函数的单调性和最值

1、第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第第3课时函数的单调性和最值课时函数的单调性和最值1理解函数的单调性及其几何意义2会运用函数图像理解和研究函数的性质3会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义请注意函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式1单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数yf(x)，若对于 D，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数x1，x2对于函数对于函数f(x)，xD，若对任意，若对任意x1，x2D，x1x2

2、且且 (x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数，则函数f(x)在区间在区间D上是上是 增函数增函数【注意注意】单调性与单调区间密不可分，单调区单调性与单调区间密不可分，单调区 间是定义域的子区间间是定义域的子区间(2)证明函数的单调性有两种方法：定义法； a.x1，x2D，且， b.计算 并判断符号， c.结论导数法：设yf(x)在某区间内可导，若f(x) 0，则f(x)为该区间上的增函数，若f(x) 0，则f(x)为该区间上的减函数x10时，f(x)1，判断f(x)在R上的单调性；若f(4)=5，,解不等式f(3x2-x-2)3.思考题思考题21( )ln(1 |)1f xxx( )(21

3、)f xfx1,13【答案答案】 设函数 ， 则使得 成立的 的取值范围是 _。 x高考调研高考调研 第第13页页第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习3函数的最值设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意xI，都有 ，存在x0I，使得，那么称M是函数yf(x)的最大值；类比定义yf(x)的最小值f(x)Mf(x0)M高考调研高考调研 第第14页页第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习探究(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特

4、别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法(2)函数的最值与单调性的关系：若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)高考调研高考调研 第第15页页第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习题型三题型三 求函数最值的常用方法求函数最值的常用方法1.单调性法：单调性法：2换元法换元法3不等式法不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法常常使用的基本不等式有以下几种：

5、绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式4导数法导数法设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导数法5数形结合法数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解【解析】由|x1|x2|，高考调研高考调研 第第21页页第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数新课标版新课标版 数学（理）