。有序数对 叫做点 M的，记作。3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ 应用示例例题1: （1）写出图中A, B, C, D, E, F,

18、G各点的极标（0,02 ）.（2）:思考下列问题，给出解答。平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有少种表示方法？坐坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式?本题点G的极坐标统一表达式。答:反馈练习X在下面的极坐标系里描出下列各点A(3,0)B(6, 2 )C(3,)24D(5,)35E(3,)6F(4,)5G(6, 3 )小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个坐标表示，一个直角坐标对应 个点。极坐标系里的点的极坐标有 种表示，但每个极坐标只能对应个点。三、总结提升2有关曲线伸缩变换的一般性结论:x x般地，由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着y轴的伸缩变换（当 >

19、;1y y时，表示伸长；当<1时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（这里 P（x, y） 是变换前的点,P（x,y） 是变换后的点）.同理，由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着x轴的伸缩变换（当 >1时，表示伸长；当 <1时，表示压缩）,即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍（这里 P（x, y） 是变换前的点，x xP（x,y） 是变换后的点）.由 y y ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数向着x轴和按伸缩系数 向着y轴的伸缩变换（当 1时，表示伸长，1时，表示压缩；当1时,表示伸长，当 <1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标和

20、纵坐标分别变为原来的倍和倍（这里 P（x, y） 是变换前的点， P（x,y） 是变换后的点）.问题一：（1）求点（2, -3）经过伸缩变换1x2后的点的坐标;1,1x x（2）点（x, y）经过伸缩变换2 后的点的坐标是（-2 , 6）,求点（x, y）y' 3y问题二：（1）.求曲线9x2 4y236经过伸缩变换y'2后的曲线方程;13yx14.函数y ，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y ?3x 1x,五，作业x' 3x1.点（x,y）经过伸缩变换后的点的坐标是（3,4），则x ， yy' 2y2 将直线x 2y 2变成直线2x' y

21、9; 4的伸缩变换是 _（2）曲线C经过伸缩变换.1 x' X3 后的曲线方程是4x'2 9y'2 36，求曲线C的方程。1y' y23为得到函数y 2sin（上 ）x R的图像，需将y 2sin x, x R的图像上所有的点（36 '1.一般地，由kX = X'，所确定的伸缩变换，是伸缩系数为 k向着y轴的伸缩变换。y = y'当k> 1时，表示伸长；当 k< 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍。这里P （x, y）是变换前的点，P'（x' , y'）是变换后的点。2.

22、同样由 X = x'，所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。ky = y'4,我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：x' 2x一1.点（一,1）经过伸缩变换后的点的坐标是；2y' 3y2将点（2, 3）变成点（3, 2）的伸缩变换是（）A. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的64.曲线7 Sin（x 6）经过

23、伸缩变换x' 3x后的曲线方程是y' 2y5.将曲线x2y2x'2xxA.3B.3y'-yy23x2x'yDC.2 -yy'x3x'x1y'y13.在伸缩变换x 2x与x 2x的作用下，单位圆x2 y2 1分别变成什么图形? y' y y' 2y1倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）2x 0变成曲线x'2 16y'2 4x'0的伸缩变换是16.函数f （x）的图像是将函数log2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来31的丄而得到的，则

24、与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是 。2.1 x' x问题一：（1）点（2，-3 ）经过伸缩变换2 后的点的坐标是1y'3¥解：变式 1. (1,-1);点（_ ,1）经过伸缩变换2后的点的坐标是y' 3y(,3)；（2）点（x, y）经过伸缩变换,1x' x2后的点的坐标是y' 3y(-2 , 6),则 x将点（2, 3）变成点3,2）的伸缩变换是（B ）解：变式2. x 4, y 2问题二：（1）.曲线9x2 4y2x'36经过伸缩变换y'1x2后的曲线方程是x'213¥y'2 1A.C

25、.（2）曲线C经过伸缩变换2 2x' y' 1kx = x'1.一般地，由 :y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为当k > 1时,表示伸长；当为原来的k倍。这里P（ x，1x3 后的曲线方程是 4x'2 9y'236，则曲线1尹k向着y轴的伸缩变换。C的方程是k< 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变y）是变换前的点，P'（x'，y'）是变换后的点。x = x，所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。ky = y'4,我生成的问题：2同样由三，我的收获：本节课的知识结构

26、、学到的方法、易错点四，课堂检测:y'x'y'2x332¥B.y'3x22在伸缩变换解：在x'2 y'2D.y'y'2xx'与伸缩变换yy'2x的作用下，单位圆2y2y 1分别变成什么图形?x' 2x的作用下，单位圆变成椭圆y' yI'21 ;在y'2x的作用下，单位圆变成圆2y4.函数y，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数3x 1可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。解：分析：方法一、（先伸缩，再平移）y伸长到原来的3 倍:x伸长到

27、原来的3倍：y向左平移方法二、向左平移3x3x 11个单位，再向下平移（先平移，再伸缩）x)x) 1L1得y1个单位:(y1)(x 1) 11313(x) 139x得y9x一， 1 1 1再向下平移个单位：(y )-33 3x伸长到原来的9倍：1y 19( x)9方法三、（平移与伸缩的交替运用）得y 9x1x19x1xx伸长到原来的 3倍：y 313（評11x得3yx 1A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的

28、横坐标伸长到原来的6x' 3x4曲线y sin（x -）经过伸缩变换后的曲线方程是6y' 2y倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）x'y' 2 叫 g1 1向左平移1个单位：3y 1-1-(x 1) 1 x111y伸长到原来的3倍：3（-y） 1 得y 13xx11向下平移1个单位：y 11 得y xx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。，五，作业x' 3x1.点（x, y）经过伸缩变换后的点的坐标是（3 , 4），则x xy' 2yy 一y 2.x' 2x5. 将曲线x2 y2 2x 0变成曲线x'2 16y'2 4x' 0的伸缩变换是1.y' -y16. 函数f （x）的图像是将函数log2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的-，纵坐标变为原来3的1而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。2I