高二数学选修2-2函数最值与零点、证明不等式

1、 函数的最值、零点以及导数的应用教学重点利用导数求函数的最值、零点的判断 、证明可以转化为函数的不等式教学难点含参函数最值的求解、含参函数零点的位置。一、函数在上最小值与最大值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象指出函数极小值，极大值，最小值，最大值。结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值思考 1. 在开区间内连续的函数一定有最大值与最小值吗？ 2. 闭区间上极大值一定是最大值，极小值一定是最小值吗？ 3. “最值”与“极值”的区别和联系是什么？（1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较

2、极值点附近函数值得出的，具有相对性（2）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值概念辨析 1下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x) ( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能典型题一求函数在上最小值与最大值例1求在的最大值与最小值求最值的步骤

3、（1）求的极值（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值A变式1 函数在-4，4上的最大值 最小值 在上的最大值为 最小值为 在上的最大值为 最小值为 A变式2已知函数在2，2上有最小值37，（1）求实数的值；（2）求在2，2上的最大值。A变式3 已知为常数），在2，2上有最大值3，求函数在区间2，2上的最小值。B变式1 已知函数f（x）=x33x+m在区间3，0上的最大值与最小值的和为14，则实数m的值为（）A1B2C9D8分析：求出函数的导函数令其等于零求出函数的驻点，分区间讨论函数的增减性得到函数的最值，求出m即可解答：解：据题意可知：f（x）=3x23，令f（x

4、）=0得：x=1；函数在区间3，0上有最值又3x1时，f（x）0，函数为增函数；x=1时，f（x）=0f（x）极大值为f（1）=2+m；1x0时，f（x）0，函数为减函数有因为f（3）=18+m，f（0）=m 且18+mm2+mf（x）的最大值为f（1）=2+m，最小值为f（3）=18+m函数f（x）=x33x+m在区间3，0上的最大值与最小值的和为14，m+2+（18+m）=14，2m=2，m=1故选AB变式2 f（x）=2x36x2+a在2，2上有最大值3，那么在2，2上f（x）的最小值是（）A5B11C29D37考点：利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：本

5、题需要先根据条件：f（x）有最大值3来求出参数a的值，再进一步求出f（x）的最小值来解答：解：由已知f（x）=6x212x，令 f（x）0得x0或x2，又因为x2，2因此f（x）在2，0上是增函数，在0，2上是减函数，所以f（x）在区间2，2的最大值为f（x）max=f（0）=a=3由以上分析可知函数的最小值在x=2或x=2处取到，又因为f（2）=37，f（2）=5，因此函数的最小值为37故应选DB变式3如果函数y=x48x2+c在1，3上的最小值是14，那么c=（）A1B2C1D2考点：利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题分析：先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大

6、小从而确定出最小值，进而求出变量c的值解答：解：y=4x316x=0解得x=0，2，2分别求出f（2）=c16，f（2）=c16，则最小值为c16=14，c=2，故选B点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间a，b上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的B变式4若函数f（x）=x33xa在区间0，3上的最大值、最小值分别为M、N，则MN的值为（）A2B4C18D20考点：利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题分析：因为要求函数的最大值和最小值，先求出函数的导函数f（x）=3x23，然后令f（x）=3x2

7、3=0得x=1，又因为函数在区间0，3取最值，所以要讨论x的两个范围0x1和1x3时f（x）的正与负，因为0x1时，f（x）0；1x3时，f（x）0所以f（1）最小，最大值要看区间的两个端点即f（3）和f（0），判断其谁大谁就是最大值，则就求出了M和N，解出MN即可解答：解：f（x）=3x23，令f（x）=0得x=1当0x1时，f（x）0；当1x3时，f（x）0则f（1）最小，则N=f（1）又f（0）=a，f（3）=18a，又f（3）f（0），最大值为f（3），即M=f（3），所以MN=f（3）f（1）=（18a）（2a）=20故答案为D点评：考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力二函数的

8、零点根据导数可得函数的单调区间，但是图像到底是与x轴交点还不清楚，也就是函数零点的情况我们还不清楚。典型题二、函数零点个数的判断例题3方程的实根个数是 ( ) 对于函数，当x趋于负无穷大时，y值也趋于负无穷大，当x趋于正无穷大时，y值也趋于正无穷大。如果是，当x趋于负无穷大时，y值也趋于正无穷大。决定零点个数的是1.单调区间 2.极值点、端点的函数值的符号A变式1 讨论函数零点的个数？A变式2已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则c=（）变式已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有一个公共点，则c=（）A变式3若函数f（x）=x33x+m有三个不同的零点，则实数m的取值范围

