一元二次方程学习要点

1、精品资料欢迎下载“一元二次方程”学习要点一、本章知识结构1、知识结构梳理2、定理公式总结一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a0)2一元二次方程ax +bx+c=0(a工0)的求根公式：b二、b24ac2x(b -4ac - 0).a(3)一元二次方程的根的判别式：=b2-4ac原载于教材全程全解同步精讲精练(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社,2004 年 5 月(4)一元二次方程的根的判别式定理：精品资料欢迎下载 0=方程有两个不相等的实数根； =0二方程有两个相等的实数根；v0二方程没有实数根； 0=方程有两个实数根。(5)一元二次方程根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax

2、+bx+c=0(a0)的两个实数根是xi,X2, 那么bcxi+X2=, x1x2.aa2推论1:如果方程x +px+q=0的两个实数根是xi,X2，那么Xl+X2=-p,XlX2=q.推论2：以X1,X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:X2-( X1+X2)X+ X1X2=0(6)二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-xi)(x-x2)。其中xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根。(7)求一元二次方程两根Xi,X2的对称式的值，常用公式：1Xi2+X22=(Xi+X2)2-2XiX2；222(Xi-X2)=(Xi+X2)-4XiX2二、数学规律总结1

3、、我们已学过的方程和方程组有整式方程(一元一次方程， 一元二次方程)、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组， 它们都属于代数方程中的有理方程。在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方 程(组)的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元 二次方程是解代数方程(组)的关键和前提，因此，我们必须将 这部分知识扎实地学好。2、本章介绍了一元二次方程的四种解法一一直接开平方法、 配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于任何一个一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元 二次方程根的精品资料欢迎下载方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即 配方法），充分认识

4、该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二 次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方 程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程 简便。一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平 方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根 公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次 方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求 用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根 公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要

5、正确理解配方的意图， 掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。3、二次三项式ax2+bx+c在实数范围能够分解的条件2二b -4ac04、一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的条件二b2-4ac0三、思想方法总结1、转化思想在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次 方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解 二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实 数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二 次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化 为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：精品资料欢迎下载转化思想是初中数

6、学中常见的一种数学思想，它的应用十分 广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化 成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。2、方程思想在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程 或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问 题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想， 通常称为方程思想。方程思想在本章主要体现在列方程（组）解应用题、利用判别 式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数（字母系数）、二次三 项式的因式分解、利用根与系数关系解形如丿x + y=a的“UI”xy = b型方程组等。3、 公式化与分类讨论的思想在数学中，对那些有规律可循“

7、成型的”数学问题，我们总希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可 以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块” 的目的。如圆面积公式，精品资料欢迎下载梯形面积公式，由时间和速度求距离的 公式s=vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一2元二次方程的求根公式x= -4ac。2a可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为2=b -4ac,当0时，根式有意义，公式才能成立，才能应用； 那么，当0时，公式就不能用了。这时，说明什么问题？方 程ax2+bx+c=0(a0)没有根吗？不能这样说，因为公式的推导过 程已经表明，只有在0时，才能得到求根公式，也就是

8、说，只有0时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。若0,则方程有不相等的实数根.；(2)若厶=0,则方程有两个相等的实数根.；(3)若厶0，=0，2,且X1,X2是两y二y2.的答案。例精品资料欢迎下载五、综合题例分析例1(2003北京市中考题)已知：关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是X1,X2,且(XI-X2)2=16,如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在xi和X2之间，求m的值。分析：首先根据x2-2mx+3m=0的两根xi,X2满足(Xi-X2)2=16的条件，将参数m的值求出，然后根据m的值，将两方程的根分 别求出来，最后作出判断。2解

9、Txi,X2是方程x -2mx+3m=0的两个实数根，xi+x2=2m，xi-X2=3m22(xi-X2)=i6(Xi+X2)-4xiX2=i64m -i2m=i6解得mi=-i,m2=4当m=-i时，方程x2-2mx+3m=0为x2+2x-3=0，贝U xi=-3，X2=i， 方程x2-2mx+6m-9=0为x2+2x-i5=0，则xi= -5,X2=3 -5，3不在-3和i之间 m=-i不合题意，舍去。当m=4时，方程x2-2mx+3m=0为x2-8x+i2=0则xi=2，X2=6方程x -2mx+6m-9=0为x -8x+i5=0贝U xi=3 X2=5/2v3v5v6即xivxivX2

10、vX2m=4满足题意综合(i)和(2)，m=4评注本题事实上就是根据题中给出的一个条件， 运用根与系数的关系，求参数值的问题，不过本题已将该题型拓展延伸为判断两个方程根的大小范围问题了。因此，我们在审题中，一定 要有“慧眼识真金”的本领，善于将提供的“新”问题，通过精品资料欢迎下载分析、类比、综合等思维方式，转化到我们已经会解决的“老” 冋题上来。例2已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-1)=0(1) 求证：无论k取什么实数时，这个方程总有两个实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另外两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。分析(1)要证一个一元二次方程有两个

11、实根，只需要证 明判别式0即可；(2)有关等腰三角形问题，若未指明腰和 底边时，要进行讨论，因此，本题对a是等腰三角形的底边还是 等腰三角形的一腰要进行分类讨论。21解(=-(2k+1)-4x4(k-)22=(2k-3)不论k取何值时，(2k-3)20,即0。不论k取何值时，这个方程有两个实数根当a是等腰三角形底边时，这时b、c即为等腰 三角形两腰，则b=c方程有两个相等的实数根。则厶=(2k-3)2=0k=32原方程即为x2-4x+4=0 .b=c=2当b=c=2时，b+c=2+2=4=a这与“三角形中两边之和大于第 三边”相矛盾，故a不可能是此等腰三角形的底边当a是等腰三角形的腰时，这时，

