2020年上海市徐汇区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)

1、2020年上海市 徐汇区高三一模数学试卷(含答案) (精校 Word版)2019.12 一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54分，第 1-6题每题 4分，第 7-12题每题 5 分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知集合 M x|x 2，集合 N x|x 1 ，则M N 2向量 a =(3,4)在向量 b =(1,0)方向上的投影为 113 二项式 3x 1 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为 1+i4复数 1+i 的共轭复数为 3 4i5已知 y f (x)是定义在 R上的偶函数，且它在 0, ) 上单调递增，那么使得 f( 2) f(a)成 立的实数 a 的取值范围是

2、6. 已知函数 f (x) arcsin(2x 1) ，则 f 1( ) 6217已知 x R，条件 p：x2 x，条件 q： a(a 0)，若 p是q的充分不必要条件，则实数 a x的取值范围是 .8已知等差数列 an 的公差 d 3， Sn表示 an 的前 n项和，若数列 Sn 是递增数列，则 a1的取 值范围是 .9数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2 的四位数的个数为 10过抛物线 C:y2 2x的焦点 F，且斜率为 3的直线交抛物线 C于点 M(M在 x轴的上方)， l 为抛物线 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为 11 已 知

3、 数 列an的 前 n 项 和 为Sn， 对 任 意 nN*，Sn(1)n an1nn 3 且2n (a1 p)(a2 p) 0 ，则实数 p的取值范围是.4x+1,x 112 已知函数 f x 2 关于 x的不等式 f x mx 2 m 2 0的解集是 x2 6x 10,x 1,x1,x2x3,.若 x1x2x3 0 ，则 x1 x2 x3 的取值范围是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题 纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13 过点 （ 1,0） ，且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线的方程为 （ ）53A. 3x

4、 5y 3 0 B. 3x 5y 3 0 C. 3x 5y 1 0 D. 5x 3y 5 014一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是 （ ）A. 1:2 B. 1:8 C. 2:2 D. 2:42 2 2 215若圆 C1:x2 y2 1和圆 C2 :x2 y2 6x 8y k 0没有公共点，则实数 k的取值范围是 （ ）A 9,11 B 25, 9C, 9 11,D 25, 9 11,16设 H 是 ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0,则 cos BHC的值为10D7014徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第页三、解答题（本

5、大题共有5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分 14分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分） 如图所示，圆锥 SO的底面圆半径 |OA| 1，母线 SA 3 （ 1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积； （2）过点 O在圆锥底面作 OA的垂线交底面圆圆弧于点 P,设线段SO中点为 M ,求异面直线 AM 与PS 所成角大小18（本题满分 14 分，第（ 1）小题 6分，第（ 2）小题 8分） 设函数 f （x） x2 |x a|（ x R， a 为实数）1）若 f（x） 为偶函数，求实数 a的值；2）设 a 21，求函数 f （x）

6、的最小值（用 a表示）19. （本题满分 14分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）如图， 某市郊外景区内一条笔直的公路 a经过三个景点 A，B，C 景区管委会又开发了风景优 美的景点 D 经测量景点 D 位于景点 A的北偏东 30 方向 8km处，位于景点 B 的正北方向，还位 于景点 C的北偏西 75 方向上已知 AB 5km 1）景区管委会准备由景点 D 向景点 B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的Aa长（结果精确到 0.1km ）（2）求景点 C 与景点 D 之间的距离 （结果精确到 0.1km）20. （本题满分 16 分，第（ 1）小题 4 分，第（

7、2 ）小题 6 分，第（ ,3 ）小题 6 分）22xy已知椭圆 : 2 2 1，（a b 0）.点A为椭圆短轴的上端点， P为椭圆上异于 A点的任一点 . 若 abP点到 A点距离的最大值仅在 P点为短轴的另一端点时取到， 则称此椭圆为 “圆椭圆” . 已知 b 2. （1）若 a5, 判断椭圆 是否为“圆椭圆” ;（2）若椭圆 是“圆椭圆” ,求 a的取值范围 ;（3）若椭圆 是“圆椭圆”，且a取最大值， Q为P关于原点 O的对称点， Q也异于 A点. 直线 AP、 AQ分别与 x轴交于 M 、 N两点，试问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？证明你的结论 .21. （本题满分 18 分，

8、第（ 1）小题 4分，第（ 2）小题 6分，第（ ,3）小题 8 分）给正有理数 mi ， j （i j;i，j N*;mi,ni,mj,nj N*且mi mj和ni nj不同时成立 ）, 按以下规 ni nj则 P排列：若 minimjnj,则 mi 排在 mj的前面； 若 minimjnj且ninj,则 mi排nin jnimj1 2 1在 j 的前面，按此规则排列得到数列an ，（例如 , , , ） .nj1 1 2（ 1）依次写出数列 an 的前 10 项；（2）对数列 an 中小于 1 的各项，按以下规则 Q 排列：各项不做化简运算；分母小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排

9、在前面，得到数列bn , 求数列 bn 的前 10 项的和 S10, 前2019 项的和 S2019 ；（ 3） 对数列 an 中所有整数 项，由小到大 取前 2019 个 互不相 等的整数项构 成集 合A c1,c2,c3, ,c2019 ,A的子集 B满足：对任意的 x,y B,有x y B,求集合 B中元素个数的最 大值 .数学学科参考答案及评分标准2019.1213 分14 分OA 1,OM 2, AM 3, AN12 1210 分填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6题每题 4分，第 7-12 题每题 5分 ,1 2,23355471i25 255 ( , 2 2

