液体三元流动基本原理w

1、 5.1概述 工程中绝大多数水利工程可用一元恒定总流方程解决； 实际工程中遇到的二元或三元的流动问题可建立三元流动的基本方程解决； 重点解决恒定平面势流问题（主要用于解决地下水渗流问题）本章内容本章内容5.2 流线与迹线微分方程5.3 液体三元流动的连续性方程5.4 液体微团运动的基本形式5.5 有旋运动简介5.6 液体恒定平面势流5.7 边界层简介1. 流线流线（1）定义）定义：流线是某瞬时在流场中绘出的曲线，曲线流线是某瞬时在流场中绘出的曲线，曲线上各点的速度矢量均与该曲线相切。上各点的速度矢量均与该曲线相切。 5.2 5.2 流线与迹线微分方程流线与迹线微分方程d0ur（2）流线方程）流

2、线方程：0ddddzyxuuukjiruzyx由由得出流线微分方程：得出流线微分方程：),(d),(d),(dtzyxuztzyxuytzyxuxzyxt 为流线方程的参数，积分时可视作常数。为流线方程的参数，积分时可视作常数。2. 迹线迹线 （1）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。（2）迹线方程）迹线方程tzutyutxuzyxdd,dd,dd由由得出迹线微分方程：得出迹线微分方程：ttzyxuztzyxuytzyxuxzyxd),(d),(d),(dt 为变量。为变量。例1 已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场为(式中，k 为大于零的常数) ，求流线与迹线。

3、yz, , 0 xukxukyu dt时段时段,x,y,z三个方向流出与流入三个方向流出与流入控制体积的液体的质量差为：控制体积的液体的质量差为：,xyzdMdMdMxyzdMdMdMdM1 1、方程的推导、方程的推导()()()()2222yyyyyuudydydydydMudxdzudxdz dtyyyy()()2222yyyyyuudydydydydMuudxdzdtyyyy xyzdMdMdMdM()yyyudMdyudy dxdzdtyy()yyuudxdydzdtyy()yudxdydzdty()xxdMudxdydzdtx()yydMudxdydzdty()zzdMudxdydz

4、dtzxyzdMdMdMdM()()()xyzuuudxdydzdtxyz()dMdxdydz dtt dMdM()()()()xyzuuudxdydzdtdxdydz dtxyzt ()()()0 xyzuuutxyz()()()xyzdMuuudxdydzdtxyz0)(utijkxyz 哈密顿算子哈密顿算子液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程质量净流出质量净流出质量减少质量减少1()10rzruuurrrz柱坐标系下连续性方程 2连续性方程的简化（1）恒定流动，不论液体是否压缩 （2）不可压缩流体流动，不论是否恒定（4）对于二维恒定不可压缩流动0)(u,0zuyuxuzyx,

5、0yuxuyx,0t()()()0 xyzuuutxyz 3连续性方程的意义（1）质量守恒（2）用连续性方程判别流动能否发生（3）用连续性方程推求某一速度分量（4）与运动微分方程联立求解 例1 已知二维恒定不可压缩流动速度场为 判别流动是否能发生。yxux23)6(xxyuy解：解：066xxyuxuyx所以该流动能发生。所以该流动能发生。 例2 已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为 式中A为常数，求切向速度分量解：)/cos(2rAur0)(urrurcos)cos()(22rArArrrruur)(sin2rCrAu1、液体微团运动形式： 5.4 5.4 液体微团运动的基本形式液体微团运

6、动的基本形式平移、旋转和变形平移、旋转和变形rruudd02、液体质点的基本运动形式分析、液体质点的基本运动形式分析液体质点的基本运动形式液体质点的基本运动形式平移平移是指液体微团在运动过程中任一是指液体微团在运动过程中任一线段的长度和方位均不变。线段的长度和方位均不变。平移速度为平移速度为ux,uy线变形线变形是指液体微团在运动过程中仅存在各线段的伸长或缩短。是指液体微团在运动过程中仅存在各线段的伸长或缩短。()xxxuudx dtu dtxxudxdtx线变形率线变形率xxxuxyyyuyzzzuz角变形 dtxudxdxdtxudtgdyy/)(dtyudydydtyudtgdxx/)(

