2018-2019学年江苏省扬州市扬州中学度高一第二学期期末检测数学试题(解析版)

1、2018-2019 学年江苏省扬州市扬州中学度高一第二学期期末检测数学试题、单选题1直线 3x y 1 0 的倾斜角为（ ）ABCD第 1 页 共 19 页答案】 B解析】根据直线斜率可知tan 3 ，根据直线倾斜角的范围可求得结果详解】 由直线方程可得直线斜率： k 3设直线倾斜角为 ，则 tan 3又 0,23本题正确选项： B点睛】 本题考查直线倾斜角的求解，关键是明确直线倾斜角与斜率之间的关系 2若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（ ）A 平行B异面C相交D以上皆有可能【答案】 D【解析】通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果 .【详解】若l ，a,c， b,d ，位置关

2、系如下图所示：若a/l，b/l，则 a / /b ，可知两条直线可以平行 由图象知， c与d 相交，可知两条直线可以相交由图象知， b与 c异面，可知两条直线可以异面 本题正确选项： D【点睛】 本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题3经过点 P(1,3) ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A0 条B1条C2条D3条【答案】 C【解析】若直线过原点，可知满足题意；直线不过原点时，利用直线截距式，代入点的 坐标求得方程，从而得到结果 .【详解】若直线过原点，则过 P 1,3 的直线方程为： y 3x ，满足题意 若直线不过原点，设直线为： x y a代入 P 1,3 ，解得： a 4 直

3、线方程为： x y 4 0 满足题意的直线有 2 条本题正确选项： C【点睛】 本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况 .4如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，异面直线 AC 和 BC1 所成角的大小为(A3BC33答案】 A解析】连接 AD1 ，CD1，根据平行关系可知所求角为D1AC ，易知 ACD1 为等边三角形，从而可知 D1AC，得到所求结果13【详解】 连接 AD1， CD1BC1 / / AD1D1 A C即为异面直线 AC与 BC1所成角又 AD1 AC CD1D1 AC13即异面直线 AC 与 BC1 所成角为：3本题正确选项： A【点睛

4、】本题考查异面直线所成角的求解， 关键是通过平移直线找到所成角， 再放入三角形中进 行求解 .5已知圆 C:x2 y2 4，直线 l:y 1 k（x 1），则直线 l与圆 C的位置关系（ ） A 相离B 相切C相交D 以上皆有可能【答案】 C【解析】 由圆的方程可得圆心和半径， 利用点到直线距离公式可用 k 表示出圆心到直线 的距离 d ，分别在 k 0和k 0两种情况下求解出 d r ，从而得到直线与圆相交 . 【详解】直线 l 方程可整理为： kx y k 1 0由圆 C 方程可知，圆心：0,0 ； 半径： r = 2圆心到直线 l 的距离：d k 1 dk2 1k2 2k 1k2 11k

5、22k1k 0 ，则 d1r，此时直线与圆相交k 0 ，则 d1 k22k11 k 21k 1 2 （当且仅当 k 1时取等号） k1 2 2k1k综上所述：直线与圆相交第 3 页 共 19 页则 d 2 r ，此时直线与圆相交本题正确选项： C【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定， 关键是明确直线与圆位置关系的判定是确定圆心到 直线的距离与半径的大小关系，从而得到结果 .6在 ABC中，三条边分别为 a,b,c ，若 a 4,b 5,c 6 ，则三角形的形状（）A 锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定【答案】 A【解析】根据余弦定理可求得 cosC 0，可知 C 为锐角；根据三角形

6、大边对大角的特 点可知 C 为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.【详解】C 0, 且 cosC 0C 0, 22由余弦定理可得：2 2 2a2 b2 c2 16 25 36 1 cosC2ab 2 4 5 8第 9 页 共 19 页A,B,C 均为锐角，即 ABC为锐角三角形又 a b c ，则 A B C 本题正确选项： A 【点睛】 本题考查解三角形中三角形形状的判断， 关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处 的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用7已知 a,b,c 表示直线， 表示平面，则下列命题中正确的是（ ） A 若 a / b, a / ，则 b/B若 a b,b

