必修一1.3.2函数的奇偶性

1、XYoOXY函数的基本性质函数的基本性质2 2 函数的奇偶性函数的奇偶性0 xy123-1-2-31234560 xy123-1-2-3123456观察下面两个函数图象，它们有什么共同特征？观察下面两个函数图象，它们有什么共同特征？结论：这两个函数的结论：这两个函数的图象都关于图象都关于y轴对称轴对称。y=x2y=|x|yx20123-1-2-313456f(-3)= 9 y=x29410149-1x-3 -20123f(-x) f(x)表（表（1）填写表（填写表（1），你发现了什么？），你发现了什么？f(-1)= 1f(-2)= 4x-xy=x2=f(1)=f(2)=f(3)=特点：特点：当

2、自变量当自变量x x取一对相反数时，取一对相反数时， 相应的两个相应的两个函数值相等函数值相等.x0y123-1-31234563210123-1x-3 -20123填写表（填写表（2），你发现了什么？），你发现了什么？-2f(-2)= 2 =f(2)f(-1)= 1 =f(1)f(-x) = f(x)y=|x|f(-3)= 3 =f(3)表（表（2）y=|x|特点：特点：当自变量当自变量x x取一对相反数时，取一对相反数时，相应的两个相应的两个函数值相等函数值相等.函数奇偶性的定义：函数奇偶性的定义：如果对于函数如果对于函数y=f(x)的的定义域定义域内的内的任何任何一个，一个，都有都有f(

3、-x)=f(x)则这个函数叫做则这个函数叫做偶函数偶函数 观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗？观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗？-30 xy123-1-2-1123-2-30 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x1( )f xx3210-1-2-3-1x-3-2012 3f(-3)= -3 =0 xy123-1-2-1123-2-3f(-x) -f(x)f(x)=x填写表（填写表（3），你发现了什么？），你发现了什么？f(-1)= -1f(-2)= -2 =x-x表（表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x特点：特点：当自变量当自变量x取一对相反

4、数时，取一对相反数时， 相应的函数值也是相反数相应的函数值也是相反数0 xy123-1-2-1123-2-31( )f xx填写表（填写表（4），你发现了什么？），你发现了什么？ f(-3)= =-f(3)f(-1)= -1 =-f(1)f(-2)= =-f(2)f(-x) = -f(x)13210-2-3x1( )f xx-113121213-11213表（表（4）特点：特点：当自变量当自变量x取一对相反数时，取一对相反数时， 相应的函数值也是相反数相应的函数值也是相反数函数奇偶性的定义：函数奇偶性的定义：如果对于函数如果对于函数y=f(x)的的定义域定义域内内的的任何任何一个，一个，都有都

5、有f(-x)= - f(x)则这个函数叫做则这个函数叫做奇函数奇函数函数奇偶性的定义：函数奇偶性的定义：如果对于函数如果对于函数y=f(x)的的定义域定义域内的内的任何任何一个，都有一个，都有f(-x)= -f(x)则这个函数叫做则这个函数叫做奇函数奇函数如果对于函数如果对于函数y=f(x)的的定义域定义域内的内的任何任何一个，都有一个，都有f(-x)=f(x)则这个函数叫做则这个函数叫做偶函数偶函数注意：注意：如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函是奇函数或偶函数，那么我们就说函数或偶函数，那么我们就说函数数 f ( x ) 具 有具 有 奇 偶 性奇 偶 性奇函数的图象奇函数的图象( (如

6、如y=xy=x3 3 ) )偶函数的图象偶函数的图象( (如如y=xy=x2 2) )yxoaaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-ayxoaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-a图像特征图像特征奇函数的图象奇函数的图象( (如如y=xy=x3 3 ) )偶函数的图象偶函数的图象( (如如y=xy=x2 2) )偶函数的图象偶函数的图象关于关于y轴对称轴对称.奇函数的图象奇函数的图象关于关于原点原点对称对称.反之反之,若一个函数的若一个函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称，那么这个函数是奇那么这个函数是奇函数函数反之反之, 若一个函数若一个函数的图象关于的图象关于 y 轴对