7、角角BAC的减少量为的减少量为dd平均角变形为平均角变形为12dd（）x角变形率角变形率11()22yxxyyxuddudtxy角变形和旋转角变形和旋转tanyyudxdtuxdddtdxxtanxxudydtuydddtdyydddddd1()2ddd1()2ddd1()2ddd1()2ddd11()()22yxuuddddtxy11()()22yxuuddddtxy1()2yxzuuddtxy1()2yxxyuuddtxy角变形率角变形率旋转角速度旋转角速度1()2yxxyuuxy1()2yzyzuuyz1()2xzzxuuzx1()2yxzuuxy1()2xzyuuzx1()2yzxuu

8、yzxyzijk角变形率角变形率旋转角速度旋转角速度0为将 流 动 分 为 有 旋 运 动 和 无 旋 运 动是 否根据旋转角速度zuyuxuzzzyyyxxx,线变形率分量：线变形率分量：角变形率分量：角变形率分量： yxxyxyyuxu)(21xzzxzxxuzu)(21zyyzyzzuyu)(21旋转角速度分量：旋转角速度分量：)(21yuxuxyz，)(21xuzuzxy，)(21zuyuyzx变形率（应变率）张量为：变形率（应变率）张量为：zzyzxzzyyyxyzxyxxx 流体的速度分解定理：流场中任一点处的流体的速度分解定理：流场中任一点处的速度速度 为平移速度为平移速度 、旋

9、转速度、旋转速度 与变形速度与变形速度 之和。之和。)d(r0u)d(ru有旋流动（有涡流动）有旋流动（有涡流动） 类似于流速场引用流线、流管、流束、流量类似于流速场引用流线、流管、流束、流量 有旋运动的涡有旋运动的涡 场引入涡线、涡管、涡束、涡通量的概念来表征。场引入涡线、涡管、涡束、涡通量的概念来表征。0。有涡流动的流动称为有旋流动或旋转角速度涡线、涡管、涡束涡线、涡管、涡束 在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此曲线上，各质点的旋在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此曲线上，各质点的旋转角速度矢量转角速度矢量 都与该点的曲线相切，则定义这条曲线为涡线。都与该点的曲线相切，

10、则定义这条曲线为涡线。涡线微分方程涡线微分方程xyzdxdydz 涡量、涡通量、速度环量和斯托克斯定理涡量、涡通量、速度环量和斯托克斯定理涡量涡量:速度的旋度速度的旋度。2u xyzijkuxyzuuu()()()yyxxzzuuuuuuijkyzzxxy涡通量（涡旋强度）涡通量（涡旋强度）ddA AddA xyzLLu dLu dx u dyu dz 速度环量速度环量:在流场中任取一封闭的曲线在流场中任取一封闭的曲线 ，把速度沿该封闭曲线的线积分定义，把速度沿该封闭曲线的线积分定义为绕曲线为绕曲线L的速度环量的速度环量 ，记作，记作:()()()yyxxzzAuuuuuudydzdxdzdx

11、dyyzzxxyLu dL AdA 斯托克斯定律：通过某一曲面的涡通量斯托克斯定律：通过某一曲面的涡通量 等于沿该曲面周界的速度环量等于沿该曲面周界的速度环量 。 xyzLLu dLu dx u dyu dz ()()()yyxxzzAuuuuuudydzdxdzdxdyyzzxxy1、 流函数定义0)()(xyyxxuyuyx0yuxuyx5.6 5.6 液体恒定平面势流液体恒定平面势流5.6.1 5.6.1 流函数流函数 由流体平面不可压缩的连续性方程由流体平面不可压缩的连续性方程, , 即即则有则有即连续性方程自动满足即连续性方程自动满足 称称 为流函数为流函数若设若设yxxyudyud