7、，则 a/ /C若 a c,b c，则a/bD若a ,b，则 a/b【答案】 D 【解析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可 . 【详解】a/b，a/ ，此时 b/ 或b， A错误；b， ar br ，此时 a/ 或 a ， B 错误；a c， b c，此时 a,b可能平行、异面或相交， C 错误； 垂直于同一平面的两直线平行， D 正确 .本题正确结果： D【点睛】 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题 . 8已知 ABC中， AB =AC =2,AB AC，将 ABC绕BC所在直线旋转一周，形 成几何体 K ,则几何体 K 的表面积为

8、（ ）2 24 2 A 2 2B4 2CD33【答案】 B【解析】 首先确定旋转体为两个圆锥构成的组合体， 则所求表面积为两个圆锥的侧面积 之和，求出侧面积即可得到结果 .【详解】由题意可知，所得几何体为以 BC 边的高为底面圆半径， AB，AC 为母线的两个圆锥构 成的组合体，可得底面圆半径为： r 1BC 1 AB2 AC22 ，母线长为：22l AB AC 2几何体表面积为： S 2 rl 2 2 2 4 2 本题正确选项： B【点睛】 本题考查旋转体侧面积的相关求解问题，关键是能明确旋转后所得的几何体 .9在 ABC中，角 A, B,C的对边分别为 a,b,c，若 A ,a 2,b 3

9、 ，则B （ ）4A6B3CD 3或23bsin Aa22sinBB 0, 且 B A答案】 D解析】根据正弦定理可求得 sinB，根据 B 的范围可求得结果详解】ab由正弦定理 可得：sinA sinB本题正确结果： D点睛】 本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题10若点 P在圆 (x 1)2 y2 1上运动， Q(m, m 1)，则 PQ 的最小值为()C 2 1A 22答案】 B解析】 由圆的方程求得圆心和半径；根据 Q 点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.详解】 由圆的方程得：圆心坐标 C 1,0

10、，半径 r 1Q m, m 1 Q 点轨迹为： y x 1 ，即 x y 1 0圆心到直线距离： d 1 0 1 22PQ min d r 2 1本题正确选项： B点睛】关键是能够通过点的坐标1,则 ABC 的面积( )本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题， 得到轨迹方程 .11在 ABC中，已知 AB 2,AC 1, A的平分线 ADA 7 34B 3 74C 7 38D 3 78答案】 D解析】根据 S BAD1S CAD S ABC 和 BAD CAD BAC 可求得 CAD ABC 2cos BAD ，利用同角三角函数和二倍角公式可求得 sin BAC ，代入三角形面积

11、公式求得结果 .详解】S BAD S CAD S ABC1AB ADsin BAD 1AC ADsin CAD 1 AB ACsin BAC222AD 为角平分线1BAD CAD BAC23sin BAD sin2 BAD ，即 3sin BAD 2sin BAD cos BAD22cos BAD 34sin BAD 1 cos2 BAD 3 744则sin BAC 2sin BAD cos BAD 387S ABC 1 AB ACsin BAC 3 7本题正确选项： D点睛】 本题考查三角形面积公式的应用， 关键是能够通过面积桥的方式， 借助角平分线可构造 出关于三角函数值的方程，从而使得问

12、题得以求解2212在平面直角坐标系 xOy中，点P在圆 C:(x- 8)2+y2 =16上运动， A(6,0), B(6,1),则 PB 2PA 的最小值为(A 37B6C 4+ 5D 11+ 2D2答案】 APC 1 ，从而得到OC 2AC 【解析】根据圆的方程、 A 6,0 可知PC而根据比例关系得到 OP 2PA ，将问题转化为求解 PB OP 的最小值的问题，可知PAC OPC ，进当 P 为线段 OB 与圆 C 的交点时， 取最小值 OB ，两点间距离公式求得 OB 即为所求最小值 .详解】P 为圆 C 上任意一点，圆的圆心 C 8,0 ，半径 r4 ，如下图所示，ACPCPC 1O

13、C 2PAC OPCPA 1OPPA 21，即 OP 2PAPB 2 PA PB OP又 PB OP OB （当且仅当P 为线段 OB 与圆 C 的交点时取等号）PB 2PA OB 62 1237 ，即 PB 2PA的最小值为 37本题正确选项： A【点睛】 本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将 2PA 转化为 OP ，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解， 利用三角形三边关系可知 三点共线时取最小值，属于较难题 .二、填空题13某学校有教师 300人，男学生 1500 人，女学生 1200人，现用分层抽样的方法从所 有师生中抽取一个容量为 150 人的样

