基本不等式专题非常全面

1、根本不等式专题辅导(2)假设a,b e R ,那么 ab <ra + h一、知识点总结1、根本不等式原始形式(1) 假设 a,b e R > 那么 a1 +b2 >2ab(2) 假设e R ,那么 ab <22、根本不等式一般形式(均值不等式)假设u,b e R,那么a+b> 2yab3、根本不等式的两个重要变形< 1)假设d,b e R°,那么旦牡2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中,当且仅当d=b时取4、求最值的条件：“一正,二定,三相等5、常用结论(1) 假设x

2、>0,那么x + ->2 (当且仅当x = l时取“二)X(2) 假设xv.,那么x + -<-2 (当且仅当x = -l时取“二)x(3) 假设汕 >.,那么旦+ «22 (当且仅当a=b时取“二)b a(4) 假设ci,bwR,那么ab<()2<L2 2(5) 假设a,beR ,那么人廊寸 a b特别说明：以上不等式中,当且仅当ci = b时取“=6、柯西不等式(1) 假设u,b,c,d wR,贝Ua2+b2)(c2 +J2)> (ac + bd)2(2) 假设%,%.3,戏璀3我,那么有：(妒 +«22 +%2)(】妒 +b；

3、 +妒)2(响 +a2b2+a3b3)2(3) 设?,),?与b"),是两组实数,那么有)(妒 +妒 + . + 妒) > (“仇 + a2h2 + . . + anbn Y 二、题型分析题型一：利用根本不等式证实不等式1、设.,/,均为正数,证实不等式:伽2了= + -a b2、ci,b,c为两两不相等的实数,求证： a2 +b' +c2 >ab + bc + ca3、“ + Z? + c = l,求证：a2+b2+c2>-34、 u,b,ceR+ ,且.+.+ c = l ,求证：(1-6/)(1-/?)(l-c)>8«bc5、6、已 知

4、 u,b,c w R-,且 a + b + c = ,求证：6、2021年新弟标II卷数学理选修4一5：不等式选讲设«,b、c均为正数,且a + h + c = ,证实：I ah + be + ca < - ; ID + + > 1.3 b c a题型二：利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域1 y = 3x2 + yU-2 y = a4-x(3) y = x + -(x>0)x(4) y = x + (x<0)x题型三：利用不等式求最值一凑项41、x>2,求函数y = 2x 4 +的最小值;2x-47、2021年江苏卷数学血修4一5：不等式选讲 a&

5、gt;b>09 求证：lei3 -b3 >lcib2 -a2b4变式1：x>2,求函数y = 2x +的最小值:2工一44变式2：xv2,求函数y = 2x +的最大值:2工一4百度文库让每个人平等地提升自我2、假设0vxv2,求),=Jx(6 3x)的最大值;练习：1、己知%>-,求函数y = 4l-2+L-的最小值:4 4x-572、己知%<-,求函数y = 4x-2 + 的最大值:44a-5变式：假设0vxv4,求),= Jx(8 2x)的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当0<4时,求y = x(8-2x)的最大值：3、求函数 y

6、= y2+yl5-2x(-<x<-)的最大值;2 2(提示：平方,利用根本不等式)变式1：当0<4时,求y = 4x(8-2x)的最大值:变式：求函数不二5 +的最大值:443变式2：设OvxVf,求函数y = 4x(3 2x)的最大值.2题型五：巧用“1的代换求最值问题1、己知 “,.>0,.+ 2/? = 1,求 r = + y-的最小值: a b1 9变式4：X,y > 0 ,且一 + = 4,求x+y的最小值:* )'法一：变式5：法二:(1)假设x,y> 0且2工+),= 1,求-的最小值;(2)假设a,b,x,yeR+K-+- = b 求

