抛物线的几何性质(课堂版)分解

1、定义：在平面定义：在平面内内,与一个定点与一个定点F和一条定直和一条定直线线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 一、温故知新一、温故知新1.到定点到定点(3,5)与定直线与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是的距离相等的点的轨迹是( )A.圆圆 B.抛物线抛物线C.线段线段

2、 D.直线直线 练习练习解析解析:(3,5)点在直线点在直线2x+3y-21=0上上,所以到所以到(3,5)与与定直线距离相等的点是过定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线且与直线垂直的直线.D练习练习：2.填空（顶点在原点，焦点在坐标填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下 (1)令令x=0,由方程由方程x-2y-4=0得得y=-2,当抛物线的焦点为当抛

3、物线的焦点为F(0,-2)时时,设抛物线方程为设抛物线方程为x2=-2py(p0),则由则由 =2得得p=4,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y.令令y=0,由方程由方程x-2y-4=0得得x=4,当抛物线的焦点为当抛物线的焦点为F(4,0)时时,设抛物线方程为设抛物线方程为y2=2px(p0),则由则由 =4得得p=8,所求抛物线方程为所求抛物线方程为y2=16x.综上综上,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y或或y2=16x.2p2p题型一题型一 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程练习练习3:求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在

4、直线焦点在直线x-2y-4=0上上;（2） 求焦点在求焦点在x轴上轴上,且点且点A(-2,3)到焦点的到焦点的距离是距离是5的抛物线的方程的抛物线的方程,并写出它的焦点坐并写出它的焦点坐标与准线方程标与准线方程.2222222x,y2px(p0),FFA5:2)035 ,p8p480,p12p4,p12,y24x,6,0 ,x6,p4,y8x,2,(,0),0 ,x2.2(2pp 解焦点在 轴上 可设抛物线方程为则焦点为由得即解得或当时 抛物线的方程为它的焦点坐标为准线方程为当时 抛物线的方程为它的焦点坐标为准线方程为探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手

5、电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。的理论依据。练习练习4：探照灯反射镜的轴截面

6、是抛物线的一部分，光源：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解解:所在平面内建立直所在平面内建立直角坐标系角坐标系,使反射镜使反射镜的顶点与原点重合的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得由条件可得A (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=445故所求抛物线

7、的标准方程为故所求抛物线的标准方程为: y2= x,245焦点为焦点为( ,0)845抛物线的几何性质抛物线的几何性质标准标准方程方程图形图形焦点焦点准线准线)0 ,2(p)2,0(p)2, 0(p)0 ,2(p2px 2px2py2py )0(22ppxy) 0(22ppxy)0(22ppyx) 0(22ppyx0 x0 x0y0y轴x轴x轴y轴y)0 , 0() 0 , 0()0 , 0()0 , 0(1e1e1e1ex xy yo oF Fx xy yo oF Fx xy yo oF Fx xy yo oF F范围范围对称对称轴轴顶顶点点离心离心率率补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且

8、垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。00

9、20202020122222322422 ,.( ),|;( ),| -( ),|( ),| -P xypypxPFxpypxPFxpxpyPFypxpyPFy 抛抛物物线线上上一一点点与与焦焦点点的的连连线线叫叫抛抛物物线线的的焦焦半半径径 抛抛 物物线线的的焦焦半半径径 2212225 ( ),_.( ),_:.yxPPyxA BAB抛抛物物线线上上一一点点 到到焦焦点点的的 距距离离为为 则则 点点的的坐坐标标标标为为抛抛物物线线上上两两点点到到焦焦点点的的距距离离 之之和和是是则则线线段段中中点点横横坐坐标标是是例例1 17742:,P答答案案2.:答答案案KFOxyAB2124,.y

10、xA BAB斜斜率率为为 的的直直线线过过抛抛物物线线的的焦焦点点 与与抛抛物物线线交交于于两两点点 求求线线段段的的长长例例211221212221212121211610611 148222628:,:(,),(,),|():| ()()AByxxxA xyB xyxxx xABxxxxppABxxxxp 解解法法直直线线的的方方程程为为代代入入双双曲曲线线方方程程得得设设则则解解法法112221221221221212223242 ,( ),|;( ),|( ),|( ),|A x yB xyypxABxxpypxABpxxxpyAByypxpyABpyy抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦过过