12、xdyudxudyydxxd02 2、流函数的性质、流函数的性质(1). (1). = C为流线为流线, , 即流函数等值线就是流线即流函数等值线就是流线222221020yxzuuxyxy（）(2). (2). 平面无旋不可压平面无旋不可压, , 流函数满足拉氏方程流函数满足拉氏方程 为调和函数为调和函数(3). (3). 两条流线的流函数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量两条流线的流函数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量dddd_xuyuabuqyxablqq2112dd./m2s的单位为 1、速度势函数定义流动无旋0)()(xyyx.,yuxuyx=0yxzuuxy5.6.2 5

13、.6.2 速度势函数速度势函数若令若令流动无旋自动满足流动无旋自动满足称称 为速度势函数为速度势函数则有则有2、速度势函数的性质、速度势函数的性质(1) (1) 等势线与流线正交等势线与流线正交yxyxuudxdyKdyudxudyydxxd10 xyxyuudxdyKdyudxudyydxxd20121xyyxuuuuKK2、速度势函数的性质、速度势函数的性质0zuyuxukzjyixuzyx(2) (2) 无旋不可压无旋不可压, ,速度势函数满足拉氏方程速度势函数满足拉氏方程02222222zyx 为调和函数为调和函数代入不可压连续性方程得代入不可压连续性方程得例例3 3 平面速度场平面速

14、度场 试求试求: (1). : (1). 是否为可能存在的流动是否为可能存在的流动 (2). (2). 求流函数求流函数 (3). (3). 是否无旋是否无旋 解解:(1).(2).110yxuuxy22(4)(4)(44)()22ddxdyyx dxxy dyxyxdxydyydxxdyxxyycxyuyxuyx44例例3 3 平面速度场平面速度场 试求试求: (2). : (2). 求流函数求流函数 解解: :2222=4(4 )( )2( )=( )4( )4( )222yyxuyxxdxu dxyx dxc yxyxc yxuxcyxyycyyc yycxxyyc xyuyxuyx44

15、例例3 3 平面速度场平面速度场 试求试求: (1). : (1). 是否为可能存在的流动是否为可能存在的流动 (2). (2). 求流函数求流函数(3). (3). 是否无旋是否无旋 解解:(3).114(4)022yxzuuxy（）xyuyxuyx44所以流动无旋所以流动无旋 1. 流函数与速度势函数为共轭函数流函数与速度势函数这一关系，在数学上称为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满足这一条件的函数称为共轭函数。 xyuyxuyxrrurrur11 5.6.3 5.6.3 流网及其性质流网及其性质 2、流网的性质、流网的性质2 2 每一网格的边长之比，等于流函数和流速势函

16、数的每一网格的边长之比，等于流函数和流速势函数的增量之比增量之比; ;cosdxdssindydscosxuusinyuuddxdyxyxyu dxu dycoscossinsinudsuds22(cossin)udsudsduds1 1 流网是正交网格流网是正交网格; ;ddqudndudndsddndsn2、流网的性质、流网的性质3 对于曲边正方形网格，任意两条流线间的单宽流量为常量。对于曲边正方形网格，任意两条流线间的单宽流量为常量。sn qC 3、求流网的方法、求流网的方法 解析法解析法 实验法（水电比拟法）实验法（水电比拟法） 手描法手描法 水电比拟法 电场中的物理量与渗流场中的物理