10、, )16 47 0,183,9 84010 311 34,114122 7 12,二选择题： （本大题共有 4 题，满分 20分，每题分）13 B14C15D16D三 解答题：（本大题共 5题，满分 74 分）17（本题满分 14分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分） 【解】（1）因为 |OA| 1， SA 3，所以在 Rt SOA中， h SOSA2OA 2 2 ， 2 分1 2 2 2所以圆锥的体积 V 1 r h 2 2 4 分331侧面展开图扇形的面积 S 2 3 3 6 分2（ 2）解法一：以 OP 、 OA、 OS所在射线为 x轴、 y轴、 z轴建立坐标系，则有 P

11、 1,0,0 ,S 0,0,2 2 , A 0,1,0 ,M 0,0, 2 ， 9 分于是 PS 1,0,2 2 ,AM 0, 1, 2 ， 11 分2 2 2 4 3 设向量 PS与AM 的夹角为 ，则 cos 2 2 2 4 3，3 3 943 所以，异面直线 AM 与 PS所成角大小为 arccos 4 3 9113解法二：取线段 OP中点 N，连 MN，则 MN SP且 MNSP SA ,AMN （或其补角）为异面直线 AM 与 PS的夹角，2228分332cos AMN 32 3 3243913 分所以，异面直线 AM 与 PS所成角大小为 arccos 4 3 918 （本题满分

12、14分，第 1小题满分 6 分，第 2 小题满分 8分） 【解】 （1）由已知， f （ x） f（x）， 即|x a | | x a| ， 解得 a 0 2x x a, x a2x x a , x a2) f(x)当 x a 时，f （x） 的最小值为14（2 分）4 分）6 分）8 分）当 x a 时，f （x） 的最小值为f (a) a2 ， f112 分）由于 a212a20 ，所以函数 f （x） 的最小值为 a 14（ 14 分）19 （本题满分 14分，第 1小题满分 6 分，第 2 小题满分 8分）解】（1）设 BD x ，则由余弦定理 52 82 x2 16xcos300，（

13、2 分）4 分）即 x2 8 3x 39 0 ，解得 x 4 3 3 ，4 3 3 8舍去所以 x 4 3 3 ，这条公路的长约为 3.9km（6 分）AD AB9 分）2)在 ABD 中，由正弦定理得AD AB ，asin ABD sin ADB景点所 以 s i nABD s i nC B D 45， 在 CBD 中 ，s i nD C Bsn C( B D B D )C. 7，912 分）由正弦定理得CD 4 BD5 sin DCB4.0C与景点 D 之间的距离约为 4.0km14 分）（注：答案为 3.9 扣 1 分）20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分

14、 6 分，第 3 小题满分 6 分 ） x2 y2解】（1）设 P（x,y）,则 x y 1, A（ 0,2）,54PAx2 (y 2)25 45 y2 (y 2)21 y2 4y 94y 2,2 仅在 y 2时， PA max 4椭圆 是“圆椭圆”4分222)设P(x, y),则 x2 y 1. a2 4PAx2 (y 2)2a2 a4 y2 (y 2)24 a 2 2y 4y a 447分4ay 2,2 , 关于 y 的二次函数2 y2 4y a2 4的对称轴为 y 2 8 ，4 a 4椭圆 为“圆椭圆”，故 a2 482, 即 a 2,2 2 .10 分3) a 2 2 ，椭圆22xy:

15、1, 设直线84PQ方程为 y kx,联立椭圆方程得 (2k2 1)x2 8, 解得 x 2 2 ,2k2 1P( 2 22k2 1不妨设2 2k )2k2 1则直线PA方程为 y2 2k ), Q( 2 2 2k2 12k2 12k2 1(k )x 2，令 y 0,得 x222k2 1 2k12 分22则M(22222k2 1 2k 0) ，同理 N( 2k2 1 2k,0)2 2 2 2)(x于是圆方程为 (x 2k2 1 2k)(x 2k2 1+ 2k) y 0 ，即2 2 x 0x y 8kx 8 0 令 2 2x2 y2 8kx 8 0x0即 圆过定点 (0, 2 2).16 分 y

16、 2 221 (本题满分 18 分，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 )1213解】(1)1,2,1,311211,4,3,2,1.312342)显然 mi ni ， (iN ,mi,ni N ) 的大小是以自然数顺序(从2 开始)排列 . 于是按题设规则排列，数列 an 各项中分子与分母和为 2的为第一组，只有一个数；分子与分母和为3 的设为第二组，有两个数；分子与分母和为 4的设为第三组， 有三个数； 分子与分母和为 n 1的设第 n组，有 n个数 . 数列 an 中小于 1 的项 m(m n,m, n N*) 在数列 an 中第 (m n 1)组

17、中的倒数第 n1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 m 个数，按题设规则排列得数列bn 各项依次为： , , , , , , , , , , , , , , ,n 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6将 此数 列分 母相同 的 各 项分 为一 组， 第 n 组中 各项为 1 , 2 , 3 n 其 和 n 1 n 1 n 1 n 11 2 3 n 1 2 3n n Tnn n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2数列 Tn 为等差数列，通项为 Tn n ,21234bn 前 10 项和 S10 S1 2 3 4 T1 T2 T3 T45, 7 分2222设b2019在第n组，则有 n(n2 1) 2019 n(n2 1)可取n 64, 64263 2016 b2019 为第 64 组的第 3 个数，故S2019 T1 T2 T3T6312365 65 651 2 3 63 1 2 32 2 2 2