11、抛抛物物线线焦焦点点的的弦弦叫叫焦焦点点弦弦 设设焦焦点点弦弦端端点点则则 2112212203,.|):|.(ypx pFlA x yB xyABxxp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物例例线线于于两两抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问: :点点题题1 1 求求证证121222:()()ABAFBFppxxxxp解解21122220322.(),.,.si:nypx pFlA x yB xyplAB已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题点点若若 的的倾倾斜斜角角为为则则2

12、22121212222222221202112121:,:()tan ,tan:,tan,tan()tantansinABpABpyplyxxypyppy ypyypAByyp 解解 若若则则此此时时为为抛抛物物线线的的通通径径结结论论得得证证若若设设直直线线 的的方方程程为为即即代代入入抛抛物物线线方方程程得得22(,)xy11(,)xy 与直线与直线的倾斜角的倾斜角无关无关! 11(,)xy11(,)xy11(,)xy22(,)xyMN211222303,.,.():ypx pFlA x yB xy例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线

13、交交抛抛物物线线于于两两点点焦焦点点弦弦中中 通通题题径径最最短短问问 2222221221223:sinsin,sin,:;,;.:pABppABpp 解解 由由问问题题 知知: :的的最最小小值值为为即即通通径径最最短短. .通通径径的的长长度度通通径径越越大大 抛抛物物线线开开口口越越大大通通径径是是抛抛物物线线的的所所有有焦焦点点弦弦中中通通径径的的性性最最短短的的质质2112222121234204.(),.:.:,ypx pFlA x yB xypx xy yp 例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于

14、两两点点求求证证212221212221212222244:,()y ypyyxxppy yPx xP 解解 由由问问题题 的的解解法法知知: :211222305,.):(ypx pFlA x yB xyAB已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点求求证证例例抛抛物物以以为为直直线线的的焦焦径径的的圆圆点点弦弦与与问问题题问问题题准准线线相相切切111111222:,.ABMA B MA B MAABBAFBFABMM解解 设设的的中中点点为为过过分分别别作作准准线线的的垂垂线线垂垂足足分分别别为为则则结结论论得得证证211222011236,.:.(

15、):ypx pFlA x yB xyFAFBp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交例例抛抛物物线线于于两两抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题题题点点问问求求证证222222111111111222220411112:, ,cos,coscoscos,.:,(),()A BxR SlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpyk xlkypxk pk xp kxpFAFBxx解解法法过过作作 轴轴的的垂垂线线 垂垂足足分分别别为为直直线线 的的倾倾斜斜角角为为同同理理解解法法若若直直线线 的的斜斜率率不不存存在在 结结论论显显然然成成立立若若直直线线 的的斜斜率

16、率存存 设设为为则则222pp2112211113720,.,.():ypx pFlA x yB xyA BA BAFB F已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点过过分分别别作作准准例例抛抛物物线线的的焦焦点点线线的的垂垂弦弦问问题题问问题题线线 垂垂足足分分别别为为则则1111111111111190:,/ /,.AAAFAAFAFAAAOFAAFAFOAFOAFAB FOB FBAFBAFBF 解解同同理理2112211111121111112221113820123454,.,.(,( );( );( );( ),;( ).):ypx pFlA

17、x yB xyABMA B MA B MAMBMABM FM FAFBFAMAFH BMB FQM Q F HAMM BM M已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点设设的的中中点点为为过过分分别别作作准准线线的的垂垂线线 垂垂足足分分别别为为则则设设与与交交于于与与交交例例于于则则四四点点共共圆圆抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题11111111111111111111111111211111111290903490:( ),.( ),;( );( ),MABAMBMAFBMABA MM FM FAM AFAAFAFAAAFFA MAA MA

18、FAAFMMFABM FAFBFAMBMAM BAFB FAFB 解解在在以以为为直直径径的的圆圆上上为为直直角角三三角角形形是是斜斜边边的的中中点点又又11222211222111190524,;( )M Q F HAMM BABAFBFAABBMMMM四四点点共共圆圆2112211111120123439,.( ) ,;( ) ,;( ),;( ),.(;):ypx pFlA x yB xyA O BB O AAOBBBxBOAAAx已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点三三点点共共线线三三点点共共线线设设直直线线与与准准线线交交于于则则平平行行