17、量存在着相似关系。手描法绘制流网的步骤：1.按比例绘制流动的边界，确定边界流线和边界等势线；2. 按液流的流动趋势试绘流线；3.根据流网正交特性绘制等势线。一般绘制成曲边正方形网格;4.检验。加绘网格的对角线加以检验;初绘流网，不一定符合要求，重复步骤2、3进行修正，直至符合要求为止。 5.6.4 基本平面势流及势流叠加原理 不可压液体基本平面势流 1.平行流 速度场： 流函数： 势函数： 流 线：平行与x轴的直线。 等势线：平行与y轴的直线。1CUy2CUx 2.源与汇源与汇 速度场：速度场： 流函数：流函数： 势函数：势函数： 流流 线：为一族从原点引出的径向直线线：为一族从原点引出的径向

18、直线 等势线：为以原点为圆心的一族同心圆等势线：为以原点为圆心的一族同心圆rrurrur11 极坐标的柯西黎曼条件极坐标的柯西黎曼条件 3.势涡势涡（自由涡）（自由涡） 速度场：速度场： 流函数：流函数： 势函数：势函数： 流流 线：为以原点为圆心的一族同心圆线：为以原点为圆心的一族同心圆 等势线：为一族从原点引出的径向直线等势线：为一族从原点引出的径向直线 势流叠加原理 设有两个简单势流，其势函数分别为 ，流函数分别为 ，流速分别为 。这两个简单势流叠加后仍然为势流。势函数：流函数：流 速: 用理想液体的势流理论来研究低粘性大雷诺数情况下的粘性液体运动，所得的流速分布在除壁面附近用理想液体的

19、势流理论来研究低粘性大雷诺数情况下的粘性液体运动，所得的流速分布在除壁面附近以外的广大区域内是符合实际的，而压强分布几乎在全流场范围内都与实际一致。但在计算阻力等其他以外的广大区域内是符合实际的，而压强分布几乎在全流场范围内都与实际一致。但在计算阻力等其他问题时，则会得到错误的结果。问题时，则会得到错误的结果。 对于高粘性或小雷诺数情况下的粘性液体运动，则势流解与实际相差甚远；为此需研究粘性流体对于高粘性或小雷诺数情况下的粘性液体运动，则势流解与实际相差甚远；为此需研究粘性流体的三元流动问题。的三元流动问题。 本节研究粘性液体流动的应力特征和应力与变形率的一般关系，以便为建立不可压缩粘性液体运

20、动微本节研究粘性液体流动的应力特征和应力与变形率的一般关系，以便为建立不可压缩粘性液体运动微分方程和以后研究边界层理论打下基础。分方程和以后研究边界层理论打下基础。 液流中一点处的应力状态液流中一点处的应力状态 在粘性液流中，不但有压应力，而且有切应力存在，故其表面力可以分解成互相正交的一个法向在粘性液流中，不但有压应力，而且有切应力存在，故其表面力可以分解成互相正交的一个法向应力应力(正应力正应力)和两个切向应力。和两个切向应力。 微小正六面体液体微团各边均趋于零时，正六面体趋于一点。微小正六面体液体微团各边均趋于零时，正六面体趋于一点。A点的三个互相垂直的作用面上，有三个法向点的三个互相垂

21、直的作用面上，有三个法向应力分量和六个切向应力分量，这九个应力分量就反映了该点的应力状态。应力分量和六个切向应力分量，这九个应力分量就反映了该点的应力状态。 第一个下标表示作用面的法线方向，第一个下标表示作用面的法线方向， 第二个下标表示应力的作用方向。第二个下标表示应力的作用方向。 当作用面的外法线方向与坐标当作用面的外法线方向与坐标 轴指向一致时，应力以顺坐标轴轴指向一致时，应力以顺坐标轴 指向为正，当作用面的外法线方指向为正，当作用面的外法线方 向与坐标轴指向相反时，应力以向与坐标轴指向相反时，应力以 逆坐标轴指向为正。逆坐标轴指向为正。 应力与变形率的关系应力与变形率的关系 牛顿内摩擦