14、本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为答案】 60解析】首先计算出抽样比，再根据分层抽样的原则计算可得结果详解】由题意可得抽样比为：则抽取的女学生人数为：本题正确结果： 60150 1300 1500 1200 2011200 60 人20点睛】 本题考查分层抽样相关计算问题，属于基础题 .14如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度（建筑物 CD 垂直于地面） ，设计测量方案为先在地面选定 A, B两点，其距离为 100 米，然后在 A处测得DAB 60 ，在 B处测得 DBA 75, DBC 30 ，则此建筑物 CD 的高度为米答案】 25 6解析】由三角形内角和求得 ADB

15、45 ，在 ABD 中利用正弦定理求得 BD ；在Rt BCD 中，利用正弦的定义可求得结果详解】由题意知： ADB 180 60 75 45在 ABD 中，由正弦定理可得：AB BDsin BDA sin DAB即：BDABsin DABsin BDA100sin 60sin4550 6在 Rt BCD 中， CD BDsin DBC 50 6 sin 30 25 6本题正确结果： 25 6【点睛】 本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，涉及到正弦定理的应用问题 . 15已知圆 O:x2 y2 1和直线 l :y 2，P(x0,2)是直线 l上一点，若圆 O上存在 A,B 两点，满足

16、 PA AB，则实数 x0的取值范围是 【答案】 5, 5解析】由向量相等可知 P,A,B 三点共线且 A为线段 BP中点，则 PA AB ；利用勾 股定理和弦长为 2 r2 d2 分别表示出 AB和PA ，从而可建立等式 x02 5 8d2，根据 d2 的范围构造不等式可求得结果 .【详解】由 PA AB得： P,A,B 三点共线且 A 为线段 BP中点则： PA AB设圆心 O 0,0 到直线 AB 的距离为 d1 ABx02 4 d2 1 AB22 x0 5 8d22则 AB 2 1 d 2 ， PA OP2 d3 AB 3 1 d22d2 0,1x02 4 dQ AB 为圆的弦x02

17、0, 5x05 , 5本题正确结果：5, 5点睛】 本题考查直线与圆的相关知识的应用，涉及到直线被圆截得的弦长、勾股定理、两点间 距离公式、 直线与圆位置关系的应用， 关键是能够利用向量相等得到三点共线和线段长 度关系，从而构造方程来建立等量关系 .16如图，棱长为 1（单位： cm ）的正方体木块经过适当切割，得到几何体K ，已知几何体 K 由两个底面相同的正四棱锥组成，底面 ABCD 平行于正方体的下底面，且各 顶点均在正方体的面上，则几何体 K 体积的取值范围是 （单位： cm3 ）答案】16,13解析】根据图形可知几何体体积由正方形ABCD 面积来决定，根据截面正方形可知 当 A,B,

18、C,D 为四边中点时，面积最小； A, B, C, D为正方形四个顶点时，面积最大，从而得到面积的取值范围；利用棱锥的体积公式可求得几何体的体积的取值范围 . 【详解】1由题意知， 几何体中两个正四棱锥的高均为 ，则几何体体积取值范围由正方形 ABCD2的面积来决定底面 ABCD 平行于正方体底面，则可作 ABCD 所在截面的平面图如下：S ABCD几何体 K 体积：V 1S ABCD3 ABCD11S ABCD2 2 3 ABCD6,3本题正确结果：1 AC BD 1 AC222由正方形对称性可知，当 A,B,C,D 为四边中点时， AC 取最小值；当 A,B,C,D 为正 方形四个顶点时，

19、 AC 取最大值；即 ACmin 1 ； ACmax2 S ABCD 2,1【点睛】本题考查棱锥体积的有关计算， 关键是将所求几何体变为两个正四棱锥体积之和， 确定 正四棱锥的高为定值，从而将问题转化为四边形ABCD 面积的求解问题 .三、解答题17 如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中， BC CC1 ，平面 A1BC1 平面 BCC1 B1 .证明：（1） AC/ /平面 A1BC1；（ 2） 平面 AB1C 平面 A1BC1 【答案】（ 1）证明见解析； （ 2）证明见解析 .【解析】（1）根据三棱柱特点可知 AC / / A1C1，根据线面平行判定定理证得结论； （2） 由四边形 B

