圆的轨迹问题,有迹可循,突破难点有绝招

1、圆的轨迹问题，有迹可循，突破难点有绝招动点轨迹问题、 最值问题历来是中考的难点和热点。 学生需要在考场短时间思考 出动点的运动轨迹确实不是一件容易的事情， 如果平时不能有对图形本质的理解 和把握，很难在考试中解决此类问题。 在初中阶段，我们会遇到两种轨迹问题，一个是圆弧，一个是线段。它们分别对 应不同的知识点。 圆弧上的点到定点的距离等于定长， 线段上的点到直线的距离 也等于定长。 但是在实际的考查过程中， 我们往往不是事先知道动点所形成的轨 迹。而需要我们结合题目中的条件， 来分析出问题是不是轨迹问题， 是哪种轨迹 问题，它们常见的处理方法又是什么呢？ 首先我们先给轨迹下个定义， 简单的说就

2、是： 动点在空间或者平面内移动， 它所 通过的全部路径叫做这个点的轨迹。 我们在理解这个定义时， 可从下列几个方面 考虑：(1) 符合一定条件的动点所形成的图形， 或者说，符合一定条件的点的全体 所组成的集合， 叫做满足该条件的点的轨迹。 (2)凡在轨迹上的点都符合给定的条 件，这叫做轨迹的纯粹性 (也叫做必要性 )。(3) 另外凡不在轨迹上的点都不符合给 定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性 )。初中阶段会接触到的曲轨迹一般是圆或者圆弧， 比如旋转问题中； 当然动点也可 能在双曲线或者抛物线上运动，这都属于曲轨迹； 类型 1 圆的问题中隐含圆的轨迹问题

3、1 如图，扇形AOD中，/AOD = 90 ,0A = 6,点P为弧AD上任意一点(不 与点A和D重合),PQ丄0D于Q，点I为OPQ的内心，过 0,1和D三 点的圆的半径为r则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（)r = 3C. 3v rv3v3D. r = 3v2【解析】连01, PI, DI，由OPH的内心为I,可得到/PIO = 180 -!P0 -ZIOP = 180 -/2 （ZHOP+ ZOPH ） = 135。，并且易证zOPI也QDI，得到/DIO =/PIO = 135。，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；过D、I、O三点作。O ，如图，连O D

4、，OO,在优弧AO取点P,连PD，PO,可得 ZDP O = 180。-35 -45。，得ZO O = 90 ,O O2.如图，在。O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰AABC的底边BC所在直线经过点D .若O O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A. 2-3B. - 1C. 2D .1【解析】利用圆周角定理确定点 C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系 求得0C长度的取值范围.如图，连接 OA、OD，则AOAD为等边三角形， 边长为半径1.作点O关于AD的对称点O ，连接O A、O D，则AO AD也 是等边三角形，边长为半径1，3 二菩笑2 二並.由确可知ACB aABC3

5、0 fAACB-zAODt :.点 力在半径为1的0 O上运动.由圏可知OU氏度的取值范圉是；3-1 OG価+L 故选：R3 .如图，在 ABC 中，AC = 4V3，BC = 9，ZACB = 60 ,AM /BC，点 P 在射线AM上运动，连BP交AAPC的外接圆于点E,则AE的最小值为【解析】：如图，连接CE.0AM /BC,：dMAC =ZACB = 60zCEP=/CAP = 60 ,ABEC= 120 ,占为半経的志上运动（巴FOO是等腰三角形,BOC= 12008- OC= 3击）#连接 61交征于E ,此时月F的值最小.卩匚二 60 丄己ECO二 30Cd 9CT f 仪cOA

6、 = （严斗収2 二 53 / *AE = OA - OE - 5V3 33= 23 *：AE的最小值为23 -故答棄为：2価4. （2020?武汉模拟）如图，。O的半径为1，点D为优弧AB上一动点，AC丄AB交直线BD于C,且/B = 30。，当ACD的面积最大时，/ BAD的度数根据圆周角定理得到/ AOD=2 ZB = 60，则OAD为等边三角形，所以AD二OA二1，而ZC= 60。，利用圆周角定理可判 断点C在AD为弦，圆周角为60。的弧上运动，根据三角形面积公式，当C在 弧AD的中点时AADC的面积最大，此时ZCAD = 60 从而得到/ BAD = 30 .类型2非圆问题中隐含圆的