7、x+y 的最小值;尤 y变式1：己知a.h>0.a + 2b = 2,求t = - + -的最小值: a b变式6：己知正项等比数列“满足：化=%+2角,假设2 R变式2：尤),>0,_ + = 1,求个的最小值:存在两项.m,%,使得加M =4%,求+ -的最小值: m n变式3：x,y>0,且+ = 9 ,求x + y的最小值.题型六：别离换元法求景值了解+ 7x +101、求函数y=-.一1的值域;x + 1题型七：根本不等式的综合应用1、己知 log26/ + log2/?>l,求 3a+9b 的最小值%- 1 Q变式：求函数y= %> 1的值域:X-12

8、、2021天津外.>0,求J_+； + 2廊的最小值:2、求函数,=旦工的最大值；提示：换元法2工+ 5变式L 2021四川如果6/>/?>0,求关于eb的表达式后+上+!的最小值：ab aa-b变式：求函数作 点的最大值;变式2： 2021湖北武汉诊断,当>0," 1时,函数y = log.x 1 +1的图像恒过定点A ,假设点*在直线,儿一,+ = 0上,求4川+2的最小值；百度文库让每个人平等地提升我3、己知 x,y>0, x + 2y + 2xy = 8,求 x + 2y 最小值;4、2021年山东理设正实数满足尸一3°,+ 4,2一2

9、 = 0 ,那么当旦取得最大值 Z2 12时,一+ -一的最大值为x y z9A. 0 B. 1 C. - D. 3 4提示：代入换元,利用根本不等式以及函数求最值8变式1：己知aJ>0 9满足./?=+/? + 3 ,求.范围:变式 2： 2021 山东 x,y>0, + = !2+x 2+y 3求个最大值；提示：通分或三角换元变式：设是正数,满足x 2y + 3z = 0,求上的 xz最小值：变式 3： 2021 浙江 x,y>0, x' +xy = l, 求个最大值；百度文库让每个人平等地提升自我题型八：利用根本不等式求参数范围1、2021沈阳检测号0,且x+y

10、- + -9v y恒成立,求正实数的最小值：2、己知A z.且 + 恒成立,工_、'_? 工_七如果n e TV* ,求的最大值：参考：4提示：别离参数,换元法14变式：a,b 0满那么一+ = 2,假设恒成立, a b求C的取值范围；7题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式jb,c,deR,当且仅当色=当 即血=be时等号成立 c a假设b,c,d wR ,那么a2 + h2c2 +d2ac + bd22、二维形式的柯西不等式的变式1JaW -y/c2 +d ac+bda, b, c, d e R ,当且仅当 = W；即血=be时等号成立 c a2JW+/?2 -ylc2+d

11、2 ac + bdjb,c,deR,当且仅当色=W；即血=be时等号成立 c a3a+bc + d,lac + 4bd2",c,dZ0,当且仅当凹=4；即=bc时等号成立 c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式如即当且仅当万=6,或存在实数们使；=#囱寸,等号成立4、三维柯西不等式假设a,a2,a3.byb2,b3eR9 那么有:妒 + «22 + 角2通2 + b； + b； ab + a2b2 + a3b3 20,b*R,当且仅当3 = * =自时等号成立h bl 用5、一欢维柯西不等式设,与b"也是两组实数,那么有：“+% + q* +b；+.+加22 叩

12、* +时气+. + %如尸.,心,当且仅当牛=3=3时等号成立百度文库-让每个人平等地提升n我题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设假设, + y2 + z2=4,贝 ix 2y + 2z 的最小值为 时,x,y,z= 析：x 2y + 2z x + y + 2 + 2= 4x9 = 36x-2y + 2z最小值为一64、2021 年湖南卷理",b,ce," + 2/? + 3c = 6,那么a2 +4屏+9c2的最小值是 Ans:2-6 12+(-2)2+22-24-4x =,y = , z =3 ' 332、设x,y,zeR, 2x-y-2z = 6,求x2 + y2 +z2的最5、 2021年湖北卷理设x.y.z e R,且满 足：亍 +注+丁 =1, x + 2y + 3z = VIZ,求 x+y + z 的 值；小值,并求此时x.y.z之值.Ans:4 2 4, = 4;(x,y) = (-).wX113、设 x,y