7、轴对称称,那么这个函数是那么这个函数是偶函数偶函数图像特征图像特征定义域关于原点对称定义域关于原点对称2()fxx,1,2x 是偶函数吗？是偶函数吗？问题：问题：1.0 x123-1-2-3123456y不是。不是。解解：前提条件前提条件( ),1,f xx x 问题：问题：2 是奇函数吗？是奇函数吗？-30 xy123-1-2-1123-2-3不是。不是。例：例：y=x30奇偶函数的单调性奇偶函数的单调性y=x2例：例：奇函数：奇函数：对称定义域对称定义域单调性单调性相同相同偶函数：偶函数：对称定义域对称定义域单调性单调性相反相反慧眼识图将下面的函数图像分成两类将下面的函数图像分成两类Oxy

8、0 xy0 xy0 xy0 xy0 xy判断下列语句判断下列语句1、偶函数图像关于、偶函数图像关于y轴对称轴对称 。（。（ ）2、一个函数的图像关于、一个函数的图像关于y轴对称，那么轴对称，那么这个函数就是偶函数。这个函数就是偶函数。 （ ）3、关于、关于y轴对称的图像就是偶函数的轴对称的图像就是偶函数的 图像。（图像。（ ）对对对对错错(1)(2)(3)(4)偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数ooooxxxxyyyy例例1、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性：例例2 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，是偶函数，它在它在y轴右边的图象如图，轴

9、右边的图象如图，画出画出y=f(x)在在 y轴左边的图象轴左边的图象.OyxOyx例例2 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴轴右边的图象如图，画出右边的图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边轴左边的图象的图象.解解: :Oyx例例2 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴轴右边的图象如图，画出右边的图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边轴左边的图象的图象.解解: :练习练习1 .已知已知f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)是是奇函数，试将下图补充完整。奇函数，试将下图补充完整。00yxf(x)yxg(x). f(x)=x4 _ f(x)=x

10、_ f(x)=x5 _练习练习2： 说出下列函数的奇偶性说出下列函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数 f(x)=x2 2 _ f(x)=x 3 _ 结论结论 一般的，对于形如一般的，对于形如f(x)=xn的函数的函数:若若n为偶数，则它为偶函数为偶数，则它为偶函数.若若n为奇数，则它为奇函数为奇数，则它为奇函数. f(x)=x 1_非奇非偶函数非奇非偶函数偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数= (x3+2x)= f(x)解解: :f( x)=( x)3+2( x)= x3 2xf(x)为奇函数为奇函数f( x)=2( x)4+3( x)2=2x4+3x2=f(x)f(x)为偶函数

11、为偶函数定义域为定义域为R解解: : 定义域为定义域为R(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2例例3 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：判断判断奇偶性步骤：奇偶性步骤：一看一看 定义域定义域 二找二找 关系关系 f f( ( x x)= )= f f( (x x) ) 或或 f f( ( x x)=)=f f( (x x) )三判断三判断 奇或偶奇或偶(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解解: (3) f(x)的定义域为的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数为偶函数解解: (4)定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0 又又 f(

12、-x)=-f(x)=0f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数yox5oyxf(x)=c (c0且为常数）且为常数）常见的偶函数常见的偶函数既奇又偶的函数既奇又偶的函数 有且只有一类：即有且只有一类：即f(x)=0，x属于属于D，D关于原点对称关于原点对称 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x- 1 , 3解解: (5) f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1 f(-x)f(x) 且且f(-x) f(x) f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数解解: （6）定义域不关于原点定义域不关于原点 对对 称称 f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数yoxox-13yf(x)的定义域为的定义域为R想一想？想一想？若奇函数定义域内有若奇函数定义域内有0 0则则f f（0 0）= = ？22( )11f xxx判断函数判断函数的奇偶性。的奇偶性。练习练习 、若在上是奇函数，且则1f x-5,5f 3 f 1 ,1f x-5,5f 3 f 1 , A) f