7、轨迹问题5. （2019秋？罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB = 20 , AD = 30，点E, F分别是AB, BC边上的两个动点，且 EF= 10,点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接 CH、GH，贝U GH+CH的最小值为【解析】：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动.作C关于AD的对称点C，连接CB，交AD于H，交以D为圆心，以5为半径的圆于G。由两点之间线段最短，此时 CB的值最小贝U GH + CH的最小值=50 5 = 45，6. 如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边若AB = 6，则PC的最大值为【解析】首

8、先证明厶ACEzDCB，再证明PC平分ZAPB，且ZAPB = 120。，作APB的外接圆，延长PC交8PB的外接圆于点Q ,VzAPB = 120。是定值，/APQ = /BPQ = 60 ,QA = QB，点Q是定点，.当PQ丄AB时，PC的长最大，此时 PA= PB，AC = BC，PC= AC?tan30。书 x3/3.故答案为V 3.7 .如图，在三角形 ABC 中，AC = 3，BC = 4 v2，ZACB = 45 ,AM /BC，点 P在射线AM上运动，连接BP，D为线段BP上一点，且/CDP = /CAP，F为AC上一点，贝U FD+BF的最小值为 .【解析】：如图，作线段B

9、C的垂直平分线，垂足为 Q,在线段BC的垂直平分线上取一点0,使得0Q = BQ = CQ，以0为圆心，0B为半径作。0,交直线 0Q 于 E,连接 EB, EC, 0C, 0B ./BDC = 180 F5 T35 ,：PDC = 45 ,AM /BC,./PAC=ZACB = 45 ,二 PDC = /PAC,点D在弧BC上运动，作点B关于AC的对称点B,连接CB,OB ,FB,作BH丄OQ于H .VFB+DF = FB+DF.当D , F, B 共线时,BF+DF的最小值为线段DB 的长，由题意 r CB 二 CB- QH二 42 , CQ- OQ- HE 二 3罷川 6 = 4（2冋J

10、（皈严址 d-DBOB ODt /.Pff4V5-4 r :BD 十/V 的最小值为 4苗 4.*8 .（ 2019秋？清江浦区期末）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC中，AB = AC,/BAC = 90 ,D是KBC外一点，且 AD = AC,求ZBDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助。A，则点 C、D必在。A 上, ZBAC是。A的圆心角，而/ BDC是圆周角，从而可容易 得至UZBDC = .(2) 【问题解决】如图 2，在四边形 ABCD 中，/BAD =/BC

11、D = 90 ，BDC = 25。，求启AC 的数.(3) 【问题拓展】如图3,如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE= DF.连 接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H .若正方形的边长为2，则线段 DH长度的最小值是 .【解析】：(1)如图 1 , VAB = AC , AD = AC ,以点A为圆心，点B、C、D必在。A 上,VB3AC是。A的圆心角，而B BDC是圆周角，/./BDC = 1/2 ZBAC = 45 ,故答案是：45 ;(2)如图2，取BD的中点0,连接AO、C0.vzBAD = /BCD = 90点A、B、C、D 共圆，：/BDC = ZBAC ,

12、vzBDC = 25 ,ABAC = 25 ,(3)如图 3，在正方形 ABCD 中，AB = AD = CD，/BAD = ZCDA , ZADG= /CDG ,易证zABE也QCF (SAS), /-Z1 =/2,易证zADG /CDG (SAS), az2 = /3 , a/1 =/3 ,V/BAH+ Z3 = /BAD = 90 , 1+ /BAH = 90 , zAHB = 180 -90 =90 ,取AB的中点O,连接OH、OD ,mil OH- AO-AS-l ft RAOD 中 f OD-低庄乔二訴石歹二 Vs根据三角形的三边关系,OHDH OD ,当Q D、H三憨皴时口7旳长度最爪,最小值二OD-OA/=V5 1(解法二：可以理解为点丹是在Rt“呦直径的半圆亦上运动当O、H、。三点共线时0鬥长度最小),故答秦为：価1 r题目中没用明确给出(隐形圆)：