22、定律的应力与变形率成线性关系。假定在粘性液体三元流动一般情况下，应力与变形率之间仍然牛顿内摩擦定律的应力与变形率成线性关系。假定在粘性液体三元流动一般情况下，应力与变形率之间仍然保持线性关系，略去推导过程直接写出它们之间的关系。保持线性关系，略去推导过程直接写出它们之间的关系。 对于法向应力对于法向应力 以上各分式中的第二项为粘件附加压强项。对于不可压缩流体以上各分式中的第二项为粘件附加压强项。对于不可压缩流体 表明附加压强项与动力粘性系数及线变形率有关。表明附加压强项与动力粘性系数及线变形率有关。 切应力切应力 上式称为广义牛顿内摩擦定律。上式称为广义牛顿内摩擦定律。同一点的切应力，当下标互

23、换时，彼此相等。因此，粘性流体中，一点处的同一点的切应力，当下标互换时，彼此相等。因此，粘性流体中，一点处的9个分量中，只有个分量中，只有6个是彼此独立个是彼此独立的的 。 法向应力和切应力表达式反应了不可压缩牛顿流体三元流动应力与法向应力和切应力表达式反应了不可压缩牛顿流体三元流动应力与变形率的一般关系式。它包括各种特殊情况，讨论如下：变形率的一般关系式。它包括各种特殊情况，讨论如下：. 当液体静止时，；法向应力为当液体静止时，；法向应力为 ； 这里，这里，p为静水压强，仅此一个标量就能描述静止液体中一点的应力为静水压强，仅此一个标量就能描述静止液体中一点的应力状态。状态。 2当液体流动，但

24、粘性效应可以忽略不计计，即为理想液体时，式中粘性项均可略去。同样当液体流动，但粘性效应可以忽略不计计，即为理想液体时，式中粘性项均可略去。同样有有 ； 。即在理想液体中，也不存在切应力，而。即在理想液体中，也不存在切应力，而各方向的法向应力的大小就等于理想液流中动水压强各方向的法向应力的大小就等于理想液流中动水压强p。 3当粘性液体作平面流动（当粘性液体作平面流动（xoy平面），平面）， 时，则可简化为牛顿内摩擦定时，则可简化为牛顿内摩擦定律律 。而切应力表达式可看作是牛顿内摩擦定律的三元推广，因此被称为广义牛顿内。而切应力表达式可看作是牛顿内摩擦定律的三元推广，因此被称为广义牛顿内摩擦定律。

25、摩擦定律。 0uuuzyxpzzyyxx0yxxyxzzxzyyzpzzyyxx0yxxyxzzxzyyz)(,0yuuuxxyyuxyxxy粘性液体三元流动的法向应力特征粘性液体三元流动的法向应力特征 当粘性液体流动时由于粘性影响，不仅出现切应力，而且一点处各方向上的法向应力的大小也不等。由当粘性液体流动时由于粘性影响，不仅出现切应力，而且一点处各方向上的法向应力的大小也不等。由法向应力表达式可知，除法向应力表达式可知，除-p外，还有一项粘性附加压强项。如果把三个法向应力的表达式相加，则得外，还有一项粘性附加压强项。如果把三个法向应力的表达式相加，则得 对于不可压缩流体对于不可压缩流体 式中

26、式中p为粘性液体的动水压强。它的大小是三个坐标方向上法向应力的平均值。一般情况下，它是位置坐标为粘性液体的动水压强。它的大小是三个坐标方向上法向应力的平均值。一般情况下，它是位置坐标的函数，非恒定流时还是时间的函数。的函数，非恒定流时还是时间的函数。 3zzyyxxp 在研究液流内部应力特性的基础上，可根据牛顿运动定律，先在研究液流内部应力特性的基础上，可根据牛顿运动定律，先建立应力形式的运动微分方程建立应力形式的运动微分方程(应力微分方程应力微分方程)，再建立不可压缩粘，再建立不可压缩粘性液体运动微分方程性液体运动微分方程(纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程)、理想液体运动微分方、理想液体运动