20、CC1B1为菱形可得 B1C BC1 ，根据面面垂直的性质可知 B1C 平面第 11 页 共 19 页A1BC1 ，根据面面垂直的判定定理证得结论 .【详解】（ 1）几何体为三棱柱四边形 ACC1 A1为平行四边形AC / /A1C1又 A1C1 平面 A1BC1 ， AC 平面 A1BC1AC/ /平面 A1BC1（2） BC CC1且四边形 BCC1B1 为平行四边形四边形 BCC1B1 为菱形B1C BC1又平面 A1BC1 平面 BCC1B1 ，平面 A1BC1 平面 BCC1B1 BC1B1C 平面 A1BC1又 B1C 平面 AB1C平面 AB1C 平面 A1BC1【点睛】 本题考

21、查直线与平面平行、平面与平面垂直关系的证明，涉及到空间几何体的结构、面 面垂直性质定理的应用等知识，属于常考题型 .18在平面直角坐标系中，已知菱形 ABCD的顶点 A 1,2 和C（5, 4） ， AB所在直线 的方程为 x y 3 0.（1） 求对角线 BD 所在直线的方程；（ 2） 求 AD 所在直线的方程 .【答案】（1） 3x y 9 0；（2） x 7y 13 0.【解析】（1）根据 A,C坐标求得 kAC和AC中点 M 2,3 ；根据菱形特点可知对角线互 相垂直且平分，可得直线 BD 斜率和 M 在直线 BD 上，利用点斜式写出直线方程； （2） 由直线 AB和BD的方程解得 B

22、点坐标，从而求得 kBC ；由平行关系可知 kBC kAD， 利用点斜式写出直线方程 .【详解】4 2 1（1）由 A 1,2 和C（5,4）得： kAC 4 2 1，AC中点 M 2,3AC 5 1 3四边形 ABCD为菱形 BD AC，且 M 2,3 为BD中点，kBD 3 对角线 BD 所在直线方程为： y 3 3 x 2 ，即： 3x y 9 02）由 3x y 9 0 ，解得： xy30B 3,922kBC92 4251AD /BCkAD7x 7y 13 0直线 AD 的方程为： y 2 17 x 1 ，即：点睛】 本题考查直线方程的求解问题， 关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜

23、率与已知斜 率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果 .19在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 a 2,b 5,B 2A.（ 1）求 cosA ；（2）求 c的值 .51【答案】（ 1） 5 ；（ 2） .42【解析】（ 1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得cosA ；（ 2）由余弦定理构造方程可求得 c的两个解，其中 c 2 时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果.【详解】1）在 ABC 中，由正弦定理asinA得：sin A sin2A 2sin AcosAsinBcosA2）在 ABC 中，由余弦定理得： a2 b2 c2 2bc cos A由 a 2,

24、b 5,cos A 5 整理可得： 2c2 5c 2 041解得： c 2 或2当 c 2时， A C ，又 B 2A B ， A C 24此时 b 2a ，与已知矛盾，不合题意，舍去1当 c 时，符合要求2综上所述： c 12点睛】 本题考查利用正弦定理、 余弦定理解三角形的问题， 易错点是求得边长后忽略了已知中 的长度和角度关系，造成增根出现 .20某单位开展 “党员在线学习” 活动，统计党员某周周一至周日（共 7 天）学习得分 情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：党员甲学习得分情况党员乙学习得分情况（ 1）求本周党员乙周一至周日（共 7天）学习得分的平均数和方差；（ 2）从本周周一至

25、周日中任选一天， 求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25分的概率；（ 3）根据本周某一天的数据，将全单位80名党员的学习得分按照 10,15 ，15,20 , 20,25 ， 25,30 ， 30,35 进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）已知这一天甲和乙学习得分在 80名党员中排名分别为第 30和第 68名，请确定这是根 据哪一天的数据制作的频率分布直方图 （直接写结果，不需要过程）3 【答案】（1）平均数： 24 ；方差： 44 ；（ 2） ；（3）周三符合要求 .7 【解析】（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可； （ 2）等可能的基本事件共 7个， 满足题意的共 3个，根据古典