12、b、c中至少有一个值为154,把x=4代入原方程中，16-4(2k+1)+4(k-丄)=0 k=，则原方22程为X2-6X+8=0两根为X1=2，X2=4，即卩b、c两边一边为2，另一边为4,符合三角形三边之周关系，这时ABC的周长为a+b+c=4+(2+4)=10精品资料欢迎下载评注要判断二次三项式的值的正负性，通常采用配方法，利用 完全平方式的非负性来确定。由于本题中的a、b、c的值是三角形三边的长，必须满面 足“两边之和大于第三边”否则就不能构成三角形的三边。在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类讨论法解决问题。例3已知关于x的一元二次方程x2+2px-p2-

13、1=0的两个实数 根为XI，X2.若此方程的两根之和不大于两根之积，求P的值。若p=-1，求X13+2X22+2X2的值。分析利用根与系数关系建立关于P的不等式，由完全 平方式的非负性，求出P的值。注意，最后一定要注意判别式的 值为非负数。首先利用根的定义，对X13进行降次处理，把所求代数式转 化成关于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。解TX1，X2为方程两根2二X1+X2=-2p X1X2=-p -1据题意，得X什X2X1X2即-2p-p2-12二p -2p+10(p-1)20所求p的值为1.精品资料欢迎下载当p=-1时，方程x2+2px-p2-1=0。为X2-2X-2=0,

14、XI、X2为方程两负数根。由方程根的意义有：XI2-2XI-2=0即XI2=2XI+2由根与系数关系有：X什X2=2, xiX2=-23222则Xi+2x2+2x2=xiXi+2x2+2x22=xi(2xi+2)+2x2+2x22 2=2xi+2xi+2x2+2x22 2=2(xi+X2+Xi+X2)2=2(Xi+X2)-2xiX2+(Xi+X2)=2X(4+4+2)=20评注求关于一元二次方程的两根的代数式的值，如果代数式是关于两根的对称式，先把这个代数式通过变形化成两根之和及 两根之积的形式，再把由根与系数的关系所得的两根之和及两根 之积的值代入即可；如果代数式不是两根的对称式，则由根的定

15、 义，通过对其中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次， 直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮 换对称式转化成换对称式来解决，这也体现了 “转化与化解”的数 学思想方法。例4已知a、b、c是厶ABC的三边，a、b的值是方程X2-(4+C)X+4C+8=0的两个实根，且满足25asinA=9c(i)求证ABC是直角三角形；(2)求a b、c三边的长。分析(1)题中只给出了a、b的长是已知方程的两根。因此, 根据根与系数的关系，通过探求出三角形三边a b、c的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明ABC为直角三角形。精品资料欢迎下载(2)在(1)已证明了厶ABC为直角三角形的

16、前提下，则SinA只 可以用三角函数来表示边间的关系，根据边间关系及根与系数的 关系，可求出a、b、c的值。解(1):a、b是方程X2-(4+C)X+4C+8=0的两根a+b=4+cab=4C+82 2 2 2 2V2+b2=(a+b)2-2ab=(4+c)2-2(4c+8)=c2即a2+b2=c2.ABC为直角三角形(2)T25aSinA=9c且SinA=-Caa 3.25a =9C，=CC5设a=3k c=5k，则b= c2- a2二,25k2- 9k2二4k将a=3k，b=4k，c=5k代入a+b=4+ck3k+4k=4+5k.k=2a=6，b=8，C=10。评注(1)确定一个三角形为直

17、角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题由于没有提供角的关系，虽然提供了三角函数，但三角函数关系式也只能在直角三角形中使用(本题本身就是要我们证明此三角形为直角三角形)，故本题若选择从角的方面来 判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运 用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三 角形。(2)在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转化成纯边(或 纯角)的关系式来解决问题，本题要求的是三角形的三边，则我 们可以通过三角函数的关系式，将问题转化纯边来解决。在解题 过程中，遇有边边之比的问题，贝冋引进比例系数k这个参精品资料欢迎下载数，要求三边，则即求比例系数k。例5

18、若a、b是实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不相 等的实根。(1)求证：a2-4b-8=0(2)若该方程三个不相等实根恰好为一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一内角是60。(3)若该方程三个根恰为一直角三角形三边，求a、bo分析(1)由绝对值概念可得两个一元二次方程，有三个不 相等的实数根，说明得到的两个方程中其中有一个方程有两个相 等的实数根，或得到的两个方程中，必有一个公共的实根。(2)由三角形内角之和为180和根与系数的关系可求得必有 一根为60o(3)先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根， 再由勾 股定理建立方程来求解。2解证明： |x +ax+b|=222二x

19、+ax+b-2=0 x +ax+b+2=0显然方程和不可能有一公根，则方程和必有一个方精品资料欢迎下载程有两个相等的实数根。i=a2-4b+82=a2-4b-8/12即a2-4b-8=0广2.16(a2_4b+8) =丿(2)设方程的两根为X1,X2,贝Uxi+X2=-a,xiX2=b-2设精品资料欢迎下载方程的两根为X3,X3则X3+X3=-a1X3=-a/XI+X2+X3=1802即X3=60 这个三角形中必有一个内角为60(3)vX1+X2=2x3=-a方程的两根中有一根为直角三角形的斜边,设其为X1.根据题意，得X12-X22=X32，2(X1+X2)(X1-X2)=X3，4(X什X2)=_a，2 216(a2-4b+8)=a2,评注(1)本题是一道综合性技巧性较强的综合题，解决之要用到绝对值，根的判别式定理，根与系数的关系，三角形的内 角和，勾股定理，转化的思想，方程的思想及变换命题等数学知 识。题中还多处运用了变换技巧，我们要从中吸取精华，拓展自-a+(-| )