27、微分方程程(欧拉方程欧拉方程)和以时均值表示的粘性液体紊流时均运动微分力程和以时均值表示的粘性液体紊流时均运动微分力程(雷诺方程雷诺方程)。 应力形式的运动微分方程应力形式的运动微分方程 在粘件液体中取一微小正六面体为控制体分析作用于控制体内液体的力。在粘件液体中取一微小正六面体为控制体分析作用于控制体内液体的力。 1质量力质量力 单位质量力单位质量力f，在，在x，y，z坐标铀的投影为坐标铀的投影为 ，总质量力，总质量力F在在x，y，z坐标铀的投影为坐标铀的投影为 则则FFFzyx、fffzyx、2表面力单位表面力为：根据牛顿第二运动定律。其x方向的分量式为上式为以应力形式表示的运动微分方程，

28、简称应力微分方程。 yxxyxzzxzyyzzzyyxx,不可压粘性液体运动微分方程不可压粘性液体运动微分方程_ N-S方程方程 对于符合牛顿内摩核定律的粘性不可压缩液体，可将反映应力特征的关系式及不可压缩液体的连续性代对于符合牛顿内摩核定律的粘性不可压缩液体，可将反映应力特征的关系式及不可压缩液体的连续性代入应力微分方程，整理可得入应力微分方程，整理可得 ： 右边为外力项：质量力、压力、粘性力；左边为加速度项右边为外力项：质量力、压力、粘性力；左边为加速度项:当地加速度和迁移加速度。各项均对单位质量当地加速度和迁移加速度。各项均对单位质量流体而言。称为不可压缩粘性液体运动微分方程。流体而言。

29、称为不可压缩粘性液体运动微分方程。2222221()xxxxxxxxyzuuuuuuupuuuXtxyzxxyz2222221()yyyyyyyxyzuuuuuuupuuuYtxyzyxyz2222221()zzzzzzzxyzuuuupuuuuuuZtxyzyxyzuutu)(2222221()xxxxxxxxyzuuuuuuupuuuXtxyzxxyz2222221()yyyyyyyxyzuuuuuuupuuuYtxyzyxyz2222221()zzzzzzzxyzuuuupuuuuuuZtxyzyxyz0yxzuuuxyz欧拉运动方程：对于理想液体。欧拉运动方程：对于理想液体。1xxxx

30、xyzuuuupuuuXtxyzx1yyyyxyzuuuupuuuYtxyzy1zzzzxyzuuuupuuuZtxyzy一一 边界层概念边界层概念二二 边界层分离边界层分离三三 绕流阻力绕流阻力sinfAFdADfpFFF22DDvFC AdApFpcos0dpuuu由图可知：由图可知：ud式中，式中，为全微分，则有为全微分，则有5.4.2 5.4.2 液体微团速度分解定理液体微团速度分解定理 000dddddddddpxxxxxyyypyyzzzpzzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyz 00011d()d()d2211()d()d2211()dd()d221

31、1()d()d221()d2yxxxzpxxyxxzyyyxzpyyyyxzzxpzzuuuuuuuxyzxyxzxuuuuyzyxzxuuuuuuuxyzxyyzyuuuuxzxyzyuuuuxxz1()dd211()d()d22yzzyzxzuuuyzyzzuuuuxyxzyz配项得出：配项得出：zyxzyxuuzyxzyxuuzyxzyxuuzzyzxzxyzzzyyyxyxzyyzxyxxxyzxxdddd0ddddddd0ddddddd0000则有：则有：zyxzyxuuuuuuzzyzxzzyyyxyzxyxxxxyxzyzzyxzyxdddddd000000改写成：改写成： rruudd0得出矢量表达式（速度分解定理）：得出矢量表达式（速度分解定理）：式中式中:为速度矢量为速度矢量为平移速度矢量为