26、概型概率公式计算可得结果； （3）分别计算出每个得分区 间的人数，根据甲乙的排名确定甲乙所在的区间，综合两人同一天的数据可得结果 .【详解】（ 1）平均数：x 35 26 15 20 25 17 30 24 7方差：2 2 22 22 22 112229242127262s 447（2）共有 7个等可能基本事件： “周一甲 10乙 35 ；周二甲 25乙 26；周三甲 30乙15； 周四甲 13乙20；周五甲 35乙 25；周六甲 31乙17 ；周日甲 25乙30” 记 “从周一至周日中任选一天，这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25”为事件 A.则事件 A中包含的基本事件有 3个： “周二

27、甲 25乙 26；周五甲 35乙 25；周日甲 25乙 30”3）周三由直方图知，学习得分落在 30,35 ， 25,30 ， 20,25 ， 15,20 ， 10,15 区间内 的人数依次为： 80 0.15 12人， 80 0.25 20人， 80 0.3 24人， 80 0.2 16 人， 80 0.1 8 人由甲学习得分排名第 30 ，可知当天甲学习得分在 25,30 ，只有周二、周三和周日； 由乙学习得分排名第 68，可知当天乙学习得分在 15,20 ，只有周三和周六 所以周三符合要求【点睛】本题考查统计中的平均数和方差的计算、 古典概型概率问题的求解、 根据频率分布直方 图计算频率

28、和频数来解决实际问题，考查学生的运算求解能力 .21如图，已知圆 C:x2 y2 4与x轴的左右交点分别为 A,B，与 y轴正半轴的交点 为D.1）若直线 l过点 （2,4）并且与圆 C相切，求直线 l 的方程；2）若点 M,N是圆 C上第一象限内的点，直线 AM , AN分别与 y轴交于点 P,Q，点 P是线段 OQ的中点，直线 MN /BD，求直线 AM的斜率 .答案】（1） x 2或 3x 4y 10 0；（2） 17 3.4第 17 页 共 19 页解析】（1）首先验证当直线斜率不存在时，可知满足题意；当直线斜率不存在时，假AM方程，与圆的方程联立可求得2 2k2 , 4k221 k2

29、 1 k2；求出直线AN 斜率后，可得2 8k221 4k22 ，利用 MN / /BD 可知 kMN1 4kkBD ，从而构造方程可求得直线AM设直线方程，利用 d r 构造方程可求得切线斜率，从而得到结果； （ 2）假设直线第 23 页 共 19 页的斜率 .【详解】（ 1）当斜率不存在时，直线方程为：x 2，与圆相切，满足题意当斜率存在时，设切线方程为： y 4 k x 2 ，即： kx y 4 2k 04 2k 3由直线与圆相切得： d r ，即： 2 ，解得： k 3由直线与圆相切得： ，即： k2 1 ，解得： k 43切线方程为： y 4 x 2 ，即： 3x 4y 10 04综

30、上所述，切线方程为： x 2或 3x 4y 10 02）由题意易知直线 AM的斜率存在故设直线 AM的方程为： y k x 2 ， k 0由 xy2 ky2x 42 消去 y得： 1 k2 x2 4k2x 4k2 4 0xM2 2k21 k 2，代入 y k x 2 得：yM4k1k2 2k21 k24k1 k2在 y k x 2 中，令 x 0得： yP 2k点 P 是线段 OQ 的中点yQ 4kkAN4k 0022k在M2 2k2 , 4k1 k2 ,1 k2用 2k 代 k 得：22 8k21 4k28k1 4k28k 4k 21 4k2 1 k2 4k 1 2k2 8k 2 2 2k2

31、 12k2 221 4k 2 1 k2MN / /BD 且 kBD 1 4k 1 2k 112k2即： 2k2 3k 1 0 ，又 k 0，解得： k 17 3 4【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题， 涉及圆的切线方程的求解、 直线斜率的求解等问题易错点是在求解切线方程时，忽略了斜率不存在的情况，造成求解错误 .22如图，在平面凸四边形 ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于 180 的四边形），AB 2,BC 4,CD 5.1（1）若 B 120 ， cosD ，求 AD ；5（2）已知 AD 3，记四边形 ABCD的面积为 S. 求 S 的最大值； 若对于常数 ，不等式 S 恒成立，求实数 的取值范围 . （直接写结果，不需要 过程）【答案】（1）3；（2） 2 30 ；2 14 .【解析】（1）在 ABC中，利用余弦定理求得 AC；在 ACD 中利用余弦定理构造关 于 AD 的方程，解方程求得结果