9、是（）A（1，+）B（，1）C2，2D（2，2）考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点菁优网版权所有专题：计算题分析：已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可解答：解：由函数f（x）=x33x+m有三个不同的零点，则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0由f（x）=3x23=3（x+1）（x1）=0，解得x1=1，x2=1，所以函数f（x）的两个极值点为 x1=1，x2=1由于x（，1）时，f（x）0； x（1，1）时，f（x）0； x（1，+）时，f（x）0，函数的极小值f（1）=m2和极大值f（1）=m+2因为函数f（x）=x33x+m有三个

10、不同的零点，所以 ，解之得2m2故选DB变式1已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A2或2B9或3C1或1D3或1分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值解答：解：求导函数可得y=3（x+1）（x1）令y0，可得x1或x1；令y0，可得1x1；函数在（，1），（1，+）上单调增，（1，1）上单调减函数在x=1处取得极大值，在x=1处取得极小值函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点极大值等于0或极小值等于013+c=0或1+3+c=0c=2或2故选AB变

11、式2 已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则c=（）变式已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有一个公共点，则c=（）已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）典型题三：零点所在区间例题5 B若方程上有实数解，求a的取值范围.A变式1 若方程上没有实数解，求a的取值范围A变式2函数f（x）=x33xm在0，2上有零点，则实数m的取值范围是（）A2，2B0，2C2，0D以上都不对分析：通过求导判断函数f（x）=x33xm在（0，2）上的单调性并求出极值，从而得到函数f（x）在0，2上的最大值和最小值，要使函数f（x）=x33xm在0，2上有零点，只需其最

12、小值小于等于0，最大值大于等于0即可解答：解：由函数f（x）=x33xm，得：f（x）=3x23=3（x1）（x+1），当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）在（0，1）上为减函数，当x（1，2）时，f（x）0，函数f（x）在（1，2）上为增函数，所以函数f（x）=x33xm在0，2上有极小值，也就是最小值，最小值是f（1）=2m，f（x）在0，2内的最大值是f（0）=m和f（2）=2m中的较大者，是f（2）=2m，P要使得函数f（x）=x33xm在0，2上有零点，则：f（1）0且f（2）0即，解得：2m2所以，函数f（x）=x33xm在0，2上有零点的实数m的取值范围是2，2故选AB变式

13、1若a2，则函数f（x）=x3ax2+1在（0，2）内零点的个数为（）A3B2C0D1考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理的应用，属于基础题解答：解：a2，则函数f（x）=x3ax2+1，f（x）=x22ax=x（x2a），显然，当0x2时，f（x）=x（x2a）0，故函数f（x）在（0，2）上是减函数再根据f（0）=10，f（2）=4a0，可得函数f（x）在（0，2）上有唯一的零点，故选：DB变式2 设函数f（x）=x34x+a，0a2若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1x

14、2x3，则（）Ax11Bx20Cx20Dx32分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1x2x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论解答：解：函数f （x）=x34x+a，0a2，f（x）=3x24令f（x）=0，可得 x=当x时，f（x）0；在（，）上，f（x）0；在（，+）上，f（x）0故函数在（，）上是增函数，在（，）上是减函数，在（，+）上是增函数故f（）是极大值，f（）是极小值再由f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1x2x3，可得 x1，x2，x3根据f（0）=a0，且f（）=a0，可得 x20故选CB变式3若方程上有实数解，求a的取值范围.决定零点区间的是1.单调区间 2.极值点、端点的函数值的符号三、用导数证明不等式可以看到，导数是个研究函数非常有力的工具，能解决函数单调性、零点问题，它还在哪些方面有用途呢？典型题三、用导数证明不等式例 已知，求证：如果定义域是开区间，x取不到端点值，由于现在所学的函数都是连续函数，所以可以把端点处x代进去，不影响单调性。证明不等式（）的问题转化为证明（），进而构造辅助函数，然后利用导数证明1.函数的单调性2.证明函数的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。1. 构造辅助函数，求其单调性2. 的最