2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选

1、333 导数的实际应用学习目标1.能利用导数解决实际问题 2 提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归 与转化的意识.戸预习导学 全挑战自我点点落实_知识链接a+b,设两正数之和为常数c,能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式一 2 厂ab(a,b0)?答：设一个正数为X,则另一个正数为cX,两数之积为f(x) =x(cx) =cxX2(0 xab(a0,b0)，即 ab(a,b0)，当且仅当a=b时等号成立.预习导引1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化冋题的基本思路是优化问题1 优化问

2、题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程戸课堂讲义/里点难点，个个击破_要点一用料最省问题例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距 50 千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和 5a元，问供水站C建 在岸边何处才能使水管费用最省?C X D若设这两个正数分别为a,2解 如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x千米，则BC=dBD+cD=XV40，又设

3、总的水管费用为y元，依题意有yr-25ax=3a（50 x） + 5a x+ 40 （0 x50）.二y= 3a-22.Yyjx+ 40令y= 0,解得x= 30 或x= 30（舍去）.在（0,50） 上,y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x= 30 处取得最小值，此时AC=50 x= 20 （千米）.供水站建在A、D之间距甲厂 20 千米处，可使水管费用最省.规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.跟踪演练 1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为

4、每小时 10 海里时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问轮船的速 度是多少时，航行 1 海里所需的费用总和最小？3解 设速度为每小时V海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p=kV,其6中k为比例系数，它可以由v= 10,p= 6 求得，即k= 103= 0.006 ,于是有p= 0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行 1 海里所需的总费用为q元，那31么每小时所需的总费用是 0.006v3+ 96（元），而航行 1 海里所需时间为v小时，所以，航行 1海里的总费用为：13296q= (0.006v+ 96) = 0.006v+.vvq=

5、 0.012v,= (v3 8000),v v令q= 0,解得v= 20.v当v20 时，q 20 时，q 0, 当v= 20 时取得最小值，即速度为 20 海里/时时，航行 1 海里所需费 用总和最小.要点二面积、容积的最值问题例 2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小?3解 设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为(x 20)cm,yz225cm,其中x20,y25

6、.y 25两栏面积之和为 2（x 20） = 18000,广告的面积S=xy=x泻+ 25=込20j（川 Lxx 360000+25=x2（）2+25.令S0 得x140，令S0 得 20 x0);固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为y=aS+bv2S=sa+vv电由题意s、a、b、v均为正数.由y=s bv= 0 得v=，；匕但v (0 ,c.由V=VnRfh,得h=则S(R)=2nRnV=2+2n氏=罟+ 2n氏，令S(R)

7、=-2VR2-v，全程运输成本为J?卜 4nR= 0,解得而h=所求函数为bv，定义域(0 ,c度为 5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小?51若，c,则当v=a时，全程运输成本y最小;2若 ，bc，则v (0 ,c,此时y 0,即y在(0 ,c上为减函数.所以当v=c时，y最小.综上可知，为使全程运输成本y最小，当,bc时，行驶速度V=C.规律方法正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路另外需注意：1合理选择变量，正确给出函数关系式.2与实际问题相联系.3必要时注意分类讨论思想的应用.跟踪演练 3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C

8、= 100+ 4q,价格p与产量q1的函数关系式为p= 25 q.求产量q为何值时，利润L最大？f 1 12解收入R= qp=q25 = 25q,利润L= RC= 25q gq? (100 + 4q)12=gq2+ 21q 100(0q200)1L，= &q+ 211令L= 0,即4q+ 21 = 0,求得唯一的极值点q= 84.所以产量为 84 时，利润L最大.軍当堂检测/当堂训练.体验成功_1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油， 需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单13 2位：C)为f(x) = -xx+ 8(0 0).8得x=加V.则x= 萌V是函数在(0 ,+)上的一

9、个极值点，且是S的最小值点.3.在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它沿虚线折起， 做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少?3232V(x) = 60 x qx令 V(x) = 60 x- qx= 0,解得x= 0 (不合题意，舍去)或x= 40,因为x (0,40)时V(x)0,V(x)是增函数,x (40,60)时 V(x)0,V(x)是减函数.所以x= 40 时V(x)取极大值，也是最大值，并求得V(40) = 16000.即当底面边长为 40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.4统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中

10、每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y= 琵亦x3和+ 8(0 xw120) 已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？100解 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为x133 c 1001280015依题意得h(x)= 面 00X80X+8X面x+ 三1(0 xw120),33,x800 x 80h(x) =r=r(0 x 120).640 x640 x令h(x) = 0，得x= 80.因为x (0,80)时，h(x)0,h(x)是增函数，所以当x= 80 时，h(x)取得极小值h(80) = 11.25(升).因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，设箱底边长为xcm,则箱高h=箱子容积V(x)=x2h= 叮(0 x 60).h(x)升,6060 -x2cm,9所以它是最小值