19、轴轴设设直直例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题线线与与准准线线交交于于则则平平行行题题轴轴问问11112221112212221222222234:,.( ),( ),( ).oAoBoAoByyyypkkpyxyppypy ypkkppyA O B 解解而而三三点点共共线线同同理理可可证证21122312011120,.,.():,.|ypx pFlA x yB xyCDFCDABABCDp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点若若是是过过 的的抛抛物物线线的的另另例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题一一条条弦弦 且且则则02202

20、2222901112:,:,sin,sin ()cos|ABCDpABppCDABCDp解解直直线线CDCD的的倾倾斜斜角角为为90 +90 +由由问问题题 的的结结论论211222203211,.sin.():AOBypx pFlA x yB xypS已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题题题物物线线于于两两点点问问02211221212122 22:sinsinsinsinsinsinsinOABOBFAFSSSOFBFOFAFOFAFBFOFABppp解解与抛物线有关的定值，最值问题与抛物线有关的定值，最值问题例例4:已知抛物

21、线已知抛物线x2=4y,点点P是抛物线上的动点是抛物线上的动点,点点A的的坐标为坐标为(12,6).求点求点P到点到点A的距离与点的距离与点P到到x轴的距轴的距离之和的最小值离之和的最小值.故故|PA|+y= |PA|+|PF|-1,由图可知由图可知,当当A P F三点共线三点共线时时,|PA|+|PF|取最小值为取最小值为|AF|= 13.故所求距离之和的故所求距离之和的最小值为最小值为|AF|-1=12.变式训练变式训练1:(2008辽宁高考辽宁高考)已知点已知点P是抛物线是抛物线y2=2x上的一上的一个动点个动点,则点则点P到点到点(0,2)的距离与的距离与P到该抛物线准线的距离到该抛物

22、线准线的距离之和的最小值为之和的最小值为( )179.3. 5.22ABCD22117(0)(20).22d最小距离A变式训练变式训练2：已知抛物线：已知抛物线y2=2x的焦点是的焦点是F,点点P是抛物是抛物线上的动点线上的动点,又有点又有点A(3,2),求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并求出取最小值时并求出取最小值时P点坐标点坐标.26.6x3y2x,yA.2,解 将代入抛物线方程得点 在抛物线内部21277,Pl:xd,PAPFPAd,APl, PAd,PAPFP2,y2x,x2.P2,22.,2 设抛物线上点 到准线的距离为由定义知由图可知 当时最小最小值为即的最小值为此时 点纵

23、坐标为代入得点 坐标为 22( ,0)y2x.1AP,PA. 2P,Pxy30,.,3已知抛物线设点 的坐标为在抛物线上求一点使最小在抛物线上求一点使 到直线的距离最短 并求出距离的例 :最小值5题型四题型四 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题 222222(3211()2().333 1P x,y ,PA)yx0,x0,P2,3AAP 0,0 .xxxx解设则 且在此区间上函数单调递增 故当时有最小值离 点最近的点题型四题型四 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题 20200000020| 21:P x ,yy2x,Pxy33|3|222|(1)5|,2 25 2.41(

24、,10y1.2,d)Pyyxydy方法设点是抛物线上任一点则 到直线的距离为当有最小值点 的坐标为题型四题型四 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题22,yxOA OBABx 过抛物线的顶点作两条互相垂直的例弦求证:直线与 轴的交点6：为定点.:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立222,AAxykkxyxky212联立22,2BBxkyk (1)k 22222212ABkkkkkkk.FxOyBA22222:y(),1(2)1kABxkkkkyxk即 ABx直线与 轴的交点为定点(2, 0).1,(2,0)kAByAB 当时 轴与x轴相交于点,(2,0).AB 综上所述 直线与x轴的交点为定点22222212ABkkkkkkk.FxOyBA1122( .), (,),AB:A x yB xyykxb另解 设xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即:2ABykxk)0 , 2(轴交点与x.FxOyBA,(2,0)AByAB当 轴时与x轴相交于点 综综上上所所述述, ,直直线线A AB B